Ondes sphérîques. — Soit une onde sphérique qui
de convergente devient divergente.
fRfPWK^
ONDKS SPHÉRIQUES 209
Prenons le foyer comme origine des coordonnées polaires
déflnies par :
X =z rï?inôcoso)
y =: rsin ôsincD
z =z rcosO.
Nous voulons trouver une fonction l de r, 9. o qui vérifie Téquation :
A cet effet il est nécessaire de donner la définition des fonctions sphériques et quelques-unes de leurs propriétés.
On appelle fonction sphérique d'ordre n une fonction X» de 6 et de w, qui multipliée par r^ donne un polynôme P» homogène de degré n en a?, y, z et satisfaisant à l'équation
AP„ = o
Une fonction quelconque l de (r, 0, w) peut se metlre aoiis la forme :
F„ dépendant seulement de r.
Ecrivons que Ç vérifie l'équation (i) :
dx
Le second terme est nul, en effet :
dFn X d?n
rlc.
dx r dr dx dx dy dy dz dz v dr ( dx dy "^ dz J
LUMIÈRE. Il — 14
lais d'après le théorème des fooctions homogènes le facteur Qtre [ ] est nul : car Xq est une fonction homogène de egré o de (œ, y, z), puisque 9 et u> sont de degré o en r y œ) et que X„ ne dépend pas de r.
Donc :
iï = 2 ^"^^« + 2 ^"'^''"■
D'aprèH la définition des fonctions sphériques : (2) o = iP„ = ir"X„ = X„ir" + r''iX„.
tji Ka ne dépend que de r :
Appliquons cette formule à r" :
ir„ = n (n — 1) r"-* -}- 2nr"-» = « (m + *) r"-". Remplaçons Ar" par sa valeur dans [%) :
o = X„n (n + I) r»-» + r-iX, '**' X„ - r»
Tirons de celte équation la valeur de iX„ et portons-la lans Ll, il vient :
(4) AE=2x,(iK.-li!-tiip.)-
L'équation (1) peut alors se mettre sous la forme :
0ND8S SPHËRIQUKS Le premier membre doit être nul identiquement, ce exige que le terme général soit nul. La fonction F„ doit ( vérifier t'équation diR'érentielle :
La seule Bolution de cette équation qui reste finie |
r = o est uD polynôme entier en cos *r, sin « r, et — Posons :
R»=jrv'~-™U„{v'~)''rf«-
Cette expreBBion est une fonction de r; c'est un polyn entier en e*-'", g-v^*'- el-i par suite en coa ar, ein *r c'est la solution cherchée.
On vérifie d'ailleurs aisément que l'on a :
F, = A. R,, A. De dépendant que du temps et
Les fonctions spbériques contiennent, tiers, les polynômes de Legendre.
"• ™ - (.( cos «)■ 2"»!
Pour déterminer A», on pourrait procéder comme dans le cas précédent.
Lorsque r est très grand, le premier terme de R„, conte-
nant -» est seul sensible et la valeur asymptolique de R^
s exprime par :
-j , sm ar
R„ = ± pour n pair;
r, , cos ar
R» = dr pour n nnpair.
Pour r très grand nous aurons donc :
ri = ^Ajw (— i)'» sin oirX^n + ^A^n + i (— 1)'* cosarX^n + p
ce que je puis écrire :
rÇ := B sin ar -f- G cos ar avec
B = ^A^M ( — 1)'* XjM ; G = /jA2/»Ti ( — ^r^2n-i-i'
Mais en un point très éloigné du foyer nous pouvons regarder la lumière observée comme constituée par la superposition d'un faisceau convergent et d'un faisceau divergent.
Soit alors :
ri = f^ ((0,6) cos (ar -f- pt)
Téqualion du faisceau convergent. La fonction f^ (w, 6) peut être regardée comme une des données de la question. Soit :
>i ~ A (w, B) cos (ar —pt),
ONDES 3PHÉR1QURS celle du Taisiceau divergent. Nous devons avi
B sin ar -[- C cos ar := f^ cos (ir + pi) + ,
ou en identiGant :
G = (/;+/,)co8p(.
Quand on passe d'jne dJreulinn à la dire' menl opposée, c'est-à-dire quand on change en j[ — 9, B qui ne contient que des foni d'ordre pair ne changera pas, et C qui ne fnDctions sphériques d'ordre impair change peut en conclure que ;
/VKe)=-A(<.> + ^,Tr-
On remarquera le changement de signe i< formule; c'est une confirmation des résul suivant)!.
Connaissant /, et /,, on en déduira san*! \ conséquent les coefficients A„. Laconnaissai cienis permettrait d'étudier les phénomènes voisinage du Toyer. On n'arriverait pas tou mule relativement simple et élégante, comn avons obtenue dans le cas des ondes cylindi
128. Polarisation par diffraction. — Oi question de la polarisalion par diffraction imporlance, on espérait arriver par l'étude d à décider entre la théorie de Fre=nel et la
mann, c*est-à-dire à décider si le plan de polarisation est perpendiculaire OU parallèle à la direction de la vibration.
Par une application inexacte du principe de Huyghens, on avait obtenu des résultats qui ne furent pas confirmés par Texpérience, et les espérances qu'on avait conçues ne se justifièrent point.
Voici à peu près comment on raisonnait pour appliquer le principe de Huyghens.
Supposons un écran plan : prenons le plan de cet écran
Fig. 30.
comme plan des ary : soient dans cet écran une ou plusieurs fentes parallèles à Taxe des a?, et indéfinies (c'est le cas d'un réseau). Sur cet écran tombe une onde plane parallèle au plan des axy^ c'est-à-dire un faisceau de rayons parallèles àO^. Soit Oz un de ces rayons : par suite de la diffraction nous aurons de l'autre côté de l'écran des rayons déviés dans difl'érentes directions, mais tous parallèles au plan des yz. Nous appellerons ce plan des yz plan de difl'raction {fig, 30).
POLARlSATIOn PAR DIFFRACTION
Considérons un de ces rayons dilTraclés OD. Deux cas s i distinguer:
1° Supposons la vibration incidente parallèle à Ox, c'esi dire perpendiculaire au plan de diffraction par raison symétrie; sur le rayon diffracté, la vibration en un poln sera encore parallèle à Oit;, dirigée par exemple suivant I seulement l'amplitude sera différente, elle sera dimim dans un certain rapport;
i" Si la vibration incidente est parallèle à Oy, c'est-à-( parallèle au plan de diffraction, on ne peut pas admei qu'en D la vibration soit encore parallèle à Oy, puisqu'i ne serait plus perpendiculaire au rayon OD.
Décomposons la vibration incidente OK' en deux auti l'une OK" dirigée suivant le rayon OD, l'autre OK" perp diculaire OD. La vibration OK'' étant longitudinale ne s pas transmise par l'élher; seule la seconde sera transmis! en D nous aurons une vibration telle que DK,, perpendicuU à CD dans le plan de diffraction. En appliquant les furmt de Fresnel on trouve que :
DH DK DK.
