CT= C

De môme la prime tr versée chaque année par une personne s*étant assurée à l'âge x*pour obtenir la jouissance d'une rente annuelle R à l'âge {x-\-n), sera donnée par la relation :

\a a ^ al

M. Poterin du Motel a montré que le calcul de l'annuité viagère à l'aide d'une table de mortalité indépendante de l'âge à l'entrée conduit à une erreur à l'avantage de l'assureur si la tête assurée est entrée dans l'assurance encore jeune, et à son détriment dans le cas où il s'agit d'un rentier viager entré, comme c'est le cas le plus fréquent, à un âge assez avancé. (( Aussi , dit-il , les actuaires du Comité ont-ils adopté une majoration progressive à partir de 65 ans en multipliant l'annuité par un coefficient de sélection î^, variable avec l'âge: £.,.= (1,0018)^'*'"**^*. »

Vie entière à effet immédiat. — Nous avons calculé, au chapitre des Commutations, la prime d'une assurance vie entière, assurance d'un capital qui doit être payé au décès d'une tête x. Nous avons vu qu'en supposant le capital assuré égal à i , et avec l'hypo-

thèse des décès en milieu d'année, la prime unique a pour valeur :

Si, pour effectuer ce calcul, on veut utiliser une table d'annuités viagères , on transformera cette expression de la façon suivante :

=(i+o-{i-"^(i+'r'-^(i+o"^'+-] =(i+o-^'[ï-'[p:+p:+-]]=(ï+o-ki-'«.)-

Avec l'hypothèse des décès au commencement de l'année , la formule s'écrirait simplement :

Il = I — ia, *

< Si Ton adoptait le taux de capitalisation instantané :

i=zlog(l+i), et l'annuité viagère continue ax , l'expression de II s'écrirait :

Jo vx ' '

car la probabilité de vie de x au bout du temps t est : dvx + t__ v'x + t

En intégrant par parties :

dt.

n=-[^(^ + '')-Go^ -fj i!^(l + i)-nog(HOrf^

=: 1 - log 11 -I- I J^^±i.(14-i)-«d^=rl— lax.

et la démonstration en serait immédiate au moyen de la remarque suivante :

Si, à la valeur actuelle II au taux i d'un capital égal à l'unité, remboursable au bout d'un certain temps, on ajoute la valeur actuelle des intérêts de ce capital servis périodiquement pendant ce temps : ia^, on obtient évidemment la valeur i du capital prêté. C'est une remarque qui a déjà été faite plus haut (page loo) au chapitre des « Intérêts composés » et qui permet, dans le cas actuel , d'étendre la formule des assurances vie entière au cas d'un groupe quelconque G. En çffet , le temps que l'on considère est tout à fait arbitraire. Il peut être pris égal à la durée de la vie d'un groupe absolument quelconque, et l'on aura ainsi pour prime unique de l'assurance vie entière d'un capital égal à l'unité reposant sur la vie du groupe G :

si le groupe est supposé devoir disparaître au début d'une période, et

s'il disparaît, par hypothèse, au milieu d'une période. Si les primes sont annuelles, elles peuvent être viagères ou temporaires. Elles sont données, suivant le cas, par les relations suivantes, relatives à l'assurance d'un capital C :

Prime viagère annuelle :

.-4 I —ida

-=c(i + ^TT^

Prime annuelle temporaire de n années :

1 I — ia^

Si le groupe G se réduit à une seule tête d'âge x , ces prîmes deviennent respectivement :

Vie entière différée. — Une assurance vie entière est différée de n années quand le capital assuré n'est payable que si le décès a lieu postérieurement à la /i* année du contrat.

Soit n" la prime unique d'une assurance différée de n années reposant sur une tête d'âge x. Si , à l'expiration du différé, on voulait contracter sur la même tête , dont l'âge serait devenu (x -|- n) , une assurance équivalente à la précédente, il serait nécessaire de payer une prime unique que nous désignerons par 11^ + «> et qu'il sera facile de calculer. Mais cette prime II,, + „ ne pourra être payée qu'en cas de vie de l'assuré : c'est un capital différé de n années, et sa valeur actuelle est :

Donc: n:=n.,,P:.

Cette remarque permet de calculer la prime unique différée d'une combinaison quelconque, connaissant la prime immédiate d'une assurance de même nature. Elle

S* applique d'ailleurs à un groupe quelconque, à la condition qu'il ne soit pas soumis à d'autres causes de modification et de disparition qu'aux lois de la mortalité et qu'il soit susceptible d'exister n années après l'époque actuelle.

Si on applique cette remarque au cas de l'assiirancevie entière différée de n années , on voit que la prime unique d'une telle combinaison reposant sur la vie d'une tête d'âge x pour un capital assuré C s'écrit :

formule déjà obtenue au chapitre des Commutations,

ou: ' ri:=C(i+0"^(i-;a..n)P:.

Assurance temporaire. — On déduit de là la valeur de la prime unique d'une assurance temporaire en cas de décès. Le capital assuré n'est alors payable que si la mort de l'assuré survient pendant les n premières années du contrat. La prime unique ri^"^ est évidemment égale à :

Cette formule s'applique à un état de choses quelconque.

Si le contrat est souscrit à primes annuelles, le

nombre de ces dernières ne peut être supérieur à n. Sous cette forme, cette combinaison est d'un usage assez fréquent dans le commerce. Un négociant ou un industriel n*est pas toujours, au début de sa carrière, en possession d'une mise de fonds suffisante pour donner rapidement à ses opérations toute l'extension désirable. Il est donc amené à contracter un emprunt qu'il remboursera plus tard, lorsque les bénéfices de son exploitation le lui permettront. On comprend tout l'intérêt que peut avoir le prêteur à contracter à son profit, sur la tête du débiteur, une assurance temporaire en cas de décès, qui lui permettra de rentrer dans ses avances en cas de mort prématurée de ce dernier. Cette garantie devient une des conditions du prêt, et l'emprunteur s'engage à payer les primes de cette assurance.

