QUIQUET

tables numériques qulls avaient entre les mains une loi simple, qui, au moyen d'une analyse algébrique» les conduisît à une expression satisfaisante. La seconde méthode est bien plus féconde que la première, les formules sont plus simples, les constantes moins nombreuses, et l'étude de l'équation obtenue peut faire découvrir des propriétés imporlanles qui pourront apporter des simplifications considérables aux calculs viagers.

Formule de Moivre. — C'est ainsi que deMoivre, remarquant que, dans la table de Halley (dressée en i693), les nombres de survivants décroissaient, à plusieurs reprises, en progression arithmétique, proposa de supposer la raison de cette progression constante et égale à i , l'âge final étant 86 , ce qui le conduisit à la formule w^ = 86 — x ,

t'jc étant le nombre des vivants à 1 âge x.

Le nombre des vivants à l'âge x est égal au complément à 86 du nombre x, La vie probable et la vie moyenne sont toutes deux égales à la moitié du nombre des vivants.

Grâce à son extrême simplicité et malgré l'inexactitude de l'hypothèse de de Moivre, cette formule rendit des services importants à une époque où les résultats statistiques faisaient presque complètement défaut. Elle permit d'abréger et de simplifier considérablement les calculs viagers, et Baily et Maas en tirèrent parti avantageusement.

Polynômes. — La forme linéaire fut néanmoins rapidement abandonnée, et, dès 1765, Lambert, uti-

lisant les données fournies par les registres de mortalité de la ville de Londres de lySS à 17 58, représente le nombre des vivants à Tâge x, compris entre 45 et 9o ans, au moyen d'un polynôme du 5® degré en x de la forme :

t^, == a + 6(a? — 45) + c(x — 45)^ + c/(aî — 45)3

Thomas Young et Littrow^ ont, eux aussi, essayé d'interpoler plus tard les tables anglaises au moyen de fonctions entières en x, et Babbage, en 1828, a donné la formule du 2** degré :

qui s'applique à la table suédoise.

Dans ces divers essais, on peut voir des applications de la méthode que M. Quiquet nomme méthode a posteriori.

Fonction exponentielle. — Mais bientôt certains actuaires furent frappés de l'analogie qui existe entre les courbes de mortalité et la courbe qui représente les variations de la fonction exponentielle : j = a*, a étant supposé inférieur à i . Cette dernière courbe est bien asymptote à l'axe des abscisses, tandis que le nombre des vivants devient nul pour une valeur de X relativement faible : 9o ou 100. Mais on peut choisir a de telle sorte que la courbe se rapproche rapidement de son asymptote et limiter l'application de la formule à un âge convenable, 70 ou 80 ans par exemple.

Une objection plus grave résulte de ce que, si le nombre des vivants était lié à l'âge par Féquation :

le taux annuel de mortalité :

serait constant et indépendant de Tâge. Or toutes les tables de mortalité nous indiquent le contraire. Le taux annuel de mortalité décroît du commencement de la vie jusqu'à Tâge de 25 ou 3o ans environ et croît ensuite. La relation simple

ne saurait donc convenir.

Mais .en combinant entre elles des exponentielles , peut-être pourrait-on arriver à une représentation algébrique satisfaisante de la loi de survie.

Loi de Sang. — Sang propose la formule Vx=a'-\-b(f,

Le taux annuel de mortalité n'est plus constant, et on pourra déterminer a, 6, c, de façon qu'il croisse avec l'âge. Il deviendra alors possible de représenter au moyen d'une telle fonction le nombre des survivants à partir de l'âge où le taux de mortalité passe par un minimum.

