CHAPITRE I GÉNÉRALITÉS

Dans une Compagnie d'assurances sur la vie, les primes doivent être calculées d'après les probabilités dévie ou de décès des assurés. Évidemment, tous les assurés ne sont pas dans les mêmes conditions de santé, et on conçoit qu'un malade a moins de chances qu'une personne bien portante d'atteindre un âge avancé ; logiquement la Compagnie devrait, pour la fixation de la prime, tenir compte de l'état de santé; pratiquement ce serait là une difficulté insurmontable. On se contente d'éliminer les personnes qui semblent être dans des conditions trop défavorables pour la Compagnie; on admet que la mortalité des autres dépend uniquement de leur âge. Nous nous trouvons alors en présence d'un problème très important : déterminer la probabilité de vivre dans n années pour une personne d'âge x.

Notations. — Nous noterons pi la probabilité qu'a une personne d'âge x de vivre dans n années;

pi OU simplement p^ sera la probabilité pour une personne d'âge X de vivre au bout d'une année. Nous noterons ql la probabilité pour une personne d'âge x d'être décédée dans n années; ql ou simplement q^, sera la probabilité pour une personne d'âge x d'être décédée au bout d'une année.

Entre ces quantités existent diverses relations.

D'abord : pï + îî = ^ •

En eflFet, les probabilités d'être vivant ou décédé sont contraires; leur somme est donc égale à l'unité.

On a encore: p;=/)iXpi + i Xpi + a ••• Xi>i + n-i-

En effet, pour être vivant à l'âge x-^n,il faut être vivant aux âges aî-[-i,aj-|-2, ... x-\-n — i; en appliquant le théorème de la probabilité composée, on trouve la relation précédente.

De même on vérifie la relation :

;>r"'=/>;x/>;Vn.

Valeur de la probabilité /);. — Considérons un groupe de Vj. personnes vivantes , toutes d'âge x ; supposons que la mortalité obéisse à des lois certaines, bien déterminées et immuables * ; dans ces conditions

* On voit tout ce que nos hypothèses ont de conventionnel; les lois auxquelles obéit la mortalité sont mal déterminées; elles varient suivant les époques, suivant les climats, suivant les races, suivant les sexes. Les progrès de Thygiène, de la science tendent à retarder la mort, tandis que d'autres causes, telles que Talcoolisme, ont un eiîet contraire. En outre, la définition de la probabilité ne s'applique que si tous les cas sont également possibles, ce qui n'a pas lieu pour un groupe de personnes de santés différentes. Néanmoins nous continuerons à accepter cette hypothèse : 1<> parce que les variations des lois de la mortalité sont

nous saurons, d'après les expériences déjà faîtes, que v^ + n personnes atteindront l'âge x-]-n; par suite, d'après la déjfinition même de la probabilité,

Détermination de Uar + n- — Supposons un nombre initial de personnes vivantes y^. ; nous avons besoin de savoir combien de têtes seront encore vivantes à un âge quelconque x-{-n.

Une loi de mortalité peut se représenter de différentes manières , soit par une table de mortalité , soit par une courbe graphique, soit par une fonction analytique.

Quel que soit le procédé de représentation adopté, il sera facile de trouver la valeur de v^ + n-

Tables de mortalité ^. — Ces tables sont à double entrée : on y voit d'une part les différents âges pour lesquels la mortalité a été observée et d'autre part les nombres de têtes vivantes aux âges correspondants. On voit immédiatement que ce mode de représentation n'est pas continu ; on ne pourra connaître exactement la valeur de v^^^ que si x-\-n est un des âges contenus dans la table. Si a?-|-n ne figure pas

très faibles, qu'elles se produisent très lentement, et que les Compagnies d'assurances étudient ces variations pour en tenir compte; 2« parce que, comme nous l'avons déjà vu, on élimine les personnes dont les conditions de santé ne sont pas normales; 3» parce que, au point de vue pratique, nous ne cherchons pas à obtenir des résultats mathématiquement exacts, mais seulement des résultats suffisamment précis pour permettre l'exercice de l'industrie des Assurances.

* Une étude des différentes Tables sera faite un peu plus loin. (Voir page 80.)

dans la table on trouvera v^ + ^ au moyen d'une interpolation : nous admettrons que^ entre deux âges consécutifs de la table, les décès sont répartis uniformément» c'est-à-dire proportionnellement au temps. Cette hypothèse étant admise , supposons que x-\-n soit compris entre les âges consécutifs x-\-p et X'-\-q; désignons par ^'«+p ^t v^ + g les nombres de vivants aux âges x-|-/> et x-\-q. On a alors la relation :

(x-fry ) — (ar-

i^x-\-n) — (x-\-p) d'où l'on tire Uar + n*

Courbes de mortalité. — Supposons qu'on ait pu représenter une loi de mortalité au moyen d'une courbe graphique. En abscisses on a porté les âges et en ordonnées les nombres de vivants.

Ce mode de représentation étant continu permettra de déterminer exactement v^^^ quelle que soit la valeur de x-\-n, pourvu que x-\-n ne soit pas en dehors des limites pour lesquelles la courbe a été tracée.

Fonctions de survie *. — Supposons qu'on ait pu représenter la loi de mortalité au moyen d'une fonction analytique :

on aura alors : Vx^^=f{x-\-n) quelle que soit la valeur de x-\-n.

Probabilités de vie et de décès d'un groupe de deux têtes. — Considérons un groupe de deux têtes d'âges x et y. Nous noterons ply la probabilité de voir les deux têtes vivantes dans n années.

p^ désignera la probabilité de voir vivre dans n années au moins l'une des deux têtes (l'une des deux pouvant être morte) ;

(f désignera la probabilité de décès des deux têtes avant n années ;

qL. désignera la probabilité de décès de l'une au moins des deux têtes (l'une des deux pouvant être vivante).

Nous allons établir quelques relations entre ces diverses quantités.

En effet, c«s deux probabilités sont contraires. De même :

p z=ip p .

En effet, la vie simultanée des deux têtes a; et y est

1 L'étude des fonctions de survie sera faite un peu plus loin. (Voir page 54.)

DÉFnvrrioNS 21

un événement composé : il faut que x soit vivant et que y le soit aussi; en appliquant le théorème de la probabilité composée, on trouve la relation ci-dessus.

5" pl, = ^-C=^-{^-p:){^-p:) .

