Mode de représentation des vibrations

Nous représenterons les variations de celte ellipse par les

déplacements de Taffixe de Timaginaire u + v^--lt?, c'està-dire du point ayant u pour abscisse et v pour ordonnée {fig, 41).

Si - est réel, v = o, le point représentatif Q est sur Taxe

des u : la vibration est rectiligne puisque ^ est réel, Tangle de sa direction avec Ox étant 6, on a :

•r =: tang 6 = u

Donc:

OQ = tang 6.

Si T- est purement imaginaire, les deux composantes pré-

sentent une différence de phase de -; la vibration est elliptique

et ses axes sont dirigés suivant les axes de coordonnées. Le point représentatif N est sur Taxe des v, ON est le rapport

des axes —•

Si on a OP = 1, le point P représente une vibration circulaire j = v^— i, de même le point F' tel que OP' = 1

OU - = — V — ^- Ls- première vibration est droite, la

deuxième est gauche.

D*une façon générale d^ailieurs, les points situés au-dessus de Ou {v < o) représentent des vibrations droites : les points situés au dessous (t? < o), des vibrations gauches.

Supposons que le rayon vienne à traverser une lame cristallisée, dont les sections principales sont orientées suivant les axes de coordonnées : ï et tj se propagent avec des vitesses inégales ; leurs phases varient de quantités inégales, les

modules A^ et B^^ ne changent pas, mais — change et devient

par exemple

Le point M', qui représente la nouvelle vibration, sera donc tel que :

OM' = OM MOM' = û>

Tout se passe comme si le plan avait tourné d*un angle a> autour du pointO,<i> étant la différence de phase introduite par la lame cristalline. Pour des rayons de même couleur, cette différence est proportionnelle à la différence des temps employés par les deux vibrations pour traverser la lame, par conséquent proportionnelle à l'épaisseur de la lame et à son pouvoir biréfringent n — n\

Pour des rayons de couleurs différentes traversant une même lame, n — n' est indépendant de la longueur d'onde si nous négligeons la dispersion ; la différence de temps est donc la même pour tons les rayons. Or (o est égal à 2ir quand cette différence est égale h une période entière : o) est donc en raison inverse de la période, ou en raison inverse de la longueur d'onde.

157. Proposons-nous de chercher quel sera, dans le mode de représentation que nous avons adopté, le lieu des points correspondants à des vibrations dont on donne soit l'orientation des axes, soit le rapport des axes.

Pour trouver ces lieux, nous nous appuierons sur le théorème suivant :

Théorème. — Soit une quantité complexe

I / — r a -{- ht ' c -- dt

a, bf c, d étant des conîvtantes imaginaires, t une variable réelle — Quand t varie de — ce à + c» , le point (u, v) décrit un cercle.

Désignons en effet par Uq, b^, c^, d^ les imaginaires conjuguées de a, b, c^ d:

D'où:

U^ -f- t?* = WWq =

(c -f ,^0 (Co + d,t) P4

Piy P2ï ^3» ^4 é^sitt^ <i68 polynômes du second degré en L Ces polynômes ne peuvent donc être indépendants et nous aurons une relation de la forme :

G< (u^ + t?2) + Gjw + 63!? -f C4 = o,

équation qui représente un cercle.

Gela posé, considérons les points qui représentent les ellipses ayant leurs axes dirigés suivant Ox\ Oy\ faisant un angle ô avec les axes de coordonnées.

Les projections des vibrations sur Oœ et Oy sont :

Ç' = Ç cos e + 71 sin 6 = (A cos 6 -f B sin 0) eV^/>'

7|' = — Ç sin 6 -f* ^ cos 6 = ( — A sin 6 -f- B cos 6) e^^P^

Soit T le rapport des axes :

— A sin 6 4- B cos 6

A cos 6 + B sin

ou comme :

u -}- v^— i y — tang 6 , — ;:

1 + (m 4- V — A ^) tang 6

Si nous cherchons le lieu des points tels que 6 = const, t sera

une variable réelle, liée à u + V^ — î^ par une relation homographique. Nous venons de voir que, quand t varie de — oo à + 00 , le point (u, t?) décrit un cercle. Ce cercle passera par les points P et P', précédemment définis [fig, 41). En effet, ces points représentent des vibrations circulaires, dont les axes ont une direction indéterminée.

Si nous laissons t == const, c*est-à-dire si nous nous donnons la forme de Tellipse et que nous fassions varier 6, c'està-dire Torienlation de cette ellipse, tang est encore une

variable réelle liée à w -f* V — ^^ pa** une relation homographique. Le point (w, v) décrit encore un cercle.

Si nous prenons ON = t, ON' = ->le cercle passera par ces

points N et N', ces points correspondent à des ellipses ayant leurs axes dirigés suivant les axes de coordonnées : Tellipse N'est égale à Tellipse N, mais elle a tourné de 90^. Par raison de symétrie, NN' doit être un diamètre. Comme d'autre part

1 = ON . ON' =ÔP^ = ÔP'2 les deux cercles NN' et PP' se coupent orthogonalement.

158.11 nous sera commode dans ia suite de remplacer cette représentation plane par une représentation analogue sur la sphère; nous effectuerons cette transformation par une projection stéréographique, le plan des (m, v) étant le plan du tableau et TorigineO des coordonnées ; ut?, le point de contact de la sphère avec ce plan. Cette projection, comme on le sait, conserve les angles, et les cercles se projettent sur des cercles.

Au point M du plan correspond le point m où la droite YM rencontre la sphère. Nous conviendrons de représenter Tellipse M par le point m [fig. 42).

Fig. 42.

L*axe des u se projettera suivant un grand cercle passant parO et que nous appellerons équateur. Les points de Téquateur représenteront par conséquent les vibrations rectilignes.

Soient Q un point de Taxe des w, q sa projection sur la

sphère,

OQ = tang 6

si nous prenons le diamètre de la sphère égal à 1^ donc :

THÉORIE DE M. MALLiRD

Tangle des axes de Tellipse avec les axes de coordonnées sera donc égal à la demi-longitude du point q.

Deux points diamétralement opposés ont des longitudes qui diffèrent de tc. Elles représentent donc des vibrations rectilignes rectangulaires entre elles.

Fig. 43

Les points de Taxe des v se projettent sur un grand cercle perpendiculaire à Téqualeur, que nous appellerons premier méridien. Un point N se projette en n [fig. 43)

OCn

latitude

OVÎÏ