La loi de Sang joint d'une propriété Importante. Si l'on considère en effet un groupe de k têtes d'âges :

58 ÂSSmUNCBS Stm LA VIE

ta probabilité pour que Tune au moins de ces têtes soit vivante dans n années est :

(fi c*i + " c*s c*8 + " c*/c — c*'^^"

Comparons ce groupe à un groupe.de k tètes toutes du même âge Ç ; la probabilité pour qu'une au moins de ces nouvelles têtes soit vivante dans n années est :

Ces deux probabilités sont égales si la relation suivante est vérifiée :

(a + bc^f (a + bc^') . . . (a + bc^' )

La relation précédente, indépendante de n, permet de déterminer ç en fonction de {xi, x^, ... x,,), et le groupe donné, considéré comme s' éteignant au dernier décès, aura la même probabilité de survivre après un temps quelconque que le groupe composé des k têtes d'âge $. Ce deuxième groupe pourra être substitué au premier dans les calculs, ce qui constituera une importante simplification.

Cette propriété est vérifiée également pour la loi de Moivre; la relation qui détermine ^ est alors la suivante :

(86 — ?)^ = (86 — xO(86 — a:,) ... {86 — x,).

ÉQUATIOnS DE SURYIB S9

OU, en désignant par y, X^, Xj, ... Xjt les oomplémeats d'âge :

logx = jl logX,,

M. Poterin du Motel a démontré {Bulletin de rinstitut des actuaires français, année i896, n*» 24) que cette propriété n'appartient qu'aux lois de Moivre et de Sang.

Fonction linéaire d'exponentielles. — M. Laurent a étudié la représentation analytique de lois de survie au moyen" d'équations telles que :

v^ = Ae** + Be^^ + Ce^» -f . . .

et il a indiqué, dans le n** 8 du Bulletin de VInstitut des actuaires français y un procédé élégant pour Tinterpolation d*une fonction f{x) au moyen d'une fonction linéaire d'exponentielles.

Si Ton considère en effet la fonction :

Aa. .) = ^i|^ (.)

OU remarque que l'expression:

y(«)+(«--««)yi[a, X)

se réduit à f{a) pour a? = a et à/(6) pour x = fe. Si l'on pose :

on obtient, en combinant (i) et (2) :

/(x)=y(a)-}-(a^-a«)yta, 6)4-(a'-a-) (^^-^')f{a,b,x)

L'expression :

fia) + («« - «-) /{a, b) + (X' - «-) {r - P') A<^' b. X)

se réduit à f(a) pour œ = a, à J{b) pour a; = 6 et à f{c) pour x = c.

On peut continuer ainsi ; on obtient successivement :

/{x)=J{a)-]-{oc'-»')/{a.x)

y)[x)=/î;a)+(«='-a«)/(a, 6)+(cf-a") (P'-P')/(a, b, x).

Si la première formule d'interpolation n'est pas satisfaisante, on passe à la seconde, puis à la troisième, etc.; mais, comme le fait observer M. Laurent, « les calculs déjà faits ne sont pas inutiles, » puisqu'il suffit d'y ajouter des termes de correction, et l'indétermination de a, p, y, ... permet d'attribuer à f{x) de nouvelles valeurs arbitraires.

Lambert et Duvillard ont étudié des formules de survie qui se présentent sous la forme d'une somme d'un polynôme entier et d'exponentielles. Lambert a interpolé la table de Sussmilch au moyen de l'équation :

i^,= iooo ^^^~^y — 6i76(e"^ — e~^^),

qu'il applique de o à 95 ans.

Enfin , on peut prendre pour fonction interpolatrice un produit d'exponentielles :

^ — - gA + Bas + 0** + .-

Nous rencontrerons des fonctions de cette nature un peu plus loin , lorsque nous ferons Texposé sommaire de la généralisation, due à M. Quiquet, des lois de Gompertz et de Makeham. Mais, auparavant, il est nécessaire d'étudier les propriétés de ces deux célèbres lois. ...

Lois de Gompertz et de Makeham. — En

1825, l'actuaire anglais Gompertz propose de représenter la loi de survie par la formule :

au moyen de laquelle il interpole d'une manière satisfaisante la table de Carlisle.

