PL
écrire II sous la forme suivante :
n . — ^ ^ -1- i\~ « T la 4- ^--''"
En partant de ces formules, on retrouve l'expression de la prime d'assurance vie entière, en supposant que la tête y puisse ne mourir jamais.
Alors : a =^a .
•ni ' -r
CaMBINAISONS DIVERSES 163
car 00 sait que: a^ = f^^(i-\-a^^\
(formule de récurrence déjà obtenue), et l'expression (i) donne :
ri^=(i +0-^(1 -/«.).
Applications. — i° Rente de survie dont la première période commence au décès même. — Les formules données précédemment pour les rentes de survie supposent que l'entrée en jouissance de la rente coïncide avec le commencement de la période pendant laquelle meurt la tête assurée. On peut stipuler que l'entrée en jouissance coïncidera avec le décès même, et que, par conséquent, le premier terme de la rente sera payé exactement à la fin de la période qui commence au décès. Il faut donc ajouter aux formules trouvées un terme correctif que l'on calcule approximativement de la façon suivante :
On suppose, comme nous l'avons fait en général, que les décès se produisent au milieu des périodes; là rente, telle qu'elle est calculée au moyen des relations ordinaires, est anticipée d'une demi-période, et il suffit de retrancher à l'expression de la prime unique la valeur d'un capital de survie égal au demi- terme de la rente payable au décès de l'assuré. On obtient ainsi, en désignant par R le terme annuel de la rente :
2** Prime unique d'un capital payable au décès de la
tête X à la condition quelle ait survécu à une autre tête y. — Si on ajoute à cette prime unique celle d'un capital de survie payable à y au décès de œ, on obtient évidemment la valeur de la prime unique n^^. d'un capital payable au décès de x, à quelque époque qu'il survienne. La prime cherchée est donc :
Prime annuelle de l'assurance d'un capital de survie. — Elle est payable au plus pendant toute la durée de vie simultanée des deux têtes x et j, et elle est égale dans cette hypothèse à :
en.
si C est le capital assuré.
Extension. — Supposons que la période, ou unité de temps, devienne infiniment petite, comme nous l'avons fait quand nous avons considéré l'annuité viagère continue. La probabilité que la tête x mourra au bout du temps t, la tête y lui survivant, est la probabilité composée :
dv V V V V
et la valeur actuelle de i franc, payable dans ces hypothèses, est :
__^^ . ^L±LU\i)-'dt.
Donc :
V V dxljo •^ + * v^t\ I / J
Or: / !^ !jULi{i^{)-'dt=Ç'"P' dt = oL ,
a^ étant l'annuité viagère continue sur deux têtes, et
on obtient :
T dlvv OL \ T dlv OL )
I T * y y fi jy/ * y X .t7//
4 îM^ rfj? i^ dx '
Assurance dotale. — Comme son nom l'indique, cette assurance est destinée à constituer une dot sur la tête d'un enfant. Soit x l'âge actuel de l'enfant. La dot C lui «era payée s'il atteint un certain âge (x-|- n), fixé au moment de la signature du contrat. Mais le père (ou le contractant) ne s'engage à payer les primes successives qu'au tant*qu'il vivra lui-même. L'assurance dotale est donc l'assurance d'un capital différé dont les primes ne sont payables, pendant la durée du différé, qu'en cas de vie simultanée du contractant et de l'assuré. La prime, supposée annuelle, est égale à
CP
• xy
Cette combinaison nécessite un examen médical du
contractant ; c'est , en effet , une assurance au décès par rapport à celui-ci.
Si Ton se sert de tables par âges à l'entrée, on calcule la prime annuelle comme on l'a indiqué précédemment , en considérant les primes annuelles successives comme des primes uniques versées aux âges: (^.y)' (^'+1^ y+^)'^^^-
Assurance mixte sur une seule tête. -^ Le
capital assuré C est versé aux ayants droit au décès de l'assuré, si ce décès survient pendant la durée du contrat; sinon, il est versé à l'assuré lui-même à l'échéance. Cette combinaison est la juxtaposition d'une assurance temporaire en cas de décès et d'un capital différé. La prime unique s'obtient immédiatement. C'est, avec les commutations:
et, à l'aide des annuités viagères :
ii=c[(i+.r^(i-p:-,ar)+p:]- ^
Les primes annuelles constantes, payables pendant toute la durée du contrat , sont égales à :
^^ N — N — ^ lia'"-»
Cette combinaison est une des plus fréquentes. L'assuré a la perspective de jouir de son capital, s'il vit assez longtemps , et il ne laissera pas les siens dans le besoin si son décès est prématuré.