=P.+P,-P.P,' et enfin : P%=pI +p] —ply

6n « UN

** o— =1 — p=i — pp.

Généralisation. — On pourrait considérer un nombre quelconque de têtes et employer des notations analogues à celles qu'on vient de voir :

On aurait entre ces quantités des relations analogues à celles que nous avons établies pour deux têtes*.

Taux de mortalité. — Lorsqu'on veut se rendre compte de Tintensité de la mortalité, on observe le nombre de décès survenant pendant un laps de temps déterminé parmi un nombre connu de personnes.

Supposons que dans Tespace d'un mois 100 décès soient survenus dans un groupe de 100 000 personnes; la mortalité pourra être représentée, pour cette observation, par . Si, dans un autre groupe de

* En particulier, il est facile d'établir que les probabilités relatives à des groupes s'éteignant au dernier décès , tels que le groupe xyzt, s'expriment linéairement en fonction de probabilités analogues relatives à des groupes s'éteignant au premier décès, tels que xyzt.

looooo personnes, la mort a fait 200 victimes dans le

même temps, la mortalité sera représentée par ;,

elle est deux fois plus forte que dans le groupe précédent.

jSi ces groupes sont constitués respectivement par

des personnes de même âge, les rapports ,

, seront des taux de mortalité. On appelle

donc taux de mortalité pour un âge et un temps déterminés le rapport du nombre de décès survenus pendant le temps considéré, au nombre de personnes vivantes au début de la période d'observation.

Les taux de mortalité permettent de comparer facilement les intensités de la mortalité aux dijBTérents âges. Si à 38 ans le taux de mortalité pour une année est o,oo9, et si à 62 ans le taux est 0,018, on verra immédiatement qu'il meurt deux fois plus de- personnes à 52 ans qu'à 38 ans. Pour faire cette comparaison facilement, il est nécessaire d'adopter une durée constante pour la période pendant laquelle on compte les décès. On a choisi l'année comme période constante, et on a dressé des tables donnant les taux aiumek de mortalité aux différents âges.

TaxLx annuel de mortalité. — D'après ce qui précède, si v^ est le nombre des personnes vivantes à l'âge X, v^^^ le nombre des personnes restées en vie à lage x-j-i, c'est-à-dire un an plus tard, le taux annuel de mortalité à l'âge x a pour valeur

De la table de mortalité, on déduira la table des taux annuels de mortalité. Inversement, la connaissance des taux annuels permettra la reconstitution de la table.

Soient q^ 9 qx ^ ^Ix - •'• 9x l^s taux annuels de mortalité aux âges x^ , x^ , . . . a:„ .

Soit t' le nombre de vivants d'âge x^ S t\ , ... v^ les

nombres de survivants aux âges x^ , ... a?» •

De la relation : 7^. = - --- — ^ ,

on tire: v^^=,v,^(^l —q^^y,

v^ étant connu, on en déduit v^ au moyen de la même

relation, et ainsi, de proche en proche, on reconstitue la table de mortalité.

Taux instantané de mortalité. — La définition générale du taux de mortalité que nous avons donnée plus haut conduit à la relation :

dans laquelle q est le taux de mortalité à Tâge x et pour le temps t. Supposons qu'on fasse décroître de plus en plus le temps t pendant lequel on observe les

1 Le nombre Vx^ est tout à fait arbitraire ; c'est le nombre initial de têtes soumises à la mortalité ; ce nombre une fois fixé , les nombres Vx^» Vxg^-.Vx^ sont déterminés s'il existe une loi de mortalité.

décès ; en désignant par dv,, la différentielle de la fonction v^ , le taux q*^ tend vers la valeur :

VI ^ étant la dérivée de la fonction v^ .

Le rapport est par définition le toua? instan--

iané de mortalité; nous le noterons >c^ .

Remarque I. — Nous avons vu que la connaissance de la table de mortalité permet de déterminer les taux annuels de mortalité, mais seulement pour les âges figurant dans la table; de même, la connaissance de la fonction de survie Vg,=f(x) permet de déterminer la valeur du taux instantané de mortalité, et ceci pour un âge quelconque.

Remarque II. — La connaissance des taux annuels de mortalité permet de reconstituer la table de mortalité; de même, si la fonction tc^ est connue, on en déduit la fonction de survie v^ .

En effet, on a : y.x = ^ •

Or — ^ est la dérivée de log. v^; on a donc : /x^da? = — logv^ + logK, ou , d'après la définition des logarithmes :

La fonction v^ est déterminée par cette relation à un facteur constant K près.

Vie probable. — La probabilité qu'une personne d*âge X vivra dans un temps t est , comme nous le

t iV + i savons, p =— — ;

lorsque t croît de zéro à T infini, p^ décroît de i à

zéro. Il y a une valeur 6 pour laquelle />^ = — , c'està-dire qu'une personne d'âge x a autant de chances de vivre dans 6 années que d'être morte à celte époque; 6 est la valeur de la vie probable à l'âge x.

Exemple. — La table de mortalité AF donne 796 786 comme nombre de vivants à l'âge de 26 ans. Quelle est la vie probable à cet âge ?

Soit 6 la valeur cherchée; à l'âge 25 -f- 9, le nombre

des vivants sera — = 398393. Cherchons, dans

la table de mortalité, à quel âge correspond ce nombre de survivants. Pour Tâge de 65 ans, on trouve 4i42i4; pour 66 ans, on trouve 394 85 1.

Admettons l'hypothèse de l'égale répartition des décès entre ces deux âges. Il y a dans Tannée entière :

4i42i4 — 39485i = i9363 décès.

D'autre part, de 65 ans à 25 -|- 6 le nombre de décès est de: 4i42i4 — 398393= i5 821.

Une simple proportion montre que ces i582i morts surviennent en :

365Xi582i ^ .

£9363 =298 jours.

Théorie math, des Assurances. 1*

On a donc :

25 ans -f- 6 = 65 ans -[-298 jours.

D'où 9 = 4o ans et 298 jours.

