Quand on suppose que la pression extérieure est nulle
-TpP2 du développement
(20) disparaît (15) ; par conséquent ,u.| est nul et la relation précédente devient :
Il ne reste alors que deux coefficients arbitraires dans la fonction Wj.
ScPF
est nul (17). et le premier membre de la relation (29) se réduit à ^V -TpâPÎ. Or nous avons vu que, si on remplace pj par sa valeur tirée de la relation (22), on obtenait
par suite, le coefficient de ly^ doit être égal à celui de 2 Çj^Tj^ dans le premier membre de Tégalité (29), et il doit
en être de même dans le second membre. Le terme Çy^ s*y
trouve avec le coefficient jx — [l^ ; le terme ^Ix'^y entrant
dans B* avec le coefficient i et dans K avec le coefficient -,
il est dans le second membre de (29) avec le coefficient v -f- q* Par conséquent, on a la relation :
En y remplaçant «x — ix^ par sa valeur donnée par (30), on obtient :
(32) X + v = or
et le nombre des coefficients arbitraires se trouve réduit h deux.
27. En résumé, la fonction Wj relative aux forces intérieures qui résultent de la déformation d*un milieu isotrope est une fonction homogène et du second degré des neuf dérivées des quantités l, qui contient au plus trois coefficients arbitraires X,{x,v. Le nombre de ces coefficients pouvant se réduire dans certains cas particuliers, nous aurons :
1^ Trois coefficients arbitraires dans le cas général ;
2^ Deux coefficients quand la pression extérieure est nulle dans Tétat d'équilibre et que les forces ne sont pas centrales ;
3^ Deux coefficients quand les forces sont centrales et la pression extérieure différente de zéro dans Tétat d'équilibre (hypothèses de Cauchy);
4« Un seul coefficient quand les forces sont centrales et la pression extérieure nulle dans Tétat d'équilibre, car, dans ce cas, les relations ^31) et (32) sont vérifiées simultanément.
28. Expression de "W^ en fonction des dérivées partielles. — La fonction W^ est le terme du premier degré du développement de la fonction W par rapport aux puissances croissantes des ^(18); cette dernière fonction peut, comme la fonction U', être développée par rapport aux puissances croissantes des p, et, en nous reportant aux relations (12) et (17), nous obtiendrons :
la sommation s'étendant seulement aux molécules de Télément de volume dx. En 'remplaçant p^ par sa valeur tirée de la relation (22), la fonction W^ devient :
C'est donc une fonction homogène et du premier degré par rapport aux neuf dérivées partielles.
29. Pressions extérieures. — Équations du mouvement. — Considérons une surface fermée S {fig. 1) divisant le milieu élastique en deux parties : Tune R intérieure à la surface, Vautre R' extérieure. Les diverses molécules de R' exercent des actions sur les molécules de R, mais, le rayon de la sphère d'activité moléculaire étant très petit, il n'y a que les molécules de R voisines de la surface qui sont soumises aux actions de H'* C^s actions peuvent être remplacées par un système de forces appliquées aux éléments du) de la surface S et qui, en
général, agiront obliquement sur réiément considéré. Nous désignerons par
• les composantes suivant les trois axes de la pression 8*exerçant sur Télément cU» ; ce sont des forces extérieures au système, si on ne considère que le volume R limité par la surface. L*application du principe ded'Alembertet du principe des vitesses virtuelles à ce système va nous permettre de trouver les valeurs des composantes des pressions, et, en même temps, nous donner une nouvelle forme des équations du mouvement.
