AT
= ir,e-
cfC,
BV"
»ta.
= apA-
-âiB.
nous aurons
Si nous posons
H = a«A + ôpB-fcYG,
Téquation précédente et les deux qui s'en déduisent par permutation deviennent
AV« = ak — (xH, BV^ = ôB — pH, CV^ == cC — yH.
Ce sont les équations que nous avons déjà trouvées (154) en exposant ]a théorie de Fresnel ; elles nous montrent donc que les quantités A, B, G sont proportionnelles aux cosinus directeurs de la vibration de Fresnel, et qu'en outre les vitesses de propagation ont les mêmes valeurs dans les deux théories.
Dans ces deux théories les vibrations ont lieu dans le plan de Tonde ; il est facile de voir qu'elles sont rectangulaires. En effet si nous multiplions les relations (2) successivement par A', B', G\ et ^\ nous additionnons, nous obtenons
AA'+BB'+GC'=A'G'P-A'B'y+A'B'y— B'C'a+B'Ga— A'C'p=0.
* La théorie de Neumann ne diffère donc de celle de Fresnel
qu'en ce que la vibration au lieu d'être normale au plan de polarisation est parallèle à ce plan ; par suite toutes deux rendront également bien compte des faits expérimentaux puisque l'expérience ne peut indiquer si la vibration est parallèle ou normale au plan de polarisation.
DOUBLE RÉPIUCTION 355
166. Équations de Lamd. — Les équations du mouvement (l'une molécule d'une onde plane dans un milieu élastique satisfaisant aux hypothèses de Neumaon peuvent être mises sous une forme intéressante en introduisant les quantités u, D, u) définies par les relatiuDs
« = — — ^i dy dt
dœ dy Ces quantités, quand on y remplace \, i], X, par les valeurs X = AV, 11 = B'e", î = GV, deviennent
(S) r=^.'(AT-C'.) = ?=Ife',
D'autre part, on a
d5 /îi«Y
(e, ^ = (f)Wv.,
Or, la première des équations de condition trouvées dans le paragraphe précédent donne, quand on multiplie ses deux
membres par ( -r- ) « ' . '
et il est facile do voir, en calculant les dérivées partielles de Uy V, w par rapport à a?, y, z, que cette équation peut s'écrire
2*A* pA,,T4 , dv dio
Il résulte de ces transformations et des transformations analogues que Ton pourrait effectuer sur les seconds membres des équations (6) que ces équations se réduisent à
d^l ^dv dw
dt^ dz dy
. , d\ dw du
dj^ du , dv
dt^ dy dx
Ces équations seront satisfaites pour les déplacements (, -vj, C des molécules d'une onde plane vibrant suivant les hypo* thèses de Neumann. Ost sous cette Forme que les équations du mouvement de ces molécules ont été trouvées par Lamé.
Remarquons que, d'après les équations (5), m, t?, to sont les composantes du déplacement d'une molécule d'une onde plane dans la théorie de Fresnel quand ç, tj, C» satisfaisant aux équations (7], sont les valeurs des composantes du déplacement
DOUBLE RÉPRACTION 251
dans la théorie de Neumann . De 1s résulte une, méthode commode pour trouver les équations du mouvement d'une molécule dans la théorie de Fresnel. En eHet, si de la dérivée par rapport à y de la troisième des équations (7) nous retranchons la dérivée par rapporta z delà seconde, nous obtenons
rf rf*!; d rf^n rf»« «fp (Ptr cPu
■^'là'
dy dl* di dl* d^y dxdy d-rds
t*\dy dzj^^dx^'^dy^^dz*) '^da^ .
d*u . d*ii , d*v iPw
On trouverait par une marche analogue deux autres r-quations qui, avec la précédente, détermineraipnt les valpiirs ûv u, V, io pour une molécule d'une onde plane. La substitution de u ^ Ae^, v =^ Be'', w = Ce'' dans ces équations doit évidemment conduire aux équations que nous avons déduites des hypothèses de Fresnel (1&4) et que nous avons retrouvées précédemment (16B) ; c'eut ce dont il est facile de s'assurer.
THÉORIE DE M. SARKAU
167. Ëquatioas du mouvement. — M. Surrnu prend pour bases de sa théorie les mêmes hypothèses queBriot dans sa théorie de la dispersion, faypolhi^ses que nous avons di'jîi
énoncées dans le chapitre précédent (140). Dans cette théorie, les équations du mouvement sont
où p est une fonction périodique des coordonnées qui, développée en série trigonométrique, peut s'écrire:
p = VRsin {ax -|- ôy-|- cz -f- d),
La valeur moyenne de tous les termes de cette série étant nulle, sauf celle du terme où Ton aa = 6 = c = o, la valeur moyenne de p est égale à R sincf. A cause de cette périodicité imposée k la densité la résolution des équations du mouvement nécessite des calculs pênihles et, malgré les simplilBcations introduites par M. Potier, ils sont encore longs.