Vie moyenne. — Supposons qu'un groupe de N personnes , toutes décédées , ait ' vécu un nombre M d'années; les unes ont pu vivre 3o ans, d'autres 4o, certaines 6o; M est la somme des âges atteints par les N personnes du groupe ; nous appellerons vie moyenne

dans ce groupe le rapport -tt-»

Proposons -nous de trouver, d'après les données de la table de mortalité, quelle est la vie moyenne dans un groupe de v^ personnes, toutes d'âge x. Ces personnes ont déjà vécu i^« X ^ années. Cherchons ce qu'elles ont encore à vivre. Dans un an, il restera v^^^ personnes vivantes ayant vécu un an chacune depuis l'âge X. Un an après, il en restera v^^^ ayant vécu une nouvelle année; le nombre d'années vécues depuis l'âge X est donc v^^^-\-v^ + i. Soit w l'âge au delà duquel il n'y a pliîs de survivants, c'est-à-dire le dernier âge figurant dans la table de mortalité * ; le nombre total d'années entières vécues par les v^ personnes considérées est donc :

Mais, dans ce qui précède, nous n'avons tenu compte que des années entières; il faut encore ajouter les fractions d'année vécues par les v^ têtes. Admettons >

* (I) est tel que v^) + n ^w + 2 ••• sont nuls.

DBFWITlOîfS 27

comme nous Tavons déjà fait, Tégale répartition des décès dans de courtes périodes; cela revient à supposer que toutes les tètes considérées ont vécu, en plus du nombre entier d'années déjà comptées, une fraction de temps égale à six mois; pour les Vj^ tètes nous

devons donc ajouter -^ années, ce qui donne finalement :

Divisons par i», pour avoir la vie moyenne pour chaque tête :

La quantité: i.^ ^^--^ + ^^-^^+ •" +^^^ est la

vie moyenne à partir de Tâge x , ou , plus rapidement , vie moyenne à Tâge x.

Remarque. — Il importe de ne pas confondre la vie probable et la vie moyenne à Tâge x . Pour bien montrer que ces deux quantités sont très différentes l'une de l'autre , nous allons faire voir que , en faisant varier la loi de mortalité d'une manière convenable, on peut faire varier l'une d'elles en laissant l'autre constante. D'après la table AF, sur 796 786 personnes vivantes à l'âge de 25 ans, 398393, soit la moitié, atteignent 65 ans et 298 jours. Supposons que la loi de mortalité reste la même pour les 398 393 premiers décès, mais que pour les têtes survivantes la vie soit prolongée de 2 ans. On voit aisément que la vie probable reste la

même, tandis que la vie moyenne est augmentée d'un

an.

Vie mathématique. — Pour compléter ces définitions , il conviendrait de définir la vie mathématique ; nous le ferons un peu plus loin , lorsque nous aurons étudié les annuités viagères (page io8).

Quand , au paragraphe précédent , nous avons défini le taux de mortalité, nous avons supposé que nous connaissions la loi de survie correspondante, et que nous pouvions déterminer exactement, lorsqu'un groupe de têtes nous était donné, le nombre de ces têtes qui doivent être vivantes à un moment quelconque. La résolution de ce problème n'est évidemment pas possible à priori. Il nous faut préalablement classer, coordonner les résultats expérimentaux , les répartir en groupes rationnels , faire en somme de la statistique ; ce n'est qu'ensuite que nous pourrons généraliser, en nous appuyant sur la réciproque du théorème de BernouUi, et étendre à des groupes nouveaux, mais comparables à ceux qui auront été étudiés, les résultats fournis par l'observation de ces derniers.

Il y a une foule de conditions qui influent sur la mortalité, et, rationnellement, on ne devrait admettre dans un groupe que des têtes soumises aux mêmes influences, et placées dans les mêmes conditions. Mais

une statistique n*a de valeur qu'autant que les observations sont en très grand nombre. Et c'est une grosse difficulté à résoudre que de pouvoir disposer, pour une même catégorie, de données en quantité suffisante. On est, par suite, obligé de grouper ensemble des têtes placées à peu près dans les mêmes conditions et soumises à des influences comparables , quoique non identiques.

En particulier, s'il s'agit d'une statistique eflectuée au sein d'une Compagnie d'assurances, le nombre de cas observés est relativement restreint; si l'on veut les répartir en groupes trop nombreux, on arrive rapidement à n'obtenir que des statistiques portant sur un effectif trop faible et n'ayant, par conséquent, aucune valeur.

Passons rapidement en revue les difl'érentes causes qui peuvent influer sur la mortalité.

Age. — Au premier rang, nous trouvons l'âge. Il est évident que le taux de mortalité d'un groupe de têtes de soixante ans est plus élevé que le taux de mortalité d'un groupe de têtes de trente ans. Le taux de mortalité dépend essentiellement de l'âge ; mais on est trop souvent porté à croire que l'influence de ce facteur est si grande , que l'on peut négliger complètement les autres. Il n'en est rien cependant, et si l'on a trop longtemps commis cette erreur, on commence, à l'heure actuelle, à se préoccuper d'une foule d'autres causes qui influent d'une façon très notable sur la mortalité et que seuls le défaut de méthode et le manque de données statistiques avaient empêché de considérer.

Sexe. — Ainsi, rien ne prouve, à priori, que la mortalité des hommes doive être identique à celle des femmes. Les statistiques faites en Angleterre pour rétablissement des tables H^ et H*" , en Allemagne pour rétablissement des tables Mi et Wi , montrent qu'en réalité les taux de mortalité de chaque sexe à un âge donné difierent sensiblement. D'après ces tables, la mortalité des femmes est supérieure à celle des hommes de vingt à cinquante ans, inférieure ensuite.

En France, bien que les Compagnies d'assurances sur la vie , lors des travaux préparatoires à l'établissement des tables RF et AF*, aient, comme nous le verrons plus loin, distingué le sexe de leurs assurés, elles n'ont cependant publié aucun travail à ce sujet, et dans les Tables du Comité on ne trouve pas trace de cette distinction.

La table de mortalité, relative à la population générale de la France, publiée par les soins du Ministère du Commerce après le recensement du 24 mars i9oi, indique pour les femmes une mortalité à peu près constamment inférieure à celle des hommes, à partir de l'âge de dix-neuf ans.

Profession. — La profession influe notablement sur la mortalité. Dans une statistique rationnelle, on ne saurait évidemment ranger dans une même catégorie les cochers et les rentiers, les peintres en bâtiment et les ecclésiastiques. Il est vrai que, jusqu'à présent, la clientèle habituelle des Compagnies d'assurances sur

* La table AF est relative aux assurés en cas de décès; la table RF s'applique aux assurés en cas de vie.

statisuquks — sélection 31

la vie s'est recrutée surtout dans la classe aisée. L'assurance sur la vie ne s'est pas encore, en France du moins, démocratisée. Aussi les Compagnies n'ont-elles pas, dans leurs statistiques, tenu compte de la profession, estimant que leurs assurés exerçaient des professions dont les taux de mortalité au même âge étaient comparables, et que, d'ailleurs, la proportion d'assurés occupant différents emplois était sensiblement constante. Elles se contentent de refuser les risques trop dangereux , de même qu'elles refusent pour les assurances en cas de décès les têtes trop âgées.

