CHAPITRE X

136. Dans tout ce qui précède, nous avons admis implicitement que le milieu étudié était homogène, et nous avons écrit nos équations comme si la vitesse de propagation V était indépendante de la longueur d'onde A. Ceci est vrai, si la propagation s'effectue dans le vide, mais n'est plus exact si la propagation s'effectue dans un milieu réfringent. En se bornant au spectre visible, l'indice de réfraction n, ou rapport de la vitesse dans le vide à la vitesse dans le milieu, peut se représenter assez exactement par l'expression :

A et B étant des constantes.

En ajoutant un terme r-j

fis

celte formule représenle encore assez bien la variation de rindice dans le speclre ultra-violet.

Mais pour le spectre infra-rouge aucune de ces formules ne sufOl.

Briot avait été conduit par des prévisions théoriques à penser que Texpression de n devait contenir un terme en X*, /X^, mais, les expériences sur le spectre visible n'ayant pas mis Texistence de ce terme en évidence, il fut amené à rejeter les vues théoriques qui avaient été son point de départ. Au contraire, pour bien représenter les phénomènes dans le spectre infra-rouge, il est nécessaire d'introduire ce terme.

La théorie doit encore rendre compte d'un autre phénomène : quand un rayon lumineux traverse un milieu, il s'affaiblit en général et l'expérience montre que cet affaiblissement dépend de la longueur d'onde X. Le spectre est parsemé de bandes ou de lignes obscures, souvent fort étroites qui occupent la place des radiations les plus affaiblies.

Enfin il faut expliquer les phénomènes de dispersion anormale qui consistent en ce qui suit :

Si un faisceau de lumière blanche traverse un prisme creux, formé par des lames de verre à faces parallèles et contenant une dissolution de fuchsine, les ravons verls sont absorbés et remplacés dans le speclre par une bande obscure. Si la dispersion était normale en se déplaçant dans un certain sens d'une extrémité à l'autre du speclre, on trouverait le rouge, le jaune, la bande noire, le bleu et le violet (/î^. 3âj. Au lieu de cela, on trouve le bleu, le violel, la bande noire, le

Fig. 32.

rouge et le jaune. L'indice de réfraction ne croît donc pascons-

tamment avec r : il croît du rouge au jaune, puis décroît et

enfin croît rtu bleu au violet : la courbe qui représente n en fonction de X présente un maximum et un minimum.

Celte disposition anomale qui a été observée aussi sur d'autres corps parait intimement liée à l'absorption.

137. Hypothèses de Helmholtz. — Helmboltz, remarquant qu'il n'y a pas de dispersion dans le vide, attribue ces phénomènes à l'action des molécules matérielles sur les molécules d'éther ; il cherche à tenir compte dans les équations du mouvement, de cette action en même temps que des actions mutuelles des molécules d'éther.

Soient p la densité de Téther, cIt un élément de volume de cet éther : 5, vj; Ç les composantes du déplacement, (X, Y, Z) les projections sur les axes de la résultante de toutes les forces qui agissent sur l'élément o?t (rapportées à l'unité de volume). Les équations du mouvement seront :

Les forces qui agissent sur la molécule d'éther sont de deux sortes : i** les forces qui proviennent des autres molécules d'éther : soit X^ la projection de leur résultante sur l'axe des œ ; ^^ les forces provenant des molécules matérielles :

soit Xj la projection de leur résultante. Nous aurons :

X, se calculera comme dans le cas d'un milieu non disper-

sif(§12).

Pour trouver Xj, considérons une molécule matérielle de coordonnées (û5^, y^, z^) et une molécule d'éther [x, y, z] ; après le déplacement ces coordonnées deviennent :

L'attraction entre ces deux molécules étant supposée proportionnelle à une certaine fonction de leur distance r, f (r), sa projection sur Taxe des œ sera :

A = r (r) ^-— ^ = ^[{cc — X,), {y — y,)y [z — zj],

puisque r est une fonction des différences {x — a?J, etc.