En 1860, un autre actuaire anglais, Makeham, obtient une expression plus satisfaisante encore :

qui a ser^i à interpoler les plus récentes tables d'expérience à partir de l'âge pour lequel se produit le minimum du taux annuel de mortalité dont il a été question plus haut.

Gompertz* et Makeham attribuent la mort à deux causes. La première est le hasard, qui frappe aussi bien les personnes jeunes que les vieillards. Si le hasard agissait seul, le nombre des décès à chaque âge

* Gompertz : « La mort est considérée comme pouvant être le résultat de deux causes générales indépendantes : Tune consisterait dans le hasard, dans les accidents qui peuvent priver de la vie une personne encore en parfaite santé ; Tautre est la vieillesse, qui affaiblit graduellement tout individu. »

Théorie math, des Assurances. 2*

62 ASSURANCZS SUR L& VIE

serait simplement proportionnel au nombre des vivanis à cet âge, et Ton aurait successivement :

i\ = Vo — hvo =^'o(i — ^) Vi = Vi — hi\ = ro(i — hy

v^ = Vo{i—hy

La table de survie serait une simple progression géométrique décroissante de raison (i — h).

La seconde cause de mort est raffaiblissement progressif de nos organes avec l'âge, la diminution de notre force vitale, qui produit un accroissement correspondant de rintensité de la mortalité. Cette intensité est, en effet, beaucoup plus grande pour un groupe de vieillards atteints d'artério-sclérose , perclus de rhumatismes , que pour un groupe^ de jeunes gens aux organes sains et vigoureux. Si on admet, avec Gompertz, que cette intensité de mortalité m s'accroît proportionnellement au temps et à sa propre Tsjeur, dans un intervalle dx infiniment petit, on aura :

dm=:logc .m.dxy

en désignant par log c le coefficient de proportionnalité; ou, en intégrant :

log m = a? log c -f- log |x ;

c'est-à-dire : m = \t.(f,

Négligeant dans le phénomène la part due au hasard, Gompertz s'en tint à cette expression de l'intensité, ou du taux instantané de mortalité. Makeham, reprenant l'hypothèse complète, ajouta à m pour obtenir ce

ÉQUATIO]!«S DE SURVIE 63

tdux de mortalité une constante v, destinée à représenter l'action du hasard, indépendante de l'âge. Il obtint ainsi :

loi analogue pour les taux de mortalité à celle que Sang avait proposée comme loi de survie.

Mais on sait que : îc^ = — ' .

On obtient donc : ~ = u.c^ -1- v.

L'intégration de cette expression donne * :

t\ = e logo 9

ou, en posant :

li

forme sous laquelle on présente généralement la loi de Makeham, La loi de Gompertz s'obtient en faisant dans cette expression v = o, ou 5 = 1, ce qui donne :

Gompertz a fait l'application de sa formule aux tables de Northampton, Deparcieux, Carlisle, à laHable suédoise. Elle interpole assez exactement ces tables pour des périodes plus ou moins étendues , d'une cinquantaine d'années au maximum, sans que l'on ait besoin de changer la valeur des constantes.

- * Le signe log représente , ici et dans les pages suivantes, des logarithmes népériens.

Makeham et Woolhouse ont interpolé, au moyen de l'équation :

à peu près toutes les tables connues , à partir de Tâge pour lequel le taux de mortalité annuel est minimum jusqu'à la limite extrême de la vie.

Il est facile de voir en eflfet que la formule de Makeham, pas plus que celle de Gompertz, ne peut s'adapter à une table de mortalité comprenant l'existence entière. Toutes les tables de taux de mortalité font ressortir l'existence d'un minimum pour un âge compris entre

i5 et 3o ans. La quantité qx=i ^^^ présentant un

minimum, la quantité i — qx'= — ^^^ devrait présenter

un maximum.

Or, si la loi de Makeham est supposée vérifiée, on a :

expression qui varie toujours dans le même sens.

