XX
Si Ton se reporte à la valeur de W^ que nous ayons trouvée
(28), on voit que:
'xx-—^^-^iyx\
On trouverait que, pour la position d'équilibre du système, on a de même :
Ces expressions montrent que, si les six quantités
Èi--. 2i»^. Si»-.
sont nulles, la pression extérieure est nulle dans Fétat d'équilibre. C'est la réciproque de la propriété que nous avons démontrée au n^ 10.
82. Considérons maintenant l'équation (36) qui est une des équations du mouvement ; en y remplaçant W par son développement W| -f- Wj, elle devient :
^ dt^'~ Zj dx " 2u dv '
W| étant linéaire et homogène par rapport aux dérivées par-
rfW tielles. —=r^ est une constante; la dérivée de cette fonction par
rapport à x est nulle et le premier terme du second membre de Véquation disparaît. Les équations du mouvement se ré»
duiront donc à :
dVf.
dfi
d^l V ^^ dx
dt^~-~ Là
dx
33. Équations du mouvement dans les corps isotropes. — Dans le cas des corps isotropes, la fonction W, est donnée par la relation (27) (24) :
Wj = XK 4- jjlH + ve2.
En portant cette valeur dans les équations du mouvement, la première de ces équations devient :
r-r ,rfK ,rfH .^02
dx dx dx
Cherchons la valeur de chacun des termes qui composent le second membre.
De la valeur de K donnée par la relation (26) (22) on tire :
dK ,
et, par suite,
rfK ** rfÇ; d\ d»?
dx dxdy ^ dxdz'
rfK
dS; d'il rfy «terfy*
dK
'^ dM cPl dz dxdz
En additionnant ces dernières égalités, on obtient :
dx
le coefficient X disparaît donc des équations du mouvement, mais il entrerait dans la valeur des pressions si Ton cherchait ces quantités dans le cas des corps isotropes. En se reportant à la valeur de H donnée par la relation
on en déduit
^-r.' î^-2P î^-SF'
r/H rfH , rfH
Ij^-^Ék l^-.î£!!i !j5L-2£^
dx ~ dx^' dy ~ dy^' dz ^ dz^^
et
Cherchons maintenant la valeur du terme contenant : nous aurons
et
, ^ dx dx
Par conséquent, les équations du mouvement deviennent
Elles contiennent deux coellicients arbitraires, qui se réduisent à un seul dans le cas où les forces sont centrales et la pression extérieure nulle dans Tétat d'équilibre. On a vu, en effet (27), que Ton avait alors :
îx = — ^. .A4-v = o,
ce qui donne
34. Mouvements longitudinaux et mouvements transversaux. — Nous allons montrer que le mouvement d'une molécule d*un milieu isotrope peut être considéré comme résultant de la superposition de deux mouvements ; nous appellerons l'un, mouvement transversal, l'autre, mouvement longitudinal, et nous justifierons plus tard ces dénominations.
Prenons les équations (38), dérivons la première par rapport à X, la seconde par rapport à y, la troisième par rapport à Xy et additionnons ; nous obtiendrons
-^\:dF-^-dF + -dfi-) = ^^\^di-^^d-y-^^M)
'T'^" \dx* '^ dy* '^ dzy- Or, on a, d'après la relation (25) :
e = ?i + >>; + Ci.
par suite
€pfi d^9i d^fi
et
d*e ^ rf^s; fPr^i r/«c:
dfi dt^ "^ dt^ "^ df^
On voit donc que la somme précédente peut s*écrire
-p^ = 2(^ + v)Ae,
équation différentielle à laquelle doit satisfaire la fonction 9. Si on suppose qu'à l'origine des temps, c'est-à-dire pour t = o, la fonction 8 et sa dérivée par rapport au temps sont nulles, l'équation précédente montre que la dérivée seconde est encore nulle. Endé rivant cette équation, on en obtiendrait une nouvelle de laquelle on conclurait facilement que la dérivée
troisième de 8 par rapport au temps est nulle pour ^=: o. Les autres dérivées seraient également nulles, ce qui exige que la fonction soit identiquement nulle. Les petits mouvements pour lesquels la fonction est identiquement nulle sont les mouvements appelés transversaux.