La durée de la mixte est généralement de 20 ou 25 ans. L'examen médical s'impose, à cause de la part prépondérante que joue l'assurance temporaire en cas de décès dans cette combinaison. Les Compagnies françaises acceptent les proposants jusqu'à l'âge de 45 ans pour une durée de 3o ans, et jusqu'à l'âge de 60 ans pour une durée de i5 ans. Les assurés en vie entière sont d'ailleurs admis eux aussi jusqu'à cet âge de 60 ans.
Assurance mixte sur plusieurs têtes. —
La combinaison la plus usitée est l'assurance mixte sur deux tètes, le capital étant payable au premier décès, si ce décès survient avant le terme du contrat, ou à ce terme même, si les deux assurés survivent à l'expiration de la police. La prime unique s'écrit :
n = c [(1 +/r^(ï — P" —ia''') + p" 1.
La prime de l'assurance mixte sur deux tètes , capital payable au dernier décès, s'exprime au moyen d'une formule analogue, le groupe xy étant remplacé par le groupe xy s'éteignant au dernier décès. La prime est naturellement moins élevée que lorsqu'il s'agit d'une assurance à capital payable au premier décès, toutes choses égales d'ailleurs.
Assurance mixte à capital doublé. — Le
capital est payable, comme dans le cas de la mixte ordinaire , soit au décès de l'assuré , si ce décès survient avant le terme du contrat, soit au terme du contrat, si l'assuré survit. Dans ce dernier cas, l'as-
suré obtient en outre une nouvelle police d'assurance pour la vie entière, complètement libérée*, et d'un capital égal à celui de la police primitive. La prime unique de cette combinaison, d'ailleurs peu usitée, résulte des explications qui précèdent et qui montrent qu'elle se ramène à une assurance sur la vie entière à laquelle se juxtapose l'assurance d'un capital différé :
•M 4- D [(i + î)-Hj. —ia)-\- P"!
Assurance à terme fixe. — Le capital assuré est payable au terme fixé, quoi qu'il arrive, que l'assuré soit mort ou vivant à l'échéance. La prime unique est donc simplement la valeur actuelle du capital C payable dans n années, soit: G (i -|- i)~**. Mais s'il s'agit de primes payables annuellement, elles ne peuvent être acquittées qu'autant que l'assuré est vivant, ce qui donne pour expression de la prime annuelle, supposée payable pendant toute la durée de l'assurance :
La combinaison est alors une assurance au décès, et la visite médicale de l'assuré est nécessaire.
Terme fixe à capital doublé. — C'est une
* Cest-à-dire pour laquelle il n'y a plus à payer de primes.
assurance à terme fixe telle que, si l'assuré vit au terme du contrat, il obtient une police, libérée dé primes, d'assurance vie entière pour le même capital, en plus du capital lui-même. C'est donc une assurance terme fixe, plus une assurance vie entière différée. La prime unique est égale à :
ii = c[(i + o-"+^î)^^-]
Assurance combinée. — L'assurance combinée garantit le payement d'un capital C au décès de l'assuré si ce décès se produit avant une date fixée, terme du contrat. Si l'assuré vit au terme du contrat, il peut opter entre les trois combinaisons suivantes :
1° Rester assuré, sans payer déprime, pour le même capital en vie entière et toucher une rente viagère égale à la prime annuelle zs de la combinaison. La valeur de cette prime cr est donnée par l'équation du premier degré suivante :
ou- ny(N, — N,,„) = CM., + r7N.,,„,,
2° Rester assuré en vie entière pour le même capital et recevoir immédiatement un autre capital : cra^. + „, qui est la valeur-, au terme du contrat, de la rente viagère w,
3*" Résilier son contrat et toucher un capital égal à nya, + „ augmenté de la réserve du contrat vie entière.
Théorie math, des Assurances. 5*^
Dans certaines combinées spéciales , la reate différac n*est qu'une fraction -de la prime annuelle vsi du contrat. Cette dernière est alors moins élevée :
Assurance d'annuités. — L'assureur s'engage à payer des annuités A à partir du décès de l'assuré jusqu'à une époque déterminée. Si l'assuré, d'âge actuel X, vit encore à cette époque, les engagements de l'assureur se trouvent par là même annulés.
La prime unique est la difierence entre la valeur actuelle d'une annuité certaine temporaire d^ ai années et la valeur actuelle d'une annuité viagère payable du vivant de la tête x et pendant n années au maximum, soit •
[izziijziL:^c.)j
Si cette combinaison est souscrite à primes annuelles, l'assureur ne doit pas consentir une prime constante; car, le nombre des annuités à payer décroissant d'année en année, le capital assuré décroît, et si la prime était constante, il viendrait un moment où l'assuré aurait avantage à abandonner sa police pour en souscrire une nouvelle à prime moins élevée et garantissant néanmoins le payement du même nombre d'annuités. La prime devra donc être décroissante; on pourra stipuler, par exemple, qu'elle devra décroître en progression arithmétique. .