Quand les molécules se sont déplacées, la distance r et la force A auront varié, et

D'où

Xj = S (A -f- SA) = SA + S8A.

Dans Tétat d'équilibre, toutes les forces doivent avoir une résultante nulle : donc SA = 0. Il reste :

^ Xo = SSA.

Ceci montre que X2 doit être une fonction linéaire des différences Ç — Ç^..., etc.

X, z= a (5 - 5,^ -h ô (r, - VI,) + c (î - Ç,).

Si nous supposons pour le moment le milieu isotrope, rien ne distingue une direction de l'autre, X^ ne doit pas changer quand on change de signe à la fois tj et Tj,, ou Ç elÇ, : donc, ô = c = 0, et :

X, = a{l^ S.) ; de même

Comme rien ne distingue non plus les axes de coordonnées l'un de Tautre,

Helmholtz pose

(2) Y, = - P, (r, - ri.)

et les équations du mouvement des molécules d'éther prennent la forme

Il introduit de cette façon trois nouvelles inconnues, Ç,, 7||, Ç, ;. il faut trouver, pour les déterminer, trois autres équations,

ce seront celles qui représentent le mouvement des molécules matérielles.

Soit p^ la densité de la matière :

X' se compose de deux termes : un terme provenant de Faction des molécules d'élher sur les molécules matérielles. En vertu du principe de l'action et de la réaction, ce terme est égal à X3 et un autre terme X3 représentant les actions des molécules matérielles l'une sur Tautre.

X = — Xj -}- X3.

Helmholtz fait le calcul comme si, parmi les molécules matérielles, les unes participaient au mouvement de Téther, et les autres restaient sensiblement immobiles. Les premières agiraient seules sur Téther, on ne voit pas bien pourquoi. Les molécules immobiles, au contraire, exerceraient deux sortes d'action :

1^ Une espèce d'attraction sur les molécules mobiles, tendant à les ramener dans leur position d'équilibre. Cette action e£t analogue à celle des molécules matérielles sur les molécules d'éther que nous avons étudiée tout à l'heure. Nous avons trouvé comme expression de celle dernière Xj = — P^ (Ç — Ç4).

Par les mêmes considérations nous trouverions ici des expressions de la forme — H^ Ç| — H| 7)^ — H| Ç^ puisque le déplacement de Tune des molécules est nul.

2° Les molécules immobiles exerceraient sur les molécules mobiles une sorte de frottement proportionnel à leur vitesse,

R,-7^> etc. Donc

dt

Les équations deviennent

Les systèmes (3) et (4) forment ainsi six équations qui définissent Ç, 7), Ç, Ço ■''lo ^\' ^® 9"® '^^"s désignons par p^, c'est donc non pas la densité de la matière totale, mais celle de la matière mobile seulement.

Le mouvement sera-t-il encore transversal ? Pour qu'il en soit ainsi, nous savons qu'il faut que

* dx ^ dy ^ dz

Différencions la première des équations (3) par rapport à oo^ la deuxième par rapport à y, la troisième par rapport à z, ajoutons et opérons de même sur le système (4) nous trouverons :

p ^ = ^ (Ae - AS) + P, (e, - 6) = P, (6, - 6)

23i THÉORIE DE LA DISPERSION DE HELMHOLTZ

Ces relations montrent que, si à l'origine des temps

dB rfô.

®' ®^' dl' dt

sont nuls, il en est de même de toutes leurs dérivées par rapport au temps : donc d et d^ sont identiquement nuls.

Par conséquent, si on part du repos, 6 et 64 sont toujours nuls.

11 en sera encore de même si le mouvement est périodique.

Posons en effet :

A et A^ ne dépendant que de (a?, y, z).

Nous avons vu déjà que, si la partie réelle de cette expression satisfait à des équations de la forme des équations (3) et (4), l'expression entière y satisfait également.

