CP" CD
Si le contrat envisagé comporte le payement d'une prime annuelle constante nr, cette prime est donnée par la relation :
CP
"- ,+a--^^-(,+i)-i[x-(;-fx) P:-f <>-/Ar]
N. — N, + „— Ra. + R^ + n + 'ïM.^^ •
Assurance d'un capital de survie avec contre-assurance. — Nous avons vu que la prime unique assurant à une tête d'âge y le payement d'un capital C au décès d'une autre tête d'âge x était donnée p»r la relation :
n = CIL = V <^ + ^*)~^t^ "~ ^^-^ + ^^(^ + ^^*+^) '
qui s'écrit aussi :
y(i+0 ^[i— ^«x.+p^-— pi- Je.
Si la tête y meurt avant la tête x, le bénéficiaire disparaissant , l'assureur n'a plus à verser aucun capital. Mais si le contractant a contre-assuré la prime H, cette prime lui sera remboursée en cas de prédécès du bénéficiaire. La prime unique de cette contre-assurance n'est autre que la prime unique de l'assurance de survie du capital II payable k x si y meurt avant lui , soit :
n^n = -^ (i + 0"ni — ^< +Mi + «.+1..)
Si là prime totale est contre-assurée , cette prime est donnée par la relation :
n, = cn^+n,n„.
Enfin si l'assurance du capital de survie comporte le payement de primes annuelles, leur valeur est :
Ts'y étant la prime annuelle de l'assurance de survie
le
à capital croissant en progression arithmétique de raison I et commençant par l'unité. Cherchons l'expression de cette prime tr'y. Le caj)ital dû en cas de décès
COMBINAISONS DIVERSES Hl
de y pendant la rf année, si x lui survit, est n, et sa valeur actuelle est égale à :
|n(x+o-Hp:-'-p:)(pr+p:).
La valeur de la prime unique 11'^ est donc :
le ^ 1
Or: Snp"^-'(i + .r-«=^ + 2PX+-
tt% ASSURANCES SUR Li VŒ
On peut écrire aussi celte expression sous la forme :
et la prime annuelle correspondante est :
Cî,
Rentes de survie ou rentes différées avec contre- assurance. — On peut contre-assurer aussi les prîmes destinées à assurer une rente de survie ou une rente difierée. Par exemple, la prime unique d'une rente de survie avec contre-assurance est :
Le problème de la contre-assurance se résout donc en général par l'application de formules analogues aux relations (i) et (2).
Assurance dotale avec contre -assurance.
— Cependant une combinaison fréquemment employée : l'assurance dotale avec contre-assurance nécessite une analyse spéciale lorsque le contrat comporte le payement d'une prime annuelle, comme c'est le cas général.
Soit m cette prime et soient ce et y les âges de l'assuré et du contractant. La prime tj cesse d'être due soit au décès du contractant, soit au décès de l'assuré. D'autre part, si l'assuré meurt avant le terme du
contrat, Tassareur rembourse intégralement les princes qui ont été versées.
Plaçons-nous à l'époque de la conclusion du contrat. La première prime ts vient d'être payée. Si l'assuré meurt pendant le cours de la première année, l'assureur rembourse cette prime, qui constitue ainsi ua capital payable en cas de décès de l'assuré dans l'année. La valeur actuelle de ce capital, au moment du payement de la première prime, est:
Si le contractant vit au début de la deuxième année, il >erse une deuxième prime cy, et la somn^e payable en cas /de décès de l'assuré pendant cette deuxième année est 2rj (assurance temporaire d'un an en cas de décès, différée d'une année). La valeur actuelle de cette somme est:
^^Pv n ^ TT" — ^^P^ D '
De même si les deux têtes vi\ent au début de la ^ année, le. contractant verse la k" prime, et la somme remboursée en cas de décès de l'assuré pendant cette A^ année est kzn, La valeur actuelle de cette somme est:
"^Py D
Enfin si l'assuré vit au terme du contrat,* le capital assuré G lui est versé, et sa valeur actuelle est CP^.
La valeur des engagements de l'assureur au moment de la signature du contrat s'écrit:
et la valeur des engagements de l'assuré est : Ces deux expressions sont égales :
CD
\ * xy / X ■» y V a;+ifc— 1 x+kf
On peut construire des tables de quantités telles que
et des tables de sommes de ces nombres. Ce sont de nouvelles tables de commutations relatives à la combinaison considérée.