Si p est la densité d*un élément de volume dt (la lettre p sera désormais exclusivement employée dans ce sens), la masse de réiément est pefr, et les trois composantes de la force d*inertie qu*il faut supposer appliquée à cet élément, pour que, d'après le principe de d*Alembert, cet élément puisse être considéré comme étant en équilibre, sont :
-9d^âP^ -9^'dP^ -^^'^'dP'
Tous les éléments du volume R étant en équilibre sous Taction des forces effectives et des forces d'inertie, on pourra appliquer à ce volume le principe des vitesses virtuelles : dans un système en équilibre la somme des travaux virtuels est nulle. En désignant par U la fonction des forces relatives aux forces intérieures et extérieures à R, la somme des travaux virtuels de ces forces estSU; et, en appelant 8;, 8tj, 8ï les projections du déplacement virtuel d'un élément ^t, le travail
L4 LUmilB. 4
virtuel de la force d'inertie est :
La somme des travaux de toutes les forces d'inertie sera :
et, d'après le principe des vitesses virtuelles, on aura :
(33) 8U-/pd.(g8Ç-f^8,+g8ç)=0.
quels que soient SÇ, Sy|, 8!;.
Remarquons que, d'après la relation (19), nous avons :
= 8U^+ TsW^t;
hV étant la somme des travaux virtuels des forces extérieures, c'est-à-dire des pressions précédemment définies, nous aurons donc :
- = Jdco(P.8ï + Py87i+P,8Ç),
l'intégrale étant étendue à toute la surface S. Si on suppose que les composantes 8y| et 8^ du déplacement sont nulles, le travail virtuel des forces extérieures se réduit à :
-^ = y^rfo) V^ Zl
La fonction W relative aux forces intérieures est une fonc-
tion des neuf dérivées partielles des Ç. Par suite du déplacement virtuel donné au système, chacune de ces de'rivées varie en général, mais dans le cas particulier où l'on a Bti = 8î;= o, les seules dérivées qui changent de valeur sont Ç^i ly, Iz- Par conséquent :
Or 85i c'est-à-dire 8 t- est égal à -i- 8$, et Texpression de •
eux! UfCC
^W devient
'^=2fi£«-
Par suite, on a :
el» en portant cette valeur dans Kégalité (33) où Ton fait Bij = 8^ = dans le terme relatif aux travaux des forces d*inertie, on obtient :
(34) j<l'^^.^\+jd.^^^pi-J,d.^,l%=^o.
80.11 faut maintenant transformer cette expression qui contient à la fois 8Ç et la dérivée de cette quantité par rapport à 07. Pour cela nous nous appuierons sur le lemme suivant, qui sert ordinairement a la démonstration du théorème de Green dans la théorie du potentiel :
Étant donnée une fonction F des coordonnées x, y, z d'un point, rintégrale de la différentielle Fk cfo), où <x est le premier cosinus directeur de la normale à l'élément dm d'une surface fermée S, cette intégrale étant étendue à tous les éléments de
la surface S, est égale à Tintégrale de la différentielle -r^efT,
ax
étendue à tous les éléments di du volume R limité par la
surface S.
Si nous posons :
nous aurons :
OU, en développant l'intégrale du second membre,
Nous obtiendrons de la même manière les deux relations
En additionnant ces trois relations membre à membre, nous
avons :
ou,
Le premier membre de cette relation est précisément le terme de Tégalilé (34) qui contient la dérivée de Zl; remplaçons ce terme par sa valeur, nous obtiendrons :
-J ,dr
OU, en réunissant sous le même signe les quauitités q«i subissent la même intégration,
lldi
Cette égalité devant avoir lieu, quel que soit 8^, il faut que les coefficients de 8( da} et de II dr soient nuls ; par conséquent» nous aurons :
•81. La première de ces égalités donne la valear de la composante de la pression suivant Taxe des œ ; en posant
ç[w dw £rw.
l'expression de cette composante devient :
P^=«P„-}-pP,y-}-yP„.
Considérons l'une des quantités P^c^, qui entrent dans cette expression, on a :
Or W4 est une fonction linéaire et homogène des dérivées partielles, W^ une fonction du second degré de ces mêmes quantités, donc le premier terme de Pjrx est une constante et le second une fonction du premier degré des dérivées partielles. Lorsque le milieu est dans sa position d'équilibre, les quantités \ sont nulles et, comme zéro est un ïninimum pour ces quantités, leurs dérivées \xi ^^'•- sont nulles aussi; le second terme de V^x disparaît et la valeur de V^x dans la position d'équilibre est :