Nous aurons :

= — pH

dt^ d^O

dl

Substituons dans les équations (5)

- ^pH = P, (6, - 6)

- P^Paô, := p, (ô - ej - H^ô^ - R, )/^^p\

Dans la seconde équation le cofficient de V — ^ devant être nul, 64 =0; la première donne alors 6 = 0.

Par conséquent, si le mouvement est périodique, il est transversal.

138. Cas particulier des ondes planes. — Supposons en particulier que :

TJ = C =

c'est-à-dire que le déplacement soit parallèle à Ox et ne dépende que de z et de /*, nous aurons une onde plane parallèle au plan des œy. Le mouvement étant transversal 6 = 6^ r= 0, ce qui se réduit ici à :

Les deux dernières équations de chacun des systèmes (3] et (4) sont satisfaites d'elles-mêmes, il reste seulement :

système de deux équations à deux inconnues.

Nous allons en particulier étudier les ondes planes pério« diques; nous chercherons donc à vérifier ces équations en posant :

Alors

Substituons dans les équations (6)

- pj.n = - ^>.^H + p. (?, - Ç)

- f,pn, = P, (5 - 5,) - H,5, + R, V^^pi,

ou:

( - pp* -i- a«» + P,) 5 = P,5,

( - p,p» + P, -f. H, - V- IpR,) l, = P.Ç.

Posons pour abréger

p,p» p, H, + V-TïpR, = h.

La seconde équation devient

Multiplions les deux équations en croix, l et l^ s'éliminent il reste :

(7) pp« - f.«» - P, = ¥

a sera en général une quantité complexe. Posons

et la partie réelle de l est :

l = Ae-^* cos {ixz' — pi).

l est donc représenté par une fonction périodique del et de^, multipliée par une exponentielle ayant un exposant négatif proportionnel à ^ ; la vibration est, par conséquent une vibration pendulaire dont Tamplitude décroît suivant une loi exponentielle à mesure que ^ croit : il y a donc absorption. ?i sera le coefficient d'absorption. En appelant t la période de la vibration, nous avons :

si X' est la longueur d'onde dans le milieu considéré

V étant la vitesse de la lumière dans le vide, n l'indice de réfraction du milieu, la vitesse de la lumière dans ce milieu sera :

d'où

np

La partie réelle de a est proportionnelle à l'indice de réfraction, et la partie imaginaire au coefficient d'absorption.

139. Hypothèses de Helmholtz sur l'ordre de grandeur des coefficients. — Pour simplifier la discussion, Ifelmhollz prend comme unité de temps ladurée d'une vibration

moyenne (celle de la raie D, par exemple), et comme unité de longueur la longueur d*onde de celte vibration dans le vide.

Grâce à ce choix, t et p sont finis, Tunité de vitesse est la vitesse de la lumière dans le vide et:

<x = np -{- V — 1^«

La théorie de HelmhoUz se rattache au groupe des théories qui supposent la vibration perpendiculaire au plan de polarisation. L'élasticité {x est alors une constante qui dans notre système d'unités est égale à 1.

En outre HelmhoUz suppose que p est fini, tandis que pf, U^, Pf sont des infiniment petits du premier ordre, et R un infiniment petit d'ordre supérieur; mais cependant très

grand vis-à-vis de P^^. R sera par exemple un infiniment

petit d'ordre x-

La valeur de a est donnée par l'équation (7) :

p est fini. -^ est du premier ordre comme P, puisque p^ est

fini.

Dans le troisième terme, la partie réelle de /* est du pre-

mier ordre, la partie imaginaire d'ordre s* Posons :

PI sera une quantité finie puisque H^ P^, p, sont du premier ordre.

Alors

Tant que p- ne sera pas très voisin de p^, la parlie réelle sera du premier ordre : comme Pf est du second ordre, le

terme -j^ sera du premier ordre. Si au contraire p^ devient

3 pa \

très voisin de Pq, h devient d'ordre 9 et -r*- d'ordre -•

140. Explication de l'existence des raies. — Pour discuter les valeurs de &, nous allons construire la courbe dont les points ont pour coordonnées

l'allure de cette courbe nous fera connaître la manière dont Qt varie avec p.

