CHAPITRE X

RÉSERVES

§ I. — Calcul des réserves.

237. Lorsqu'une assurance est faite pour un an seulement, le bénéfice de la Compagnie à la fin de l'année est formé par la différence entre les primes reçues et les sinistres : c'est ce qui arrive dans les assurances maritimes, ainsi que dans les assurances temporaires d'un an en cas de décès. Il en est de même lorsqu'une assurance est faite pour plusieurs années, moyennant une prime annuelle consîante, si le risque reste, comme la prime, le même d'une année à l'autre : c'est ce qui se produit dans les assurances contre l'incendie; mais il n'en est plus de même dans les assurances sur la vie autres que les assurances temporaires d'un an. L'opération est contractée pour de longues années; mais la prime annuelle y est constante, tandis que le risque couvert par la Compagnie va en s'aggravant d'année en année. Si l'on considère un même groupe de polices d'assurances, il doit v m. ï*

avoir, et il y a toujours pendant les premières années un excédant considérable des primes reçues sur les sinistres; mais cet excédant va constamment en diminuant, puisque la masse des primes diminue, tandis que les sinistres augmentent. Il arrivera ainsi un moment où, sur ce même groupe de polices, l'ensemble des primes reçues pendant un an sera plus faible que l'ensemble des sinistres.

Ainsi, si l'on suppose looo assurances sur la vie entièi-e, de loooo francs chacune, faites à l'âge de 3o ans, la prime annuelle pure de chacune d'elles est de 167 francs; la masse des primes à recevoir la première année est donc de 167 000 francs (sans tenir compte du chargement, qui est destiné à couvrir les frais et les bénéfices) et, comme la probabilité de décès est 0,0077, les sinistres s'élèveront seulement à 77000 francs; il y aura donc un excédant de primes de 90 000 francs. Mais, dix ans après, les 1000 vivants seront réduits à 918, la masse des primes sera réduile à i533o6 francs, tandis que, le risque de décès étant devenu o,oio3, l'ensemble des sinistres sera monté à 94 554 francs, ne laissant déjà plus qu'un excédant de primes de 5875?. francs. Enfin, 22 ans après la conclusion des assurances, les assurés étant âgés de 02 ans, le risque de décès est devenu 0,0170, et représente 173 francs sur chaque police, tandis que la prime reçue est toujours de 1G7 francs; les sinistres l'emporteront donc sur la masse des primes, et le nombre des vivants étant alors de 783, l'excès des sinistres sur les primes reçues sera, pour cette vingt-deuxième année, de 6264 francs; il ira ensuite en augmentant tous les ans. Si donc la Compagnie avait considéré comme des bénéfices les excédants de primes réalisés pendant les premières années, elle se trouverait en perle certaine, sur le groupe de polices considéré, au bout de 22 ans environ, et le montant de celte perte annuelle irait en augmentant rapidement; pendant la quarantième année il s'élèverait à 192496 francs.

La prime constante reçue pour chaque police doit donc être considérée comme une sorte de moyenne, qui est trop élevée au commencement, et qui plus tard devient trop faible pour

couvrir le risque; et la Compagnie, en faisant l'assurance, contracte l'engagement tacite de prélever, sur les primes trop fortes des premières années, et de garder en réserve les sommes nécessaires pour compléter les primes trop faibles des années à venir. C'est là une nécessité de premier ordre; et la conservation constante de ces réserves constitue l'obligation la plus impérieuse des Compagnies d'assurances sur la vie, en même temps qu'elle donne à leurs opérations un caractère tout particulier.