COMBINAISONS DIVERSES 17 i
On peut r«3Qarquer que, si Ton ajoute à la prime uBique d'un contrat terme fixe de capital G :
la prime unique d'une assurance d'annuités égales à G/ ;
on obtient : G(i — iaf^V
c'est-à-dire la prime unique d'une assurance mixte lorsque les décès sont supposés se produire au début de l'année. Gela résulte de l'extension aux placements viagers de la remarque faite à la page loo, à propos des annuités certaines, et qui s'énonce ainsi : la différence entre les valeurs actuelles d'un même capital payable à deux époques différentes est égale à la valeur actuelle des intérêts de ce même capital servis périodiquement dans l'intervalle.
Assurances en cas de décès en progression arithmétique. — Nous aurons à considérer, à propos des combinaisons avec contre -assurances, des assurances au décès à capitaux croissant en progression arithmétique. Supposons que les capitaux assurés successifs soient : G la première année, (G -|"p) ^^ deuxième, (G-|-2p) la troisième, etc. Désignons par n la prime unique de la combinaison étudiée , par Hi et n.2 celles de deux combinaisons analogues, de même durée , portant , la première sur un capital constant et égal à I , la deuxième sur un capital égal à i la première année, à 2 la deuxième, etc. On aura évidemment: n=(G— p)ni+/)n2.
Ainsi, s'il s'agît d'une assurance -vie entière en progression arithmétique, on aura, en conservant les notations ci-dessus : <
n={C-p){i+{)~^(i—ia,)+pU,.
Calculons 112. Nous avons vu, au chapitre des Commutations, que :
lh=-
Un raisonnement identique à celui qui nous a conduit à cette expression nous donnera, au moyen des annuités viagères :
n,=(i4-o~^[i-/a.+(i -'■«.. x)Px+-]
La prime n'2 d'une assurance temporaire de même nature a pour valeur, au moyen des commutations :
On trouvera aussi aisément l'expression suivante de n'2 :
— ( (i + «X + « — «A..r + «) + n( I — ia^c ^ n))P"]
=(i+o~^[i-(n+i)pr+ar-^'Ar].
car on a la relation :
A.. — a!! — nal=iP^!!\
Les assurances à capital croissant en progression arithmétique peuvent être contractées à primes annuelles constantes ; mais il ne saurait en être de même lorsque le capital assuré décroît suivant une loi analogue. On se souvient, en effet (voir page i38), que, dans tous les cas où le risque décroît , il pourrait arriver, si la prime annuelle était constante, que l'assuré trouve son avantage à résilier sa police primitive pour en souscrire une nouvelle équivalente, la prime de cette dernière étant moins élevée. Or il est inadmissible que les engagements de l'assuré puissent varier sans que changent ceux de l'assureur . C'est pourquoi il faudra stipuler une prime décroissante comme le risque. La prime pourra, par exemple, décroître en progression arithmétique.
On pourra aussi considérer Tassurance comme une série d'assurances temporaires au capital égal à la raison de la progression et souscrites : la première pour un an, la seconde pour deux ans, etc. La prime sera ainsi variable et correspondra exactement au risque assuré.
Contre -assurances. — Problème général — Quand on souscrit une assurance en cas de vie, une dotale par exemple, on peut être désireux de ne pas perdre les primes versées, en cas de mort de l'assuré avant le terme du contrat. On confre- assure alors ces primes au moyen du versement d'une prime spéciale qui vient s'ajouter à celle de la police primitive. Si cette dernière est une prime unique, la prime de contre -assurance sera celle de l'assurance en cas de décès d'un capital égala cette prime unique. La contre-
assurance de primes annuelles revient à une assurance en cas de décès à capital croissant en progression ariâimétique.
Le plus souvent, la contre-assurance n'embrasse pas seulem^tt les primes versées pour Fassurance proprement dite, mais les primes totales de la combinaison adoptée. Si, par exemple, la prime unique versée au cfôbut de l'assurance est ïl^, le bénéficiaire touchera le capital assuré C si l'assuré d'âge x vit à l'échéance ; sinon le contractant touchera, au décès de l'assuré, le montant n^, de la prime unique sans intérêts. En écrivant que les engagements des deux parties contractantes sont équivalentes, on obtiendra la relation suivante, du premier degré en lia; •
n.=cn:+n.nir' (i)
en désignant par H* et ÏI*^ les primes uniques de l'assurance différée sans contre -assurance et de l'assurance au décès temporaire de n années d'un capital
' 1 ' r •*' n <^n" égal a 1 unité : n.^ = ^w •
Si les primes de la combinaison adoptée sont annuelles et égales à rs^, une relation analogue à la précédente :
Go"