Gompertz chercha à éviter cet inconvénient et à représenter l'existence entière au moyen d'une formule unique en supposant les quantités ketc fonctions de x. Le cadre de cet ouvrage ne nous permet pas de nous étendre davantage sur ce sujet.

Calcul des constantes. — Reprenons la loi de Makeham : v^=:ks''g''''.

Comment, étant donnée une table de mortalité , calculera- t-on les constantes k, s, g, c, qui lui conviennent? Remarquons d'abord que si s, g, c sont

j connus, la valeur de k pourra être choisie arbitrairement.

Considérons des têtes d'âge x satisfaisant à la loi :

\ogv^=logk-{-x\ogS'{-(flogg.

Prenons la différence première, puis la différence seconde de log v^ :

\ logp^ = Al log v^ = log v^^,— log v^

I =log5-f (f(c — i)loggf (i)

! Al log p. = A, log i\. = logp, , I — logp^

=(f{c—iyiogg, (2)

De même :

Ailogp,^i = (f^^(c— i)Mog^.

On en déduit: 0=-^^^^^^.

Les observations donnent les taux annuels de mor~ talité , tels que ( i — p^) :

Ax log/)x + 1 = log/)^ + , — log p^ ^ ,

Al log p^ = log/)^ + 1 — log/)«.

Connaissant les taux annuels de mortalité à trois âges consécutifs x,x-\-i, X'^2, on en déduira c. Lorsque c sera calculé, on tirera de la relation (2) la valeur de g, et de la relation (i) celle de s.

On aura donc autant de valeurs des constantes que de séries de trois observations , et on pourra traiter les relations obtenues par la méthode des moindres carrés ou une méthode analogue pour en déduire les valeurs les plus convenables à adopter pour s, g, c.

Au lieu de considérer les différences des logarithmes des probabilités annuelles, on pourrait considérer les différences des logarithmes des probabilités de vie après t années :

IpgpU^ — logpi,

et c'est ainsi que MM. Hardy et King ont calculé les valeurs des constantes de la formule applicable à la table anglaise. Les résultats sont tout à fait analogues* :

çt A^logp^^, logpi^,,— logpi^, Ailogpi logpi^,— log/}.^

Loi du vieillissement uniforme. — Non seulement la loi de Makeham a permis d'interpoler la plupart des tables de mortalité existantes depuis un âge relativement peu élevé (20 ou 26 ans), jusqu'à la fin de l'existence humaine, mais encore elle jouit d'une propriété fort importante, de nature à simplifier considérablement les calculs viagers sur plusieurs têtes, pro-

* Si < est égal au tiers du nombre des âges observés qui s'étendent de l'âge a à l'âge (a +3<), la formule de MM. King et Hardy s'écrit :

2 logpa: — S logpx

logpx

logpx

Pa.t-

log

log

Car:

et :

(Voir, pour Tévaluation de Terreur commise sur la valeur de c par l'application de cette formule, la note publiée par M. Galbnin dans le Bulletin de l'Institut des actuaires français, n« 67, décembre 1906.)

EQUATIONS DE SURVIE 67

priété qui n'est partagée que par la loi de Gompertz et

par la loi : î;.^ = e^^^^ + °^",

qui sont toutes deux des cas limites de la loi de Make-

hàm.

Cette propriété est connue sous le nom de loi de vieillissement uniforme; elle a été signalée par de Morgan, en i839, pour la loi de Gompertz et peut s'énoncer ainsi :

La probabilité de l'existence au bout d'un temps quelconque d*un groupe s'éteignant au premier décès est constamment égale à la probabilité de vie au bout du même temps d'un autre groupe composé de têtes du même âge, cet âge étant convenablement choisi. Si le premier groupe est soumis à la loi de Makeham, les deux groupes comprennent le même nombre de têtes ; s'il est soumis à la loi de Gompertz, le deuxième se réduit à une seule tête.