Usufruits et nues propriétés. — Les Compagnies d'assurances font assez fréquemment des achats de nues propriétés. Ces achats supposent le calcul préalable de la valeur de ces nues propriétés, et souvent aussi nécessitent la connaissance de la valeur des usufruits correspondants.
Lusafraitier jouit des revenus d'un capital , sa vie durant; lé nu propriétaire aura droit à la pleine jouissance de ce capital au décès de l'usufruitier. La réunion de
Tusufruit et de la nue propriété constitue la toute propriété .
D'après ces définitions, on voit que Tusufruit est assimilable à une rente viagère, et la nue propriété à une assurance au décès. Si le revenu du capital considéré est connu et constant, si la valeur de la toute propriété de ce capital est invariable, l'usufruit et la nue propriété se calculent aisément.
Mais il n'en est jamais ainsi. S'il s'agit de capitaux immobiliers, une foule de facteurs interviennent pour en faire varier la valeur. Si, au contraire, il s'agit de valeurs mobilières, leur cours varie, leur revenu n'est pas toujours fixe (actions), et enfin, le mode de remboursement des emprunts généralement employé (tirage au sort) ne permet pas de prévoir à quelle époque on sera obligé de faire des remplois d'argent et par conséquent des placements nouveaux. L'évaluation des usufruits et nues propriétés ne peut donc présenter une exactitude rigoureuse.
Comme exemple d'évaluation, prenons le cas de la rente française perpétuelle 3 o/o. Si l'âge de l'usufruitier est X, et si l'on suppose qu'aucune conversion ne surviendra, sa vie durant, la valeur de l'usufruit de 3 fr. de rente sera, au taux i :
En faisant une hypothèse sur le cours de la rente au décès de l'usufruitier, et en désignant ce cours hypothétique par C, on pourra calculer la valeur actuelle de la nue propriété de 3 fr. de rente :
A = C^^=C(i +0-^(1 -«aj. (2)
Théorie matB. des Assurances. 6
Le cours de la rente variant en somme entre des limites assez étroiles: 9o à loo, on pourra prendre pour C par exemple une valeur comprise entre 9o et 95. Les Compagnies^ d'assurances qui font des achats de nues propriétés prennent assez généralement 9o pour valeur de C, en laissant ainsi une marge suffisante pour prévenir une dépréciation possible du 3 o/o.
On peut aussi considérer la nue propriété précédente comme la valeur actuelle d'un revenu annuel de 3 fr., qui sera payable perpétuellement à partir du décès de l'usufruitier S ce qui revient à supposer toute conversion de rente impossible :
En prenant comme taux d'évaluation 3 i /a o/o :
et en supposant la valeur du capital, au décès de l'usufruitier, égale aux neuf dixièmes du capital nominal P, d'après l'hypothèse habituelle des Compagnies d'assurances, la valeur de l'usufruit est:
* Si l'on veut, on peut assimiler l'usufruit à une rente viagère reposant sur une tête d'âge -x, et la nue propriété à une rente de survie sur une tête immortelle, payable après le décès de la tête d'âge x; la relation (3) est bien équivalente à la relation :
Ra^=:R(%— flav),
y si l'on suppose la tête y immoKelle. Ray est alors la toute propriété du capital considéré.
et celle de la nue propriété :
Az=j^P(i,o35)-^(i-o,o35aJ.
a^ dans ces formules est donné par la table RF 3 1/2 0/0.
Il peut se faire qu'un usufruit soit temporaire. Un mineur, par exemple, peut jouir de l'usufruit d'une valeur jusqu'à sa majorité. Le nu propriétaire jouira alors de la toute propriété soit au décès de l'usufruitier, soit au plus tard à sa majorité : la nue propriété est assimilable à un capital assuré au moyen d'un
^M^ — M,.„ contrat mixte : C tz — - — .
Rentes de survie temporaires. — Dans l'étude, faite plus haut, des rentes de survie, nous n'avons considéré que des rentes de survie payables jusqu'à la mort du bénéficiaire, à partir de celle de l'assuré. La durée des rentes de survie peut être assujettie à des conditions différentes, et l'on peut avqir à considérer des rentes temporaires, servies aux condi-. tions ci-après énumérées :
1° Le service de la rente, de terme annuel R, peut cesser au plus tard dans n années, quelle que soit l'époque du décès de l'assuré d'âge x, La prime unique est la différence des primes uniques de deux renies temporaires de n années constituées , la première sur la tête bénéficiaire d'âge y, la deuxième sur les deux têtes sans réversion:
n=R(ar-ai;').