La portion de la prime annuelle qu'il faut mettre en réserve dépend de la combinaison d'assurance dont on s'occupe, et en même temps du mode de payement qui a été adopté pour les primes annuelles. A chaque inventaire, la réserve se' calcule d'après la considération suivante. Quand l'assurance a été contractée, on a fixé la prime pure de telle sorte que l'engagement de l'assuré et l'engagement de la Compagnie eussent la même valeur, valeur estimée à l'aide du taux de 4 pour loo, et de la Table de mortalité la plus exacte possible (t^o/r n" 139); il faut qu'après un nombre quelconque d'années écoulé, la même équivalence subsiste. Mais, comme l'engagement de la Compagnie va constamment en augmentant de valeur, parce que l'échéance se rapproche, tandis que l'engagement de l'assuré va au contraire en diminuant de valeur, parce qu'il y a moins de primes à recevoir, il se crée entre ces deux valeurs un écart toujours croissant ; c'est cet écart qui doit être comblé par la réserve. Cette réserve ne peut j)as être assimilée aux réserves statutaires ou de prévoyance, que les Compagnies industrielles prélèvent souvent sur leurs bénéfices, pour parer aux éventualités de l'avenir : celle-ci est destinée à faire face à des engagements certains, qui deviendront exigibles à des échéances encore inconnues. On la nomme réserve pour les risques en cours, et nous la définirons de la manière suivante : la réserve sur une police en cours est une somme égale à l'excès de la valeur actuelle de l'engagement delà Compagnie sur la valeur actuelle de l'engagement de l'assuré.

238. La nécessité, pour une Compagnie d'assurances sur la vie, de conserver en dépôt, pour chaque police en cours, une somme égale à la réserve ainsi définie n'est cependant pas, au point de vue mathématique, d'un ordre absolu : on ne peut pas affirmer que, même en adoptant cette règle, une Compagnie soit mathématiquement certaine de pouvoir faire face dans l'avenir à tous ses engagements. C'est le sort commun de toutes les Compagnies d'assurances, de quelque nature qu'elles soient; si tous les risquesassurés,ou si seulement une grande portion des risques assurés périssaient la même année, aucune Compagnie, incendie, vie, maritime ou autre, ne pourrait payer tous ses sinistres. Mais, comme le calcul de la réserve est ce qui détermine les bénéfices acquis à chaque inventaire; qu'il faut bien établir une ventilation entre les bénéfices que l'on doit considérer comme acquis et ceux que l'on doit laisser dans les futurs contingents; qu'il faut en conséquence adopter une base quelconque pour le calcul de la réserve, la base ci-dessus est la meilleure que l'un puisse choisir, parce que c'est celle qui tient la balance la plus égale. Si la mortalité se conforme dans l'avenir aux indications de la Table de mortalité, qui a dû être choisie la plus exacte possible, la Compagnie ne fera aucun bénéfice sur le roulement des primes pures, ces primes étant exclusivement employées à payer les sinistres, et à former les réserves, qui auront à leur tour la même destination : les bénéfices d'assurances proviendront seulement de la portion qui a été ajoutée aux primes à cet effet, sous le nom de chargement, quand on a établi les tarifs. Ces bénéfices seront donc proportionnés chaque année à l'importance des affaires en cours, ce qui est juste. On aura ainsi évité, et d'attribuer au présent des bénéfices non encore réalisés, qui sont encore dans les futurs contingents, ce qui arriverait si l'on gardait en dépôt une somme plus faible que la réserve; et de laisser a l'avenir des bénéfices qui sont réellement acquis pour le présent, ce qui aurait lieu si l'on gardait une somme trop forte.

Il n'y a pas grand inconvénient pour une Compagnie à faire

une réserve trop forte : cela revient à garder pour l'avenir des bénéfices qui en réalité sont déjà réalisés et appartiennent au présent. Il y a, au contraire, grand danger a faire une réserve trop faible, surtout si cette erreur provient d'un système de calcul défectueux, parce qu'alors elle ira en s'aggravant avec le temps; qu'elle arrivera, quand la Compagnie sera ancienne, à porter sur de très-forts capitaux, et pourra ainsi s'élever elle-même à une somme très-considérable. Ainsi, quand une Compagnie arrive à avoir des réserves s'élevant à ] oo millions de francs, s'il existait dans la méthode de calcul qu'elle a adoptée pour les établir un défaut qui conduisît à des résultats trop faibles de lo pour loo, cette Compagnie se trouverait en réalité en déficit de lo millions.

Toutes les Compagnies ne calculent pas leurs réserves de la même manière; cela tient à ce que les valeurs actuelles de l'engagement delà Compagnie et de l'engagement de l'assuré (dont la différence constitue la réserve) ne peuvent pas être déterminées d'une manière absolue, sans quoi il n'y aurait lieu à aucune interprétation : on ne peut que les estimer, comme on l'a vu aux n°* 173, 178 et suivants, et il faut, pour faire cette évaluation, adopter deux bases, qui sont un certain taux d'intérêt et une certaine Table de mortalité. Quand ces deux éléments sont déterminés, la réserve l'est également, et il n'y a plus qu'un calcul mathématique à faire pour en établir le chiffre.

