Les coefficients des différents termes des polynomesF
6, H ne sont pas indépendants ; nous allons montrer que ai
cPti le polynôme F contient a ' > le polynôme G contient
dx^dy ^
D* après le mode de formation du polynôme P le terme
a , ^ ' de ce polynôme doit provenir du terme a -^ jrzr
ou Tf\x \xy de la fonction W,. En effet si nous appliquons ce mode de formation nous devrons d'abord prendre la dérivée de ce terme par rapport à \xyy ce qui donne qlt)^^» puis prendre la dérivée seconde de ce résultat par rapport à .r et à y, ce
Si maintenant noua cherchons les termes de G qui sont donnés par le terme « •r\x H^, delà fonction W,, l'un de ce^ termes s'obtiendra en dérivant d'abord par rapport à vii,,puîs en dérivant le résultat par rapport k j; et changeant le signe. En flTecluanl ces opérations on trouve comme nous l'avons an-
■tkc'dy *
nonce, -
102. Propagation d'une onde plane. — Étudions, en prenant pour point de départ les travaux de Neumann et de Hac-Cullagh, la propagation d'une onde plane dans un milieu hémièdre.
Les axes auxquels sont rapportées les équations du mouvement étant quelconques nous pouvons considérer l'onde plane comme parallèle au plan des iry. Alors E, ij, ^ ne dépendent plus que de X et de t, et les dérivées des déplacements par rapport à ^ et ^ disparaissent des équations du mouvement. Si les polynAmes F, G, H Étaient nuls, les vibration»
seraient transversales ; la condition = donnerait — - =
et les dérivées de ( par rapport à z disparaîtraient an^tii des équations du mouvement. En général, quand F, G et H sont dtiïérents de zéro, il n'est plus ainsi, mais les vibrations étunt encore presque transversales on peut négliger ces dérivt^es.
Dans ces conditions les équations du mouvement dans le plan de l'onde sont
équations dans lesquelles les coefficients satisfont aux relations imposées par le mode de formation des seconds membres.
Elles se simplifient quand on prend pour aies des a? et des y les directions rectangulaires des deux vibrations de Neumann. Elles doivent alors être satisfaites pour les valeurs de ^ et y^ correspondant à ces vibrations quand on y néglige les déri-
a^(«-vo vées du troisième ordre. Or si on fait Ç = Ae ^ i "n = Ot
coordonnées de rextrémité de la vibration parallèle à Taxe
des 07, la seconde donne bz= o. Par conséquent, par ce choix.
d*axes de coordonnées les équations précédentes se rédui-
sent à
193. En faisant des hypothèses particulières sur les coefficients des termes de W, qui contiennent des dérivées secondes et qui, par conséquent, donnent les termes F, G, H des équations du mouvement, Mac CuUagh est arrivé à des équations dans lesquelles a = y = o. Nous allons montrer que sans faire aucune hypothèse sur la fonction W, on a toujours a = Y= o.
D*après le mode de formation des seconds membres des
équations du mouvement le terme de W, qui pourrait
(PI di d^l
donner a -p-r dans F devrait être de la forme a -;- ^^ ou dz^ dz dz^
dUlz' Cherchons les deux termes qu'il donnera dans F. Nous
DODBU RÉFRACTION
Par conséquent le seul terme de "W^ pouvant donner un
terme eo 3— , dans la première équation en donne deux qui
se détruisent. On verrait de la même nianit^re que -p3
ne doit pas entrer dans la seconde équation. On a donc pour ces équations
194. Vitesses de props£rAtion.^Chorchon!« k <<atisraire à ces équations en posant
E = Ae ^ , T = Ba ^
2 ITT
Nous obtiendrons en substituant et divisant par — ■ AV =aA-f-y^pB, BV = cB — ^ SA ;
et en remplaçant -r- p par p' ,
AV« = aA -f «p'B,
BV« =± cB — tp'A.
Nous tirons de ces équations
(Va — a) A = ip'B, (V> — c) B = — îp'A,
et en multipliant ces deux dernières nous obtenons
Cette équation nous donne deux valeurs pour la vitesse de propagation de Tonde, et ces valeurs sont réelles, car p étant très petit, p' l'est aussi ; nous aurons donc deux rayons lumi-
neux . Ces vitesses deviennent égales h Y =:^adr p' quand on a a = c. Dans le cas général, Tune d*elles est très voisine
de V^, l'autre de ^c.
195. Polarisation elliptique des rayons. — La seconde des équations (2) nous donne
B — tp^ .