Dans ce but, construisons d'abord la courbe qui représente

L'hypothèse la plus simple que nous pouvons faire, c'est que Pq n'est pas compris dans le spectre observable.

Dans ces conditions, p^ {p^ — pi) est du premier ordre. —

La partie réelle de -^ est du premier ordre et la partie ima-

ginaire qui est d'ordre - est négligeable.

p2 — P pï p\i{P^ — Po)

Le second membre est toujours positif puisque p est le seul

terme fini et est essentiellement positif ; donc - est toujours

réel et se réduit à n : il n'y a pas d'absorption sensible.

Ce second membre est une fonction rationnelle de p' et peut être décomposé en éléments simples :

p2 "" ^ p« p« — pj

P* p^ — pI p^ p\i(p^—pl)

d'où

pa ps pu

A — p J1l — p îll — — Lllli—

' 9,Pl^ ' H^ + P^-H. + P,

p2 pî

Ces deux coefficients  et B sont essentiellement positifs, il en résulte que n^ va constamment en croissant quand p^ croit, les rayons dont la longueur d'onde est la plus courte seront les plus réfrangibles.

Supposons en particulier H^ = o, alors A = o et:

2 Pi

P^—Po

Si Pq correspond à une radiation située en dehors du spectre

observable, en-deçà de Tinfra-rouge, n* pourra se développer

suivant les puissances croissantes de -5^ c'est-à-dire suivant

les puissances croissantes de X^, ce qui ne peut s'accorder avec les expériences. Si Po correspond à une radiation située audelà de l'ullra-violet, n^ se développera suivant les puissances

de p^ ou de r^» ce qui est conforme aux observations.

Dans rinfra-rouge, l'expression de Gauchy développée sui-

vant les puissances croissantes de r^ n*esl plus suffisante : il

faut ajouter le terme de Briot en a? ; il suffît ici de supposer H^ 7^ o ou A 7^ o.

D'après Thypothèse] que nous avons faite sur p^, la quantité imaginaire ^ — 1 A étant négligeable, la courbe qui repré-

ùi^^roiufe. ' nou^e jaune otrt (flet. owlet uJi.où^et*

Fig. 33.

sente -5 diffère peu de l'axe Ox des quantités réelles [fig. 33). Nous obtenons un spectre à dispersion normale.

141. Supposons èi présent quep^ corresponde à une radiation faisant partie du spectre observable.

Deux cas sont à distinguer :

i" Nous considérons des points pour lesquels p est notablement différent de p^; nous faisons varier p d'une part de la valeur qu'il prend à l'extrémité de Tinfra-rouge jusqu'à Pq — e; d'autre part, de Pq -j-e jusqu'à la valeur correspondant à Textrémité de Tultra-violet.

Dans ces conditions p^ — pj ne devient jamais nul. La partie réelle de h est du premier ordre, la partie imaginaire

qui est d*ordre 3/2 est négligeable, nous retombons sur le» formules précédentes.

Pi

~ est réel et la courbe s'écarte peu de Qx. — Si p varie de à + 00 , -j part de — oo , croit jusqu*à + oo , valeur qu'il

atteint pour p = p^, saute brusquement de + * ^ — *• quand p traverse la valeur Pq et croit ensuite de — œ à p, valeur atteinte pour p = -[- oo .

Dans les deux intervalles

— 00 < p < p^ — 6 Po + «<!>< + «•

la courbe diffère peu de l'axe Ox des quantités réelles. Mais,

Fig. 34.

quand e est très petit, les deux segments empiéteront en général l'un sur l'aulre : autrement dit, les deux arcs de courbe se croiseront (/îg. 34).

2° Nous considérons des valeurs dep comprises entre Pq — c

^^ Po "f" •» P' — pI ®s^ ^^^""^ ^^ infiniment petit d'ordre - : la

partie réelle et la partie imaginaire sont alors toutes les deux d ordre 3/2.