Supposons le groupe donné composé de / têtes d'âges Xi,X2, ... aSi soumises à la loi de Makeham. La probabilité de vie de la tête Xi au bout du temps t est :

Va:, ^

et la probabilité de vie du groupe considéré au bout du même temps est :

Pi,., ^-.^^Cc'-X^-.-.e^O. (I)

La probabilité de vie d'un nouveau groupe, composé de X têtes de même âge $ , au bout du même temps t s'écrit :

On aperçoit immédiatement que si les égalités :

!>,c5 = c** + (f«-|-...+cf< (4)

sont vérifiées, les deux probabilités précédentes sont égales quel que soit le temps t choisi, et les deux groupes ont la même probabilité de survivre après un temps quelconque.

Si n années après, le groupe primitif ayant survécu , on veut effectuer le même calcul , c'est-à-dire chercher rage unique $' des / têtes qui pourront être substituées aux têtes d'âges {Xi-{-ny ,,. Xi-{-n), on remarque que :

^ Xi+tif «, x^ + n - » « ^Ç +«,... Ç + n •

"xiXi^.Ti rÇÇ...Ç

L*âge de substitution cherché $' est donc égal à ^-\-n, et il sera inutile d'effectuer un nouveau calcul pour le trouver; il suffira d'ajouter le temps écoulé n à rage obtenu précédemment : le vieillissement des têtes substituées est le même que celui des têtes primitives (vieillissement uniforme).

Si les têtes du groupe donné obéissent à la loi de Gompertz, les relations (i) et (2) prennent la forme :

•* XIX2 ... Xj «7 ^ '

On peut égaler ces deux expressions en donnant à X une valeur arbitraire, i par exemple. La relation (4)

s'écrit : c^ = c"* + c"' + . . . + P (4)'

et la propriété énoncée plus haut est démontrée.

Enfin , si les tètes du groupe donné obéissent à la loi

les relations (i) et (2) deviennent :

I J(B« + 01») + tOKxi +...+«/) / \ fr

I X(B* + C<«) + ICtXÇ , .,r

Pour que les deux probabilités qui précèdent soienC égales, il faut que les deux groupes comprennent un même nombre de têtes et que Fâge des têtes substituéea $ soit égal à la moyenne arithmétique des âges des têtes du groupe initial.

On voit aisément quelle importante simplification résulte de la loi du vieillissement uniforme pour les calculs viagers concernant un groupe. Quand on doit effectuer un calcul relatif à un groupe de / têtes d*âges divers, satisfaisant toutes à la loi de Makeham, ce groupe s*éteignant au premier décès (on sait que Ton est toujours ramené à ce cas)*, on peut lui substituer un groupe de / têtes du même âge $ facile à calculer. Le nombre des tables numériques nécessaires se trouvera ainsi considérablement réduit, et les tables relatives à / têtes du même âge suffiront pour effectuer tous les calculs relatifs à des groupes de / têtes d'âges différents.

Si la loi admise est celle de Gompertz, les table» relatives à une seule tête suffiront à effectuer les calculs relatifs à des groupes quelconques.

* Car les probabilités relatives à des groupes s'éteignanl ati dernier décès s'expriment linéairement en fonction de probabilités analogues relatives à des groupes s'éteignant au premier décès.

7t ASSURANCES SUR LA VIE

Dé plus 9 lorsque d'année en année, lors des inventaires, on aura à renouveler, pour les différents groupes de têtes assurées , des calculs analogues à ceux qui ont été précédemment faits, il sera inutile de calculer à nouveau Tâge de substitution, puisque, d'après la loi du vieillissement uniforme, cet âge se déduira de l'âge calculé l'année précédente en y ajoutant simplement l'unité.

Il reste à montrer comment on peut calculer l'âge de substitution ^. Si la loi de survie est de la forme

cet âge est, comme on Ta vu, la moyenne arithmétique des âges du groupe.

Si la loi de survie adoptée est celle de Makeham, on calcule ? par la relation

qui s'écrit :

/logyç = logp^^ + log/)^^+ ... + \ogp[^ .