Mais quand l'assurance sur la vie deviendra réellement populaire, la profession est une des causes de mortalité dont il faudra le plus se préoccuper, et il sera essentiel d'établir des statistiques par professions.

Climat. — Une statistique n'aurait évidemment plus de valeur si elle s'étendait à des régions trop éloignées les unes des autres. A quoi pourrait servir une statistique dont les résultats engloberaient à la fois les données recueillies en Europe et en Afrique? Les conditions de l'existence varient avec le climat. Et il importe surtout de tenir compte de ce facteur dans le cas d'assurés qui voyagent ou qui vont s'établir en des contrées lointaines ou malsaines. Les Compagnies françaises majorent alors la prime stipulée au contrat en y ajoutant une surprime de voyage ou de séjour à l'étranger, déterminée d'ailleurs empiriquement.

Époque. — Enfin, l'époque influe sur la longévité. Les tables de Deparcieux et de Duvillard ne sont plus employées aujourd'hui, parce qu'elles indiquent une

mortalité trop rapide. On doit cependant admettre qu'elles représentaient assez bien la mortalité des Français à la fin du xvm® siècle, époque de leur construction, et il est probable que la mortalité est plus lente aujourd'hui qu'autrefois.

Le développement de l'hygiène sociale tend à augmenter la durée de la vie humaine. Si l'on distingue, avec Gompertz, dans le phénomène de la mort, deux causes principales : le hasard et l'affaiblissement graduel de l'individu, on ne peut espérer réduire la part du hasard; mais ne peut-on ralentir de plus en plus la marche de la vieillesse en fortifiant les organes et en les rendant capables de résister plus longtemps ? Grâce aux progrès incessants de la médecine, ne resserre-t-on pas peu à peu les limites du domaine des maladies dites évitables : tuberculose, typhoïde, variole, et ne prétend-on pas, aujourd'hui, vaincre l'artério -sclérose elle-même?

Autres causes. — Un grand nombre d'autres causes peuvent influer sur la mortalité des individus : les conditions matérielles de l'existence, l'observation des règles d'hygiène, le genre de vie, l'alimentation, le milieu, l'hérédité. Il n'est pas possible de tenir compte de tout cela dans les statistiques, et les Compagnies françaises se contentent d'éliminer les mauvais risques après examen médical.

En Angleterre, on n'élimine pas a priori les personnes qui demandent à s'assurer en cas de décès et dont la santé n'est pas absolument satisfaisante; mais on leur applique une table de mortalité spéciale (table D^^). On divise donc les assurés en deux catégories,

d'après leur état de santé au moment de la conclusion du contrat.

Sélection à l'entrée. — La clientèle des Compagnies françaises d'assurances sur la vie ne saurait être comparée, au point de vue de la mortalité, à la population générale de la France.

Les assurés en cas de décès sont en effet soumis, au moment de la conclusion du contrat, à un examen médical approfondi, et ils doivent donner, sous peine de déchéance, des renseignements exacts sur leurs antécédents physiologiques, héréditaires ou personnels. Il s opère donc, au moment de l'entrée dans l'assurance, une sélection sérieuse, et on peut considérer que tous les assurés en cas de décès sont en parfait état de santé à ce moment.

Les assurés en cas de vie et les rentiers viagers ne sont naturellement soumis à aucun examen médical. Mais les assurés de cette catégorie estiment, au moment de la signature du contrat, présenter des chances de longévité suffisantes pour en atteindre le terme. Ils sont donc tous en bonne santé ou se jugent tels. Et la statistique leur donne raison. En effet, si l'on compare les tables RF et AF, on voit que les taux de mortalité indiqués par cette dernière sont régulièrement plus élevés que ceux de la première; ce qui prouve que l'examen que l'intéressé fait de lui-même est plus efficace que l'examen médical auquel il pourrait être soumis, examen forcément rapide, effectué par un praticiea qui voit pour la première fois le proposant et qui ignore tout de son passé, de ses antécédents personnels ou héréditaires, de son genre dé vie et de ses habitudes.

Les différentes combinaisons d'assurances se ramènent toutes à la juxtaposition d'une assurance en cas de décès et d'une assurance en cas de vie. Selon que l'une ou l'autre prédomine, il y a ou non examen médical, et les conclusions précédentes subsistent.

On peut donc dire que toutes les personnes qui souscrivent un contrat viager auprès d'une Compagnie française sont dans un état de santé satisfaisant. Mais un certain nombre d'années après la conclusion du contrat, il n'en est plus forcément de même. Pour un même âge, les taux de mortalité sont d'autant plus élevés que les contrats correspondants sont plus anciens. Il est clair, par exemple, qu'un groupe d'assurés nouveaux de 4o ans doit présenter un taux de mortalité moindre qu'un groupe d'assurés de Ixo ans dont les contrats sont en cours dépuis 20 ans déjà. Les premiers viennent en effet de subir la sélection à l'entrée; les seconds, depuis 20 ans, ont pu être soumis à des vicissitudes diverses ayant eu pour effet de modifier fâcheusement leur état de santé initial.

L'expérience vérifie ces prévisions, si l'on en croit les statistiques dressées par le docteur Sprague et M. King en Angleterre, par M. Raffmann en Allemagne.

La conclusion s'impose : il est nécessaire, dans le calcul de la prime d'une assurance donnée, d'appliquer à chaque contractant la loi de survie déduite des observations faites sur des têtes entrées au même âge que lui. Il faut pour cela disposer de tables par âges à Ventrée. Il n'y a pas encore eu de semblable table publiée en France. Les Compagnies allemandes font usage de la table de M. Raffmann, et quelques Compagnies anglaises, de celle de M. Sprague.