Le risque décroît au fur et à mesure que les âges augmentent ; de même que pour les assurances en cas de décès de capitaux décroissant en progression arithmétique, l'assureur ne doit pas consentir une prime annuelle constante.
2° Si la rente de survie ne s'éteint qu'au moment du décès du bénéficiaire, le service de cette rente ayant commencé au décès de l'assuré, à la condition que ce décès soit survenu dans les n premières années du contrat, la prime unique s'obtient en retranchant de la prime unique d'une rente immédiate sur la tête y bénéficiaire :
i"* La prime unique de la rente payable en cas de vie simultanée des deux têtes x et y pendant les n premières années du contrat;
2° La prime unique de la rente R différée de n années sur la tête y et payable seulement en cas de vie de 0? à la fin de la rf année :
II = R[a^ — a-^ — a^pl];
3^ La rente de survie peut enfin n'être servie à y que pendant les n années qui suivront le décès de x. Le terme de rente R, venant à échéance dans k années, n'est payable que si y vit à cette époque, et si x est mort depuis moins de n années; sa valeur actuelle est donc : Rp^(p^-"p^)(i -|-i)-^ (i)
Si /i > A-, la probabilité jo^~" devient une certitude et l'expression s'écrit :
Rpl{i-pl)(i-\-i)-\ (2)
La prime unique s'obtient en faisant la somme d'expressions analogues à (2) quand k varie de i à /i.
et d'expressions analogues à (i) quand k varie de /i à r infini , soit :
ri=RS/>: ( 1-pi) (i+o-'^+RSp: {p^-^-p'Xi+i)-"
Or s/>:pr"(i+o-*=(i+')-"/>:^/>:;;,(i+o-^*-">
^ï/ ^jr,y + n n >
Px-n
n=R[ar-a.,+P;a.,,,.]=R| af -^.,,+ ^^"'^^ l
L Px-n J
Les rentes de survie temporaires peuvent être payables par semestres ou par trimestres; il suffira de remplacer les annuités payables annuellement par les annuités correspondantes.
Si la rente commence au jour même du décès, on traite la question comme on Ta fait plus haut page i63.
Rentes servies par la Caisse nationale des Retraites** — Ces rentes peuvent être constituées à capital aliéné ou à capital réservé. Les premières ne diffèrent pas de celles qui ont été étudiées précédemment. Au contraire, les rentes à capital réservé sont telles que le capital ou les primes qui ont servi à les constituer sont remboursés aux héritiers du rentier lors de son décès, à quelque époque qu'il survienne.
* Voir plus loin opérations de la Caisse nationale des retraites, page 285 et suivantes.
Si la rente est immédiate, le rentier ne fait que toucher à chaque échéance, c'est-à-dire à la fin de chaque trimestre, les intérêts du capital, correspondant à la période écoulée, et le capital placé sera restitué au décès du rentier. Si là rente est différée de n années, sur une tête d'âge x , et est produite par le versement d'un capital TI, cette somme II est la valeur actuelle de la rente viagère r différée de n années et servie trimestriellement, augmentée de la valeur actuelle du remboursement de II efiFectué au décès du rentier :
n = r(a;+|-P:)+II(i+0"'^(i— /a.)
Si la rente a été constituée au moyen de n versements annuels, le remboursement des primes versées équivaut à une assurance au décès, temporaire de n années, de capitaux ci, 2ct, ... croissant en progression arithmétique de raison cr, et à une assurance au décès différée de n années , au capital nn :
^x + n + 1 ~) ô' ■L'ar + n
Les rentes viagères servies par la Caisse nationale des retraites sont dites avec arrérages au décès, parce^que
le prorata d'arrérages couru depuis le commencement de la période dans laquelle se produit le décès jusqu'au décès lui-même est payé par la Caisse aux héritiers du rentier décédé. Avec l'hypothèse habituelle des décès en milieu de période, cela revient au payement d'un capi- ^ tal égal au demi-terme de la rente lors du décès du ren-
! tier. Si la rente est immédiate, la prime unique de la
combinaison s'écrit :
Pour k = l[,
11 — / gp
Si la rente est différée de n années, les arrérages 1^ au décès ne seront dus qu'à partir de l'entrée en jouis-
sance :