On donne à t une valeur arbitraire, et on utilise soit une table des probabilités de vie au bout de ce temps, soit, mieux, une table des logarithmes de ces quantités.

Si l'on dispose d'une table de taux instantanés, on calcule $ au moyen de la relation (4) :

dans laquelle on a substitué aux quantités c* leurs expressions en fonction des taux instantanés x. On sait que : ;c^ zi= j^.c"^ -j- v ,

et la relation (4) devient :

Ia. = /. -f- z 4- . . . -l- x. .

ÉQUATIONS DB SURVIE lî

De même la relation (4)' s'écrit :

>Cg = X + x 4- . . . 4- X .

11 suffit donc de prendre la moyenne arithmétique de / taux instantanés ou d'en faire la somme, suivant: la loi choisie, pour obtenir le taux correspondant ^ l'âge $ cherché, et partant, au moyen de la table, cet âge $ lui-même.

Les tables de mortalité en usage actuellement en France dans les Compagnies d'assurances (tables AF et RF) ont été ajustées à partir de l'âge de 25 ans au moyen de la formule de Makeham. H en résulte que les considérations qui précèdent sont d'une importance capitale, les calculs basés sur la loi du vieillissement uniforme étant d'un usage courant.

Généralisation de M. Quiqnet. — Nous n'avons étudié ici que les principales et les plus connues des équations de survie. Nous avons, à dessein, laissé de côté les travaux intéressants d'une foule de mathématiciens et d'actuaires i.Bernoulli, d'Alembert, Baily, Maas, Young, Thiele, Lazarus, Dormoy, etc., estimant que Tétude de ces travaux sortirait du cadre de ce traité. Nous renvoyons ceux de nos lecteurs que cette étude intéresserait à l'aperçu historique * qui termine la remarquable thèse de M. Quiquet, déjà citée, et auquel nous avons fait de larges emprunts.

Mais nous ne saurions abandonner ce chapitre sans donner une analyse sommaire des travaux de M. Quiquet sur la question , trop heureux si cet exposé , forcément très succinct et très incomplet, inspire à nos

*, Quiquet, 1.

lecteurs le désir d'en admirer, par une étude plus approfondie, la fécondité et Tampleur.

M. Quiquet se propose d'abord de résoudre un problème de probabilités qui le conduit à l'expression générale des divers ordres de fonctions de survie, et qu'il énonce ainsi * :

La probabilité de survie au bout du temps t d'un groupe s'éteignant au premier décès et composé de N tètes, d'âges (a, b, ... A:), qui obéissent toutes à la même loi de mortalité, est :

Cette expression dépend des N quantités (a, b, ,.. k) ou, si Ton veut, de N fonctions (a, p, ... 6) de celles-ci. Existe- 1- il des formes particulières de v^ telles que n seulement de ces fonctions (a, p, ... 6) soient indépendantes entre elles et indépendantes de t, n étant un nombre inférieur à N ?

Si une telle forme de v^ existe, là relation :

'^•~. ir=^^*' ^' - ^' '^ ^'^

sera vérifiée quel que soit i, (a, p, ... Ç) étant des fonctions de (a, b, ... A:) au nombre de n indépendantes entre elles.

La relation (i) peut s'écrire, en prenant les dérivées logarithmiques par rapport à t des deux membres. :

Va^t'^ vt^t "^ •'* "^ v,^, — G(a, p,.... r, '

* QUIQUBT, 2.

Cette relation étant vérifiée quel que soit t, nous pouvons égaler les n premières dérivées des deux membres prises par rapport à t, après y avoir fait t = Oy ce qui donne le système :

>^» + ^6 + • • • + îtjt = Fo

X a + 5t'j + ... + '/fc = Fj

Fq. Fj, ... F^ sont les résultats de la substitution de G à ^ dans les n premières dérivées de F par rapport à t.