On peut facilement se faire une idée de Terreur introduite dans les calculs par la substitution d'une table unique à une série de tables par âges à l'entrée. Si Ton considère, en effet, un groupe d'assurés d'âge x au nombre de :

en désignant par n© le nombre d'assurés de ce groupe entrés l'année même, par n^ ceux qui sont entrés Tannée précédente, etc., le taux de mortalité de ce groupe pendant la (x-j-i)" année d'âge de ces assurés sera égala :

c/j. étant le nombre total des décès du groupe pendant Tannée considérée. Or d^ se compose du nombre rf^ d'assurés décédés, entrés dans le groupe Tannée môme, augmenté du nombre d^. d'assurés entrés Tannée pré-

cedente, etc. : /=— i— , — ^ , — ï-«

Si le groupe ne se composait que de n,- têtes d'âge x entrées depuis i années, le taux de mortalité de ces têtes serait, à Vk^ç^ x :

Donc: ^^ ^oTo + /i,t,+ ... +n,T, ^

D'après les considérations qui précèdent, on a en général : To<Ti < Tg •.. <Tfc,

Donc t est compris entre la plus grande et la plus faible de ces quantités :

Mais si Uq , n^, ... sont supérieurs aux derniers nombres /i^, nfc i, ... ce sont les taux Tq, Tj, ... relatifs aux têtes entrées récemment qui influent le plus sur la valeur du taux moyen t et inversement.

Pour les âges jeunes, le nombre des têtes entrées depuis longtemps dans l'assurance est très faible ; c'est le taux de mortalité des têtes venant de subir la sélection qui influe le plus sur le taux moyen. L'inverse se produit pour les têtes âgées , dont le taux de mortalité t se rapproche davantage du taux Tf, des têtes assurées depuis longtemps.

Or les rentiers viagers sont très rares aux âges inférieurs à 5o ans. Au contraire, à partir de 60 ans, les Compagnies n'assurent plus en cas de décès, et l'affluence la plus grande pour cette catégorie se produit à l'âge de 35 ans environ. Il en résulte que, à un âge donné, 60 anâ par exemple, et pour deux groupes égaux, composés l'un d'assurés en cas de vie , l'autre d'assurés en cas de décès , les rentiers viagers entrés récemment dominent dans le premier, et le taux moyen doit se rapprocher de % , tandis que le taux du second groupe doit se rapprocher de z^. Donc, le taux de mortalité relatif aux rentiers viagers donné par une table indépendante de Tâge à l'entrée doit être plus faible que le taux correspondant relatif aux assurés en cas de décès. Cette considération peut expliquer la différence qui existe entre les tables AF et RF , indépendamment de la différence d'efficacité entre l'autosélection et la sélection médi-

cale à rentrée signalée plus haut. Il est probable cependant que les deux causes s'ajoutent pour produire le phénomène constaté expérimentalement.

Antisélection. — Enfin une troisième cause peut agir dans le même sens pour augmenter encore le taux de mortalité des assurés en cas de décès. En effet, ces -derniers peuvent, quand ils ont payé un certain nombre de primes annuelles (trois au minimum), abandonner leur police, et la portion des primes payées qui a été versée en trop pour assurer le risque pendant les premières années, portion qui sert à constituer la réserve mathématique de la catégorie considérée, appartient à l'assuré, déduction faite d'une indemnité de résiliation. (Voir page 272 , Rachat.)

Les Compagnies versent donc aux assurés qui résilient après paiement de 3 primes annuelles un capital de rachat. Or, quels sont ceux qui abandonnent ainsi leur contrat? Ce sont ceux qui ne peuvent plus payer leurs primes ou ceux qui se jugent assez bien portants pour que la combinaison d'assurance choisie devienne véritablement trop onéreuse pour eux. On a remarqué que cette dernière cause de résiliation était la plus fréquente. Ce sont donc les meilleurs risques qui disparaissent ainsi.

Mais , étant donné un groupe d'assurés , ce qui importe à l'assureur, ce n'est pas de savoir combien d'entre eux seront encore vivants dans n années, c'est de savoir combien il en restei:a dans le groupe, que les disparus soient morts ou aient résilié. Comme les personnes qui résilient sont en général les mieux portantes, il en résulte que le taux de mortalité des

Théorie math, des Assurances. 2

Jg ASSURANCES SUH LA VIE

assurés en cas de décès se trouvera encore augmenté de ce chef.

Les assurés qui versent des primes annuelles po«ir

Tassurance d'un capital différé en cas de vie ne peuvent pas racheter leurs polices; mais ils peuvent cesser de payer leurs primes, et c'est ce que font ceux qui pensent n'avoir que fort peu de chances d'atteindre le terme du différé. Leurs contrats ne sont pas alors annulés , mais réduits ; et si les assurés sont encore vivants au terme fixé , on leur attribue une fraction seulement du capital assuré. Comme ces personnes sont précisément celles dont les chances de vie sont les plus faibles, leur présence contribue à augmenter le taux de mortalité de leur catégorie. Dans la construction de la table, déduite des observations , il serait rationnel de les éliminer au fur et à mesure de la cessation du paiement de leurs primes et de ne considérer chaque année comme vivants que les assurés qui continuent à remplir leurs engagements. Mais quand on se sert de tables de mortalité par âges à l'entrée, on peut considérer les primes versées annuellement comme une série de primes uniques : on tient compte ainsi de la sélection qui se produit parmi les assurés par le fait même du paiement des primes successives, et cela sans avoir à éliminer, dans le calcul du nombre des assurés vivants , ceux qui ont abandonné le paiement de leurs primes, ce que l'on ne pourrait faire avec une table par âge à l'entrée, puisque cette table donne à chaque âge le nombre des assurés dont la police est en cours. Or une police réduite continue à suivre son cours; elle est donc comprise dans les observations.

TilBLBS DE SURVIE 39

Construction* — Les tables que l'on construit directement» d'après les données de Texpérience, sont les tables des taux de mortalité , et on en déduit les tables de survie en calculant les nombres successifs de vivants au moyen des relations ;

l'i = Vo ( I — îo)

V2 = Vi (i — îi) = i', (i — 5-,) (i — q,),

le nombre initial v^ étant d'ailleurs pris arbitrairement. Pour construire une table des taux de mortalité annuels , la méthode la plus rationnelle'consîste à sui>Te pendant une année des groupes de têtes de même âge et à noter les décès qui se produisent dans ces groupes. Si le groupe étudié se compose de N^ têtes d'âge x et si d^ est le nombre des décès qui sur\dennent pendant Tannée , le taux de mortalité à Tâge x sera pris égal à

L'âge X sera évalué à une demi-année près : on considérera, par exemple, comme nées au i" janvier i9o7 toutes les têtes nées à une date comprise entre le i*"" juillet i9o6 et le 3o juin lOoy.

