Remarquons que les trois relations identiques

dz dy """'

dx dz ' dy dx *

sont les trois conditions nécessaires et suffisantes pour que la quantité

\dx -|- Tidy -|- ï^dz

soit une différentielle exacte. Dans le cas des mouvements longitudinaux, nous pouvons donc poser

^dx-^- r^dy -|~ W^ =■ <^fi et alors on a :

^'^ dx' ^"^ dy' ^ "" dz'

37. Ces préliminaires établis, considérons un déplacement \, T,, C. Pour démontrer que le mouvement peut être considéré comme résultant de la superposition d*un mouvement longitudinal et d*un mouvement transversal, il faut montrer que Ton peut avoir

5 = ï| + ïa» T^ = "ni + "na» ? = !;♦+ Cai

^p^io^i» s^ rapportante un mou vement transversal, et^at ^2» ^29

à un mouyement longitudinal. Nous aurons, diaprés ce qui précède :

et, par suite,

Çi,7)4, Ci» satisfaisant à Téquation différentielle des mouvements transversaux,

dx^^ dy ^^ dz

Différentions successivement Ç, t), X, par rapporta x^y.z et additionnons ; nous aurons

ç[^ , ^ . ^ ^ , f/7i| , dX,^ , d^^ I ^y 1 ^^y r/j7 "^ r/y "^ e/z "~ f/:» "^ r/y "^ riz "^ f^«"^r/y^ "^ rfz«'

reiktion qui, d après nos hypothèses, se réduit à

D'après Téquation de Poisson, la somme des dérivées secondes du potentiel en un point est égaie à — 47cpy p étant la densité de la matière attirante au point considéré ; on aura donc une fonction cp satisfaisant à la relation

en cherchant le potentiel dû à l'attraction d'une matière at-

tirante dont la densité serait — 7-. Il existe toujours une

telle fonction, et, par conséquent, le mouvement d'une molécule peut toujours être considéré comme résultant de la superposition d'un mouvement longitudinal et d'un mouvement transversal.

88. Équations des mouvements transversaux dans les corps isotropes. — Les équations des mouvements transversaux dans les corps isotropes s'obtiendront en faisant 6 = dans les équations (38) ; elles seront :

39. Équations des mouvements longitudinaux. — Les équations des mouvements longitudinaux prennent également une forme simple. On sait que

dx^^ dy^^ dz' , dÇ^ d?\ , d d-n , d dX.

mais, puisque u^v^io^ sont nuls, on a

dn rfÇ

dx dy

dX. dk dx dz'

d'où L'on tire :

d^d;t^__d^\ dy dx dy^

d dX, cPÇ dz dx "~ dxr

En portant ces valeurs dans Texpression de ^, on obtient

dx " dx^'^ dy^'^ dz^ "" ^'

et .si on remplace ^ par cette valeur dans les équations (38) on a, pour les équations des mouvements longitudinaux :

— P ^ = 2(fx -f- v)AÇ

- p g = 2(îx + v)AC.