îl— — £i__

Pi

P P?[Pi(P^-P?)-V--^PottJ

Nous pouvons prendre comme valeur approchée de -j le

second membre dans lequel nous aurons remplacé p^ parp^^, Terreur ainsi commise sera très petite, puisque p diffère très peu de P0, et nous écrirons :

a^__ ï^ PÎ

^' "" ^ P? Pî[p (i>^ -p5) - sJ^'iPo^S

Fi g. 35.

Les deux premiers termes sont constants, le troisième seul

dépend de p.

Construisons le point M qui représente la quantité com-

âi4 THÉORIE DE LA DISPERSION DE HBLMHOLTZ'

plexé :

M = PÎ [9 (P' - Pi) - V^^lPoRJ.

La parlie imaginaire est constante et la partie réelle croissante avec p : le point M décrira donc de gauche à droite une parallèle à Taxe des quantités réelles {/ig. 35). -

Construisons maintenant le point M' qui représente la quantité:

Pi [? {p^ - Pi) - y/ " ipo^i]

Pour l'obtenir, il faut faire un angle o^OM' égal à Tangle yOM et prendre OM' tel que :

OM.OM' = PJ.

Le lieu de M' sera une circonférence décrite dans le sens de la flèche.

Il nous faut enfin construire le point

ce point décrira une circonférence dans le sens indiqué par la

flèche {fi(/. 35). La partie de la courbe -ji qui s'éloigne nota-

blement de Taxe des x^ présente donc sensiblement la forme d'une circonférence.

Par conséquent la courbe réelle possédera un point double et une boucle.

Le calcul montre que cette boucle existe tant que

Si ces deux quanlilés sont égales, on a un point de rebroussement. Si la première devient plus petite, le point double disparait, le second membre de l'inégalité est fini, ce qui montre que R^ doit être du même ordre que p, et p^, quand la boucle existe.

La courbe en - a même allure que la courbe en -5» Soit en

effet M le point qui représente -^ (Jîç. 36). Pour obtenir le point M' qui représente -> il faut mener la

bissectrice OM' de Tangle OœM. et prendre OM' = VÔM. Quand M décrit une courbe, avec point double il en est de même de M', et les points doubles se correspondent.

Pig. 36.

infrat^e rmt^ Jaune oerC Mol> violet uU.vùUeC'

Flg. 37,

Les dimensions de la boucle sont variables. Si pi n'est plus très petit et H, nolableraenl plus grand que P^, la boucle est très petite. Quand la courbe s'éloigne de Oa?, cela veut dire qu'il y a absorption, la boucle correspond à une bande noire. Si elle est peu prononcée, la perturbation est insignifiante et le spectre présente une dispersion normale (fig, 37).

Si la boucle est fortement accentuée [fig. 38), comme dans le cas d'un prisme de fuchsine, au-dessus d'une certaine

valeur de A, c'esl-à-dire pour la portion de la boucle située au-dessus d'une certaine parallèle ED à Taxe OX, il y aura absorption. De A en B nous aurons Tinfra-rouge ; de B en C, le le rouge ; de C en D, la jaune; de D enE, le vert absorbé, d'où une bande noire ; de E en F, le bleu ; de F en G, le violet ; et, au

Fig. 38.

delà, Tultra- violet. En projetant sur Taxe des a?, nous obtiendrons la variation de Tindice, et, comme le montre la figure, les couleurs rangées par ordre d'indice croissant se succèderont comme il suit:

Bleu, violet, (bande obscure), rouge, jaune.

142. Nous rendons compte par ces considérations de Texistence d'une seule bande obscure dans le spectre. Or les spectres observés présentent un très grand nombre de ces bandes obscures.

Dans notre analyse nous avons admis seulement trois sortes de molécules : les molécules d'éther et les molécules matérielles, les unes mobiles, les autres immobiles. Si, au lieu d'une seule espèce de inolécules ^matérielles mobiles, nous en