La difficulté vient de ce qu'il ne faut pas perdre de vue pendant Tannée les différentes têtes qui composent Içs groupes étudiés et de ce qu'il ne faut pas laisser s'y

introduire des têtes étrangères. Si ces desiderata peuvent à la rigueur être réalisés lorsqu'il s*agit de statistiques faites au sein d'une Compagnie d'assurances, où une fiche spéciale est affectée à chaque contrat, ils ne le seront certainement pas lorsqu'on étudiera la mortalité d'un pays tout entier. Dans le cours d'une année en effet , un certain nombre de têtes du groupe disparaissent sans que l'on puisse en déterminer la raison ; d'autres têtes , en nombre également inconnu , viennent se mêler aux têtes primitives et entrent en observation i Si n est le nombre des têtes au début , n! leur nombre à la fin , on pourra prendre pour le nombre N,. de la relation (i)

la moyenne — ' — , ce qui revient a supposer que les

têtes qui ont disparu et celles qui se sont introduites sont restées en observation pendant une demi -année en moyenne.

Des statisticiens ont préconisé et expérimenté d'autres méthodes que nous ne citons ici que pour mémoire. Ainsi Halley a employé , pour dresser la table de survie des habitants dé la ville de Breslau , une méthode qui consistait à relever pendant une année le nombre des décès constatés aux différents âges :

et à prendre comme valeur du taux de mortalité à l'âge x la valeur du rapport :

Or, pour que le nombre des têtes d'âge x observées puisse être considéré comme dénominateur de cette expression, il faudrait que la population restât abso-

TABLBS DE SURVIE 41

loment stationnaire , c'est-à-dire que la natalité fût constante et qu'il n'y eût aucun mouvement d'émigration ni d'immigration.

Le Ministère du Travail , en France *, après chaque recensement, détermine les taux de mortalité relatifs à la population globale française. Le nombre N^. des têtes d'âge X est fourni par les résultats généraux du recensement; et le nombre rf, <i^s décès de ce groupe dans Tannée est fourni par les registres de *rétat civil. La méthode peut donner de bons résultats , car la population recensée est bien celle qui fournit les décès relevés sur les registres de Tétat- civil : la seule cause d'erreur qui puisse intervenir est le mouvement de la population produit par l'immigration et l'émigration.

Le Ministère publie les résultats obtenus sous la forme de 3 tableaux relatifs, l'un au sexe masculin (P^) , le second au sexe féminin (P'') et le troisième à la population générale (P^**). Le tableau de la page suivante permet de comparer, de lo en lo ans jusqu'à 70 ans, les tables de survie et des taux de mortalité annuels, construites d'après les résultats du recensement du 24 mars i9oi avec les tables AF et RF.

Ajustement. — Quand on a établi, d'après les principes exposés précédemment , une table de survie ou une table des taux de mortalité , si l'on cherche à construire la courbe correspondante, en prenant pour abscisses les âges et pour ordonnées les taux de mortalité ou les nombres de vivants, on remarque que la courbe obtenue est tout à fait irrégulière. Or les résul-

* Autrefois le Ministère du Commerce.

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tats fournis par une des méthodes précédentes ne sont que les plus probables, les observations étant forcément en nombre limité, et Terreur à craindre sur chaque détermination est en raison inverse de la racine carrée du nombre des observations*. On peut remarquer d'ailleurs que, de deux courbes, la plus régulière est celle qui a été -dressée avec le matériel statistique le plus riche et le mieux ordonné. Il est donc permis de penser que si les observations pouvaient être assez nombreuses pour donner des résultats rigoureusement exacts, la courbe aurait une forme absolument régulière, traduisant une loi de variation continue. L'esprit est d'ailleurs involontairement porté k rechercher la continuité dans toutes les classes de phénomènes physiques.

Aussi, il a paru naturel de substituer à la courbe irrégulière traduisant brutalement lesj résultats expérimentaux, une courbe à allure régulière, s'en rapprochant autant que possible , et passant au besoin par les points que l'on peut considérer comme ceux qui ont été déterminés avec la plus grande précision. On réalise ainsi ce que l'on nomme un ajustement graphique. Pour tenir compte du poids des diverses observations, il est avantageux d'encadrer la courbe ou la ligne brisée primitive entre deux autres obtenues en portant en ordonnée de part et.d'autre de chaque point de la première une longueur inversement proportionnelle à la racine carrée du nombre des têtes observées. Les trois courbes sont d'autant plus voisines que la précision du taux considéré est plus grande, et la main dû dessinateur est ainsi plus sûrement guidée.

* Cest une conséquence du théorème de Bernoulli.

On peut aussi procéder à rajustement des résultats expérimentaux par la méthode analytique, en remplaçant l'ensemble obtenu par un autre ensemble aussi voisin que possible du premier, mais ordonné suivant une loi de variation continue. On cherchera à établir une relation algébrique entre le nombre des vivants v^. à un certain âge x et cet âge lui-même :

f{x) contiendra autant de paramètres arbitraires que l'on voudra , et on les déterminera en égalant aux taux de mortalité observés ceux qui sont déduits de la relation (i).

On peut enfin, après avoir procédé à l'ajustement graphique , chercher à former à priori l'équation d'une courbe simple se rapprochant autant que possible de la courbe obtenue, pour étudier ensuite cette équation et en tirer tous les résultats utiles qu'elle peut fournir.

Avant de donner des exemples classiques de ces divers modes d'ajustement , nous allons chercher à déterminer sur quel élément fourni par l'expérience il est plus avantageux de faire porter cet ajustement. Nous avons vu que l'on tirait directement des observations les taux de mortalité et que l'on en déduisait ensuite les nombres de vivants à chaque âge. Ajustera -t- on les taux de mortalité ou les nombres de vivants , la table des taux ou la table de survie ?

