V AS
Pour déterminer X... X^... supposons qu*on donne aux molécules d'éther de l'élément dz un déplacement virtuel (8Ç, §7|, SC) et aux molécules matérielles un déplacement virtuel (8$|, 8yj,, 8ÇJ. Le travail virtuel résultant de ce déplacement sera :
AXSS -f YSt) + ZSÇ + X^SÇ, + Y,87|, + Z^8C^) dr l'intégrale étant étendue à tous les éléments dx du cristal.
PAR LES MIUEUX ANISOTROPES 259
Ce travail doit être égal à f accroissement virtuel SY d'un certain potentiel V.
Supposons, comme on le Tait toujours, que le rayon d'activité moléculaire soit très petit, nous pourrons diviser le volume total en éléments dx très petits en valeur absolue, quoique très grands par rapport au rayon d'activité ; le potentiel total sera égal à la somme des potentiels partiels qu'on obtiendrait en ne laissant subsister qu'un seul de ces éléments. Il étant le potentiel relatif à un élément e/r, nous pourrons poser :
V — /llrfT
8V =y8nc?T= AsXSÇ -f. 2X^55,) dz n est évidemment une fonction de Ç, y;, Ç, ?|, ^ii, Ç,, donc
Identifions les deux expressions de SV.
d-r\ * rfY||
Substituons ces valeurs dans les équations' (1) et (2), il vient
«PC j Ë?. £m P rf<» ~ ' ~ die "^ dÇ
£5i dn ^
Comme les ; sont des quantités très petites, n peut être développé suivant leurs puissances croissantes en négligeant les termes qui sont de Tordre de grandeur du cube des Ç.
n sera donc un polynôme du second degré par rapport aux Ç, et ses coefficients seront des constantes si le cristal est homogène.
De plus n sera homogène du second degré. En efïel, comme n n'est défini que par ses dérivées, il n'est déterminé qu'à une constante près, et nous pouvons annuler le terme de degré 0.
Dans l'état d'équilibre les l sonl nuls et aussi les forces; les dérivées de n doivent donc s'annuler en même temps que les ;, par conséquent les termes de II qui seraient du premier degré sont nuls.
Nous ferons sur l'ordre de grandeur des coefficients les mêmes hypothèses que dans le cas des milieux isotropes (§ 139), les termes en R^ seront encore négligeables en général sauf pour certaines radiations très voisines des radiations absorbées, il restera
148. Nous allons considérer une onde plane dont la normale a pour cosinus directeurs /, w, n.
Soit l'exponentielle :
2u où p= — > T étant la période, et a a pour partie réelle wp, n
étant rindice de réfraclion, et pour partie imaginaire le coefficient d'absorption k, et posons
Ç = Ae ç^ = A,e
7J = Bs ^« = S<s
(suivant une remarque que nous avons déjà souvent faite, nous ne conserverons en définitive que les parties réelles de ces expressions (§ 22-23).
D'après cela :
L'équation (4) peut s'écrire
Posons :
Q = nH-p,f (Çî + 7,î + cî).
Q sera encore un polynôme homogène du second degré par rapport aux $.
dQ<m d\ "" di dQ du , „ç
Introduisons ces expressions dans les équations (3; et (5j, nous trouvons :
(6) ^dl^ = ^>-d^+dl
dO
par permutation des lettres nous en obtiendrons deux autres, analogues à la dernière, de sorte que
Q étant un polynôme homogène du second degré, ces dériyées sont homogènes du premier degré. De ces trois équations nous pourrons donc tirer Ç^, t),, C| en fonction linéaire de ly 7), ( en substituant à Çp y]^ ^ ces expressions linéaires dans le polynôme Q, Q restera homogène du second degré par rapport à Ç, t^, Ç.
Représentons par -jr la dérivée de Q par rapport à Ç, en considérant les six variables indépendantes etpar^^^ cette dérivée en considérant Ç^, tj^, Ç^ comme des fonctions de \ définies par les équations[(6)
1)Ç "" c?? "^ c??< c?? "^ c?7^^ G?7j "^ 0?!;^ rfÇ
mais les trois derniers termes sont nuls d'après les équations (6) : il reste
Donc :
Les coefficients de Q dépendent de p, c'est-à-dire de la couleur considérée. Regardons pour un instant C, t), \ comme des coordonnées. Q = 1 sera l'équation d*un ellipsoïde.
En prenant pour axes de coordonnées les axes de symétrie
de cet ellipsoïde, Q prendra la forme
149. Si le cristal est orthorhombique, il a trois plans de symétrie qui sont forcément les plans principaux de Tellipsoïde ; quelle que soit la couleur considérée, la direction des axes est indépendante de la couleur. Si le cristal n'est pas orthorhombique, rien ne nous autorise à supposer a priori que certains plans soient des plans de symétrie ; Torientation des axes peut alors dépendre de la couleur.
Remplaçons dans l'équation (7) les l en fonction de e :
M zzr AAe = — Aa^e [P ^ m^ + n^) = — Aa^e D'où :
(0,2 p^« «J ç = yfTi a/0
et deux autres équations pareilles.
Posons :
puis remarquons que
nous aurons entre E, fi, C« les quatre équations :
(a^ — c) î = — v/— 1 anô
qui nous permettront d'éliminer Ç, t^, Ç.
ou comme
En définitive (9) -5 h -« T + -« = o.
Cette équation est celle de Fresnel. Les dimensions de la surface et la direction des axes dépendent en général de la couleur, puisque a, b, c en dépendent, sauf dans les cristaux du système orthorhombique où Torientation des axes est indépendante de la couleur.
Nous avons supposé qu*il existait seulement une espèce de molécules mobiles. En en supposant un plus grand nombre,
nous aurions pu conduire le calcul tout pareillement, seulement nous aurions trouvé plus adéquations :
dQ dQ__ dQ __
équations qui donnent Ç ... ^n en fonction linéaire de l, t), C, etc.
La théorie de Helmholtz rend donc bien compte des phénomènes de dispersion dans les milieux cristallisés.
Dans la plupart des autres théories, on est conduit à introduire des dérivées d'ordre supérieur, par rapport à a?, y, ^,
d*l telles que t-j» elc. Dans ces conditions, il est impossible
d'arriver aux lois découvertes par M. Garvallo, à moins d'introduire encore des dérivées d'ordre supérieur par rapport au temps.