Les seconds membres dépendent , par hypothèse , de n variables indépendantes (a, p, ... Ç). Ils sont au nombre de (n-|-i), donc il existe une relation entre eux et, par suite, entre les premiers membres. Or la condition nécessaire et suffisante pour qu'il y ait une relation indépendante des variables entre ces (/i-[-i) fonctions des n variables indépendantes (a, (3, ... Ç), est que tous les jacobiens de ces (n-f-i) fonctions pris par rapport à (n-\-i) des N variables primitives (a, b, ... k) soient nuls.

Ainsi le déterminant

est identiquement nul, et il existe une même relation

linéaire et homogine entre tous les élémonia de chacune de ces colonnes» Soit :

a I la' I n «

cette relation pour la première colonne. Elle est vérifiée quand on y remplace a par Tune quelconque des variables b, Cy . . . , qui entrent dans le déterminant considéré, et, si l'on forme d'autres déterminants fonctionnels, on voit qu'elle est vérifiée quand on y remplace

a par l'une quelconque des N variables (a, b, k).

Les conditions énoncées se réduisent à la seule équation : A'/ 4- ... -f A '/"^''=z=o.

qui doit être satisfaite quel que soit x, A^ , Aj , ... A» étant indépendants de x, c'est-à-dire constants, mais non tous nuls à la fois.

Si l'on pose . v!^ = y >

le problème est ramené à l'intégration d'une équation difîérentielle linéaire d'ordre n, à coefficients constants, sans second membre :

A.r + Ay+... +A,/»>=:0. (2)

Si Ai = o, y = o; d'où: x^ = — B et Va. = e^ + ^,

formule donnée par Dormoy.

On sait que si n est supérieur à zéro, l'intégrale générale de l'équation (2) est de la forme

y = ^^%(^) + ^^\(^) + • • • + ^\(^) ' Pi étant une racine de degré de multiplicité X,- de l'équation caractéristique

Ao + Air+ ... -f An#^=o,

ÉQUATIONS DE SURVIB 75

et (fi{x) un polynôme arbitraire entier de degré (X,-i).

Quand y est connu , on en déduit facilement v^ ,

car: y = )t'^ }L,=fydx.

Mais = — x,;, dou Vx = e =e

Dans le cas général , yz=z^e^ 9<(x) ,

y,^ = Ç ydx z=^ j e* (fi{x) dx.

Si r< est nul , x,. = "^Jix) ,

le degré de ^i{x) dépassant d'une unité celui de 9<(5c). Si Ti est différent de zéro ,

J e''(^i{x) dx z= — /*\{x), "/{{x) étant une fonction entière et rationnelle du degré de 9<.

f TL^dx = — f Bdx — yi f c^yi{x) dx = A — Bx — 2evy;(x) ,

M. Quiquet montre que, quel que soit /\., /^(a?) n'a

que X| termes, et ^e^fi{x) renferme seulement n coefficients indépendants de x et des quantités r<. Il donne à la fonction v^ définie par la relation (4) le nom de fonction de survie d ordre n.

Applications. — Fonctions de survie du premier ordre. — L'équation caractéristique est :

Ao4-Air = o.

1° Si r = o, y= — Ci Xa. = — B — C^x,

u^ = e^ ^ »^ + ^' (loi étudiée page 67). 'j

Ugg C . ^

C'est la loi de Makeham siBr^o, et celle de Gom- |

pertz si B = o. '

Fonctions de survie du deuxième ordre. — L'équation jj

caractéristique est :

Soit Tj et 7'2 ses racines. Il y a quatre cas à distinguer :

-. __» gA + Ba; + Ox* + Dx* .

V __. gA + Bx + Ox» + d/**

Makeham a donné cette formule sous le nom de second développement de la loi de Gompertz,

x,= — B+^ e-i- %e-i- + ^ xe'^^

4** Tj nfiz /'a, aucune des deux quantités r^ et r^ n'étant nulle ,

Cette formule a été donnée par Lazarus.