Supposons que l'ajustement ait porté sur le nombre des vivants aux différents âges. Soit v^ ce nombre à l'âge X, déduit des observations brutes, et Vjc-\- ^v^ le nombre correspondant pris dans la table de survie

ajustée. Si Ton désigne par d^ le nombre de décès observés à l'âge x,

par q^ et ji le taux brut et le taux ajusté au même âge , on a :

, d^ + ^^.g cL . t^xArfx — 4^^^x

On peut considérer que d^ et Ai'^ sont du même ordre de grandeur si Vg. est suffisamment grand, et on peut négliger au numérateur le produit d^i^v^ vis-à-vis de Vx^d^ et au dénominateur le produit v^iiv^ vis-à-vis de tJ . On obtient alors :

?x=gx+-^ = î, + ^

et la dififérence entre les taux de mortalité brut et ajusté est du même ordre de grandeur que le taux lui-même. Elle peut même dépasser ce taux, et cela arrive fréquemment , surtout lorsque ù^v^ et ^v^. + 1 sont de signes contraires. Il faudra donc comparer les taux ainsi ajustés aux taux observés pour voir si les premiers sont admissibles. Mais, puisqu'il faut en arriver à cette comparaison, autant vaut commencer par là et ajuster non pas la table de survie , mais la table des taux de mortalité.

Méthode graphique. — Méthode de Woolhouse. — Nous avons exposé précédemment d'une façon très rapide la manière dont on procède à l'ajus-

tement graphique. On peut en voir un exemple dans les Tables du Comité des Compagnies françaises d'Assurances à primes fixes sur la vie. Les planches qui sont à la fin du volume de ces Tables représentent l'ajustement des Tables AF et RF qui est un des plus parfaits qu'il ait été donné d'exécuter.

M. Woolhouse a donné son nom à une méthode graphique particulière qui a eu son heure de célébrité. Elle a servi notamment à l'ajustement de certaines tables anglaises, et elle a été utilisée aussi lors des travaux préparatoires à l'établissement des tables AF et RF.

M. Woolhouse ajuste non la courbe des taux de mortalité, mais la courbe de survie. Il porte en abscisses les âges , en ordonnées les nombres de vivants , et considère des groupes de paraboles du 2*^ degré déterminées de la façon suivante :

Chaque groupe se compose de 5 paraboles passant chacune par 3 points qui représentent les nombres de vivants déduits des observations à des âges variant de 5 années en 5 années. Ainsi un groupe de ces paraboles se composera de 5 courbes passant par les points qui correspondent aux âges suivants :

I"' parabole.

aî-|- 2

Ces courbes coupent la parallèle à l'axe des ordonnées d'abscisse a; en 5 points distincts. La moyenne arithmétique des ordonnées de ces 5 points est prise comme ordonnée correspondant à l'âge x de la courbe

ajustée. Ainsi chaque groupe de paraboles fournira un point de la courbe ajustée.

Si l'on établit, à Taide de la formule d'interpolation de Newton , les équations de ces paraboles , on résoudra aisément le problème par le calcul.

Cette méthode a donné lieu à de sérieuses critiques. Elle est tout empirique et n'offre aucune base rationnelle. L'ajustement, il est vrai, n'est pas destiné à donner des résultats meilleurs , plus exacts , que ceux que l'observation directe a fournis ; il sert seulement à régulariser ces résultats, à les coordonner, à satisfaire à la loi de continuité qui doit régir les phénomènes physiques. Cependant, sous prétexte de présenter un ensemble continu, la table ne doit pas être déformée, elle doit se rapprocher d'autant plus des résultats expérimentaux que ces résultats sont plus certains: elle doit tenir compte du poids des observations. Or la méthode de M. Woolhouse considère tous les résultats expérimentaux comme équivalents et ne tient pas compte du degré de précision des observations. M. H. Laurent a critiqué à maintes reprises cette méthode dans le Bulletin de l'Institut des actuaires français ; il a montré en particulier, dans le N** 62 de cette publication, qu'au lieu de diminuer les chances d'erreur sur les nombres obtenus expérimentalement, on les augmente.

Aussi, même appliquée à l'ajustement de la table des taux de mortalité, la méthode de M. Woolhouse ne peut donner que des résultats médiocres. Elle est aujourd'hui abandonnée, et son auteur lui-même y a renoncé.

Ajustement par la méthode analytique. —

Au lieu de chercher à ajuster la courbe de survie traduisant les résultats expérimentaux, on peut se proposer de déterminer les coefficients d'une relation algébrique qui donnera le nombre des vivants en fonction de rage :

fx=/(^)- (i)

La forme de cette relation pourra être choisie à ptiori ; la construction préalable de la courbe de survie guidera dans ce choix.

On comparera les taux de mortalité aux différents âges déduits de l'équation (i)

à ceux qui ont été fournis par l'expérience, et l'on obtiendra une série de relations pouvant servir à déterminer les coefficients de f{x).

Nous verrons plus loin que , pratiquement , ces coefficients sont en nombre très limité. Gomme les observations doivent au contraire avoir été suffisamment nombreuses, la détermination des coefficients, et par suite l'ajustement analytique, se ramène à la résolution d'un système d'équations surabondant.

Pour tenir compte de la précision des diverses observations, on divisera l'ensemble des . relations (2) obtenues en groupes composés chacun d'autant d'équations qu'il y a de coefficients à déterminer ; les taux de mortalité expérimentaux qui entrent dans un groupe particulier doivent présenter à peu près le même degré de certitude. La valeur M^ d'un des coefficients cherchés est obtenue au moyen du groupe g^ d'équations

avec une précision proportionnelle à la racine carrée Y^^7du nombre moyen des têtes observées lors de la détermination expérimentale des taux de mortalité qui

entrent dans ce groupe gi. Si M , M , ... M^"^ sont les

diverses valeurs de M'i tirées des différents groupes de relations (2) et Nj, N2, ... N„ les nombres de têtes observées, on pourra prendre:

^ M:vN;+M;'vg;+...+ <vm'„

et Ton aura ainsi tenu compte des degrés de précision des expériences diverses.

Les valeurs approchées ainsi calculées peuvent être corrigées par l'application de la méthode des moindres carrés.

Méthode des moindres carrés. — La connaissance des valeurs approchées des coefficients cherchés Ml , M2 , ... permet de ramener à la forme linéaire les équations de condition telles que (2).

Soit, en effet :

(p(Mi,M,, ... M,) = o (3)

Tune de ces équations, et (m^, m.2, ... m„) des valeurs approchées des inconnues.

On posera :

Mi = mi-|-Smi, M2 = m2-[-S^2 ... M„=/n„-|-Sm„,

et on développera , par rapport à S/nj , hn^ , . . . S/n» , en supposant ces corrections assez petites pour qu'on puisse se contenter de leurs premières puissances.