Méthodes de calcul des primes. — Une

combinaison quelconque d'assurance sur la vie se ramène à la juxtaposition d'une assurance en cas de vie et d'une assurance en cas de décès. Les deux assurances reposent, ou bien sur la même tête, comme dans les contrats mixtes, ou sur deux ou plusieurs têtes différentes, comme il arrive pour les dotales.

i** En analysant les conditions du contrat, on arrive en général assez aisément à calculer la fraction de prime destinée à l'assurance en cas de vie et celle qui

est destinée à l'assurance au décès. La première se ramène à la prime d'un capital différé ou d'une rente viagère, la seconde à celle d'une assurance vie entière ou temporaire en cas de décès. Cette décomposition étant ainsi faite, les formules établies précédemment résoudront la question.

2° Il peut être difficile de décomposer le contrat proposé ainsi qu'il vient d'être dit. Pour en obtenir la prime unique, il sera nécessaire alors de calculer la valeur actuelle, au moment de la souscription, des engagements de l'assureur. C'est ainsi que nous avons calculé la valeur de l'annuité viagère.

3*" Nous avons vu qu'il était avantageux , pour les combinaisons usuelles sur une seule tête, de construire des tables de commutations qui conduisent, au moyen de calculs très simples et très rapides, à la connaissance des primes de ces combinaisons. Les tables de commutation établies par le Comité des Compagnies françaises d'assurances sur la vie sont , comme on l'a vu , au nombre de six; mais rien n'empêche d'en imaginer d'autres, par exemple des tables sur plusieurs têtes, et c'est ce que l'on a fait pour quelques combinaisons qui ont pris un assez grand développement, comme les dotales avec contre-assurance.

Il est cependant inutile de multiplier indéfiniment les tables et de compliquer leur usage. Les contrats reposant sur la vie d'un groupe de personnes sont assez rares et ne justifient pas le travail énorme occasionné par la construction de tables nouvelles.

4*^ Nous avons montré (page i55) comment on calcule la prime unique d'une assurance différée II** en

partant de la prime de la même assurance, à effet immédiat, contractée à l'âge (x-\-n) :

Cette formule est applicable à un groupe dans les conditions précédemment indiquées. Elle peut être utilisée au calcul par récurrence des primes uniques de contrats analogues souscrits à des âges différents. En effet, quand les assurés sont très âgés, les sommations à faire pour calculer la valeur actuelle des engagements de l'assureur sont peu étendues, et les résultats s'obtiennent facilement. Or, si la prime est calculée à un âge donné, on pourra en déduire rapidement la prime qui correspond à tm âge d'une unité inférieure. Si IIg est la prime à l'âge G du groupe , cette prime

devra couvrir le risque pendant la première année (H^^),

puis le même risque pendant les années suivantes (assurance différée d'un an) :

n«=ii'^+rio.,p;.

Nous allons, en passant en revue les principales combinaisons usuelles, donner des exemples d'application de ces diverses méthodes."

Assurance d'un capital de survie. Calcul de la prime unique. — Le capital est payable au décès d'une tête d'âge actuel x à la condition qu'une tête d'âge actuel y lui -survive. Cette combinaison peut être considérée comme une assurance au décès par rapport à la tête x, comme une assurance en cas de

vie par rapport à la tête j. La tête x devra donc être soumise à un examen médical.

Supposons le capital de survie égal à l'unité, et cherchons quelle est sa valeur actuelle.

Il faut d*abord calculer l'expression de la probabilité que la tête x meure pendant le cours de la rf année et que la tête y lui survive. Cet événement pourra se réaliser de deux façons :

1** X mourra pendant le cours de la n^ année, et y sera vivante à la fin de cette même année; la probabilité de réalisation de cette hypothèse est :

2"" X et y mourront pendant le cours de la n" année ; probabilité :

[P.,. -P„){P^ -PJ' mais y pourra mourir alors après x ou avant x. Si les deux têtes suivent exactement la même loi de mortalité, il y a autant de chances pour que les décès se produisent dans l'ordre (x, y) que dans l'ordre (y, x), La probabilité pour que x ei y meurent toutes deux dans le courant de la /f année, mais dans l'ordre (x, y), est donc :

2{Pv -Pv){P. -PJ'

La probabilité totale cherchée est *

M^c -pJ+y{p„ -pj{p. -PJ

P. ~Pj){P„ -\-Pj .

et la valeur actuelle du capital i payable, dans cette hypothèse, au décès de x est égale à :

en admettant toutefois que la tête x meure au milieu de l'année, ce qui ne change en rien l'expression de la probabilité précédente. En effet, la tête y n'étant assujettie à aucune condition peut, si elle décède dans le cours de la it année, mourir aussi bien dans le premier semestre que dans le second : sa probabilité de mourir après x dans le cas où x meurt au milieu de la rf année est bien 1/2.

La valeur actuelle Yi^ du capital de survie considéré, ïT payable à y au décès de x, quelle que soit l'année

pendant laquelle se produit ce décès, s'obtient en faisant la somme d'expressions annalogues à la précédente, dans lesquelles n prend, à partir de l'unité, toutes les valeurs possibles :

=^(i+o-^[i/>:;'(^+o-<"-"+2prp:(i+o-^"-'^

Donc:

On pourrait aussi, en tenant compte des relations

p^"' pVl I A-^'^-i^—P— !.. /j 1 ;y-(«