A""Va — c'
elle nous montre que le rapport -j est une quantité purement
imaginaire. Si donc nous supposons A réel, B est de la forme B = iBi et les parties réelles de S et 7| qui satisfont aux équa*
tions du mouvement sont
La trajectoire de la molâcule vibrante est donnéi; par l'équation
qui est celle d'une ellipse rapportée à ses axes. Par consé- 'quent, dans les cristaux hémièdres, les rayons sont polarisés elliptiquement elles axes de l'ellipse de polarisation sont les directions de vibrations des rayons polarisés mctiiignenient dans le cristal holoèdre.
Le rapport des axes de l'ellipse est égal à
En Élevant au carré et remplaçant p'^ par sa valeur (3), noua obtenons pour le rapport des carrés des axes.
Pour l'onde dont la vitesse de propagation est voisine de Va, le numérateur de R est voisin de a — c, et le dénominateur voisin deO; la valeur de H est donc très grande, et l'ellipse est très allongée. — Pour l'unde dont la vitesse de propagation est voisine de v^c, R est voisin de zéro, cl l'ellipse est encore très allongée. Par conséquent, en général, la
316 THÉORIB MATHÉMATIQUE DE LA LDMI^.RE
polarisation des deux rayons réfractés sera presque rectiligne. Pour que la polarisation elliptique soit appréciable, il faut que la différence a — c soit très petite ; dans ce cas, en effet, les deux termes du rapport R étant très petits, ce rapport aura une valeur finie.
Considérons le cas où c = a. Si on néglige les termes contenant p' en facteur, les deux équations (2) deviennent
AV> = ka BV> = Ba
et le rapport -r est indéterminé; la polarisation est rectiligne,
mais le pian de polarisation est indéterminé. La direction de propagation ]est donc un axe optique du cristal. D*après ce qui précède, la polarisation elliptique ne sera sensible dans un cristal hémiëdre que lorsque la direction de propagation sera voisine de Taxe optique, puisque dans ces conditions seulement a — c sera très petit. .
Si Ton considère une onde plane dont la direction de | propagation dans un cristal hémièdre est celle de Taxe optique, elle donnera naissance à deux ondes planes, puisque les vitesses de propagation \Ja -[- P' et >Ja — p' de ces ondes sont différentes. En outre, ces deux ondes seront polarisées circu-
lairement, car le rapport R des carrés des axes de Tellipse deys a
vient alors rrj = i. On aura donc le phénomène de la
polarisation rotatoire.
196. Reprenons le cas où les deux ondes se propagent avec des vitesses différentes que nous désignerons par V et V, et où les rayons sont polarisés elliptiquement. Montrons que les ellipses décrites par la molécule vibrante dans les deux ondes planes sont égales.
DOUBLE HÉPRACTION 317
Si DOQS supposons que Y soit la vitesse la plus voisine de Vo, le rapport R des carrés des axes de l'ellipse qui correspond à cette vitesse sera plus grand que 1 et représentera le carré du rapport du grand axe au petit axe ; la valeur de ft est alors
Pour l'autre vitesse V, R est au contraire plus petit que l'unité, et le carré du rapport du grand axe au plus petit axe de l'ellipse correspondant à cette vitesse est
Si les deux ellipses sont égales, nous devons avoir
Or, si nous développons l'équation (3) qui donne les vitesses, nous obtenons
V'-(o + c)V'+oc-f'=0,
et nouB avons bien pour la somme des racines V* et V* de cette équation
Ces deux ellipses égales ont leurs grande axes perpendiculaires l'un à l'autre, puisque le rapport R du carré de l'axe dirigé suivant ^x au carré de l'axe dirigé suivant Oy, passe
d*une valeur plus petite que i à une valeur plus grande que i, ou réciproquement quand on y fait successivement V> égal à V'« et à V"2.
Enfin ces ellipses seront décrites en sens contraire, comme l'indiquent les flèches de la figure. Pour le faire voir, il suffît de
montrer que le rapport -r* des modules de 7| et de ^ change de signe avec le rayon considéré. Or, ce rap-
X port a pour valeur ^^' > et il
changera de signe si e est compris entre les valeurs V^ et V* des car- P^8- 2S- rés des vitesses. La substitution de
c à Y^ dans le premier membre de Téquation des vitesses
donne un résultat négatif, tandis que si Ton fait V> = œ el
V = 0, on obtient une quantité positive. L'une des racines
est donc plus grande que e, Tautre plus petite.