On sera ainsi conduit, pour les déterminer, à des équations de la forme :

,+ ... + 9(mi, /m, ... m^)=o, (4)

Les dérivées partielles, coefficients des inconnues Smi, Sm2, ... sont calculées en y supposant les quantités Ml, M2, ... remplacées par leurs valeurs approchées m/, mj, ... et oh est ainsi ramené à résoudre un système d'équations du premier degré.

Considérons donc un tel système :

ax -{- by -\- cz -\- ... =zn ax-{-b'y-\-c'z-\- ... =n!

Les coefficients a, 6, c, ... sont donnés parle calcul et exempts d'erreur; les n, au contraire , quantités analogues à ç(mi, mj, ... m„), sont données directement par les observations et sont affectées de leur incertitude.

Les valeurs des inconnues ne doivent point satisfaire nécessairement à l'une des équations en particulier, mais à leur ensemble et de la manière la plus exacte possible. Si l'on connaissait les valeurs précises des inconnues, et si on les substituait dans les premiers membres des équations, les valeurs numériques que prendraient ces premiers membres feraient connaître les erreurs des observations correspondantes, en supposant, comme nous le faisons, que les quantités observées soient représentées par les n.

TABLES DB SURVIE 5i

Legendre a propose, en i8o5, de rendre mininia la somme des carrés des différences entre les résultats qui seraient obtenus par le calcul et ceux qui sont donnés par l'observation directe. Cette condition, qui a fait donner à la méthode le nom de méthode des moindres carrés, fournit d ailleurs un nombre d^équalions égal au nombre des inconnues.

La somme des carrés des erreurs ou résidus est :

(0x4-6/+ ... -nf-^{a'x-\- ... -«')'+ ...

Le minimum de celte expression s'obtient en égalant à zéro les dérivées partielles par rapport à x, y, ... On arrive ainsi aux équations finales en nombre égal à celui des inconnues :

a(ax+6j+, . ,—n)-\-a\a'x-{-by^. . .— n')+. . .=o)

b{ax-\-by+. ,.^ny{-b\a'x^b'y+. . .— /i')+. . .=0) ^^

Legendre, pour justifier ce procédé, se borne à dire (( qu'il s'établit entre les erreurs une sorte d'équilibre qui, empêchant les extrêmes de prévaloir, est très propre à faire connaître l'état du système le plus proche de la vérité ». Il remarque, en outre, que la règle par laquelle on prend la moyenne entre les résultats des différentes observations n'est qu'une conséquence très simple de la méthode des moindres carrés. En effet, si l'observation a donné diverses valeurs Al, n', ... pour une certaine quantité x, la somme des carrés des erreurs sera :

(^^)t + (a^n')2+..., et la condition du minimum donne •

c'est-à-dire qu'il faut prendre x égal à la moyenne des valeurs observées.

Gauss * et Laplace ^ ont montré que la méthode des moindres carrés trouve sa justification dans la théorie des probabilités.

Étant donné le système considéré plus haut :

. ax-\-hy-\-cz-\- ,,, :=in ax-\'lly-\-<iZ'\- ,,. ■=.n ,

il s*agit de chercher le meilleur système de valeurs {Xyjy ...) parmi tous les comptes de valeurs (ce, y, ...). Pour chaque système de valeurs portées dans les équations , on trouve un système d'erreurs ou résidus : ax-^hy-\- ... —71 = 6 a'a; + 6'y+ ... — n' = e'

et on sait que les probabilités p, /)', p", ... pour que ces erreurs ou résidus soient compris entre s et i-\-di, e' et s'-j-^e', ... sont, dans le cas général des mesures de précision h dilTérentes \

Appliquons, en l'étendant au cas actuel, le principe de la probabilité composée. La probabilité de l'existence simultanée de ces erreurs aura pour expression :

V7ÏÏ V ^

1 Mémoires traduits par J. Bertrand.

* Théorie analytique des probabilités (1812).

Or, en vertu de la règle de Bayes, parmi tous les systèmes de valeurs de (x, y, ...) causes des erreurs g, e', s" ..., le plus probable est celui qui répond à Tévénement le plus probable, c'est-à-dire à la plus petite valeur de: • hh^ + h'h'^^ ...

ou au minimum de la somme des carrés des résidus multipliés par les modules de précision des observations. Si ces modules sont égaux, on retombe sur les écpiations finales de Legendre.

Donc, si les différentes observations peuvent être considérées comme également précises, on rendra minima la somme des carrés des erreurs. Sinon, il faudra introduire les modules de précision et rendre minima la somme SA'e*.

Si la résolution du système des équations (5) obtenu par cette méthode ne donne pas des résultats qui puissent être considérés comme suffisamment exacts*, on se servira de ces valeurs approchées pour obtenir un nouveau système d'équations linéaires, analogue au précédent, qui donnera de nouvelles valeurs des inconnues correspondant mieux au minimum de la somme des carrés des erreurs. On pourra ainsi appliquer la méthode plusieurs fois de suite, jusqu'à ce que les résultats obtenus puissent être considérés comme satisfaisants.

Nous avons supposé jusqu'ici que la forme de la fonction choisie se prêtait à un ajustement convenable. Cette fonction (i) interpola trice : v^=J[x) a été choisie arbitrairement; l'analyste n'est guidé dans ce choix

* Car on a négligé dans le développement (4) les termes du 2« degré par rapport aux inconnues.

que par Tallure de la table étudiée, par la forme de la courbe qui en a été déduite* Il nous reste à passer en revue les différentes équations de survie qui ont été proposées, et par le moyen desquelles on a réussi à interpoler la plupart des tables existantes.

Pour que l'expression analytique d'une loi de survie puisse être de quelque utilité , il est nécessaire que le nombre des constantes qui y sont contenues soit très limité. Les formules d'interpolation usuelles, telles que celles de Newton, Lagrange, conduiraient à des expressions beaucoup trop compliquées, tandis que les meilleures équations de survie connues, celle de Makeham en particulier, sont d'une forme très simple et contiennent un très petit nombre de constantes, tout en interpolant très fidèlement les tables d'expérience sur de longues périodes.

Dans une remarquable thèse insérée dans le Bulletin de l'Institut des actuaires français (/i* année, n*' i4), M. Albert Quiqueffait observer que « deux influences ont guidé, plus ou moins consciemment, les actuaires qui ont interpolé des tables de survie ». Les uns ont cherché à englober dans une formule le pkis grand nombre possible de résultats empiriques « par des tâtonnements, par des altérations successives des constantes * ». Les autres se sont efforcés d'extraire des