Ce rapide exposé suffit à montrer tout l'intérêt que peut présenter une aussi heureuse généralisation M . Quiquet en déduit une méthode pour rechercher la forme et les paramètres de la fonction interpolatrice d'une table de survie donnée. Ainsi, si cette dernière est telle que les différences secondes du logarithme de v^ sont en progression géométrique, la fonction interpolatrice est du premier ordre*. Et Makeham a montré comment on pouvait ramener à ce cas celui où les différences secondes du logarithme de y^. sont h peu près en progression géométrique.

M. Quiquet est ensuite amené à rechercher quelle est la forme la plus avantageuse pour les calculs à donner aux fonctions (a, p, ... Q de (a, 6, ... A;) et à la fonction G elle-même. Il considère (a, p, ... J^) comme les âges de n têtes soumises à une même loi de survie w^, et G comme la probabilité de survie du groupe (oc, p, ... Ç) au bout du temps t. Il déduit de ces hypothèses la forme de la nouvelle loi de survie w^ dans le cas d'une

1 Nous avons vérifié plus haut (page 65) que, si la loi de survie adoptée est celle de Makeham, les différences secondes du logarithme de vx sont en progression géométrique. Nous avons trouvé en effet : A2lo&Vjp=(c — l)21oggr . c*.

78 ASSURANCES SUR LA ViE

fonction du it ordre et sépare toutes ces fonctions en deux classes : pour les unes, la relation qui relie v^ à Wg. prend la forme : v^ = w^, tandis que pour les autres elle s'écrit :

On peut voir aisément que la loi de Gompertz fait partie de la première classe , tandis que celle de Makeham appartient à la seconde* : en raison de ce fait, M. Quiquet nomme fonctions gompertziennes celles de la première catégorie et fonctions makehamiennes celles de la seconde.

Donc, si l'équation de survie des têtes du groupe considéré est gompertzienne , une table unique de la fonction w^ suffit pour toutes les valeurs possibles de N. Si , au contraire , la fonction est makehamienne d'ordre

* En effet, si la loi étudiée est celle de Makeham, les fonctions (a, p, ... Ç) se réduisent à une seule Ç qui peut être considérée comme l'âge d'une tête soumise à une loi Wx de même forme que

celle de Makeham : Wx =^ k' s'^ g'^

On doit avoir : G{^) = p^^=plj,^ , . j^ ,

ou , en prenant les logarithmes :

nogs' + (c«— l)c^log5r'=Nnog* + (c*— l)(c« + c&4-... + c*)logflr,

relation satisfaite quel que soit t en prenant :

( log «' = N log *

( c^logsr' = (c« + c* + ..- + c«')logflr.

s' est déterminé par la 1^" relation, | par la 2® , k' et g' sont entièrement arbitraires.

On peut prendre : k^ = K^ g' ^g'S

et on a bien la relation : w^ =i v^.

Si s:=zs'z=:0^ la loi étudiée est celle de Gompertz, on peut prendre kf = k, g^=g, on a. bien alors Wx = Vx, et l est déterminé par la relation c^rrrc» + c* -|- ... + c* .

(Voir plus haut, loi du vieillissement uniforme, page 66).

t Al, la probabilité de survie d*un groupe de N têtes se

ramènera à une autre où n'interviendront que n têtes.

Mais comme i^^a. = (u^r) " , cette fonction change avec N, ' et il faut calculer une nouvelle table pour chaque valeur

f deN.

I Les nombres (a 4 p, ...Ç) ont été désignés sous le

I nom à*actuariens par M. Quiquet, qui a formé les

r relations unissant les n actuariens d'une fonction d'ordre

n aux N quantités (a, 6, ... A:). Il a étudié en particulier

le cas des fonctions du i'" et du 2** ordre. Ces dernières

sont appelées par M. Polerin du Motel « les lois de * l'avenir », et les résultats de l'étude précédente sont, en

ce qui concerne ces lois, mis par cet auteur sous la j forme d'un théorème dont voici l'énoncé :

j ((Si des têtes 5Ci,iCf, ... a;^ en nombre quelconque /,