11 est clair que, pour obtenir la réserve la plus exacte possible, il faut choisir les deux bases ci-dessus le plus rapprochées possible de la réalité; le taux d'intérêt devra être le plus rapproché possible de celui que la Compagnie pourra retirer du placement des primes, pendant toute la durée de la police dont on s'occupe, et la Table devra indiquer une mortalité aussi conforme que possible à celle de la classe assurée.

239. Occupons-nous d'abord du taux d'intérêt. Nous avons dit, au n° 140, que toutes les Compagnies françaises avaient

adopté pour le calcul des tarifs le taux de 4 pour loo, parce qu'elles sont a peu près certaines de pouvoir, pendant toute la durée des polices actuellement souscrites, placer leurs capitaux à ce taux moyen. Elles n'ont pas la même certitude pour le taux de 4 h et il ne serait pas prudent d'élever jusque-là le taux qui doit servir de base au calcul des réserves; toutes les Compagnies ont donc adopté le taux de 4 pour loo pour le calcul des réserves, comme pour le calcul des tarifs. Ce choix ne peut avoir pour résultat que de conduire à des réserves un peu trop fortes; car, ainsi qu'on le reconnaîtra sur des exemples numériques, lorsqu'on diminue de-^ pour loo létaux d'intérêt servant de base à ce calcul, la réserve augmente de G h 8 pour loo de sa valeur. En Angleterre, les Compagnies ont généralement adopté aussi le même taux pour le calcul de leurs réserves que pour le calcul de leurs primes, c'est-à-dire 3 | ou même 3 pour loo; la prudence leur commandait en effet d'avoir égard aux conditions du marché financier, qui ne sont pas les mêmes qu'on France.

240. Le choix d'une Table de mortalité n'est pas moins importantque le choix d'un taux d'intérêt. Il s'agit d'estimer séparément la valeur de deux engagements : il faut donc choisir la Table de mortalité la plus exacte possible. Dans l'état actuel de nos connaissances, la Table qu'il faut adopter pour les assurances en cas de décès est évidemment celle des 20 Compagnies anglaises: toute autre donnerait des résultats moinsexacls. En conséquence, nous nommerons réserve normale pour les risques en cours la réserve calculée au moyen du taux d'intérêt de 4 pour «oo et de la Table H" des 20 Compagnies anglaises; et il résulte de la discussion qui précède que, dans l'état actuel de nos connaissances, la réserve normale donne avec la plus grande approximation possible la valeur de la réserve pour les risques en cours, sauf ce qui sera dit plus loin au n" 247 au sujet de la sélection médicale.

Si ces deux bases fixes ne sont pas adoptées par toutes les Compagnies, cela tient à l'enchaînement historique des faits.

Avant que l'on ne fût eu possession de la Table des 20 Compagnies, ou de celle des 17 Compagnies, qui l'avait précédée, chaque Compagnie employait, pour le calcul de ses réserves, la même Table de mortalité que pour le calcul de ses primes; les Compagnies françaises notamment avaient adopté la Table de Duvillard, et la plupart l'ont encore conservée jusqu'à ce jour. Cela parait assez logique à première vue; mais, si l'on se reporte à la définition de la réserve, on verra que c'est uniquement par une assimilation spécieuse qu'on croit pouvoir calculer celle-ci au moyen de la Table de mortalité employée pour établir les tarifs.

Les tarifs sont bons pourvu qu'ils soient rémunérateurs, et une Table de mortalité conduit à un tarif rémunérateur pourvu qu'elle accuse pendant les premières années de l'assurance une mortalité plus forte que celle de la classe assurée; mais cela ne suffit pas pour qu'elle conduise à un calcul exact de la réserve. La réserve est la différence entre les valeurs actuelles de l'engagement de la Compagnie et de l'engagement de l'assuré; si l'on emploie pour la calculer une Table de mortalité trop rapide au commencement et trop lente à la fin, on estimera à une valeur inexacte et l'engagement de la Compagnie et l'engagement de l'assuré. Les deux erreurs commises pourront être dans je même sens ou en sens contraire; mais il sera impossible de d'ire à priori si l'erreur finale sera considérable, ni même dans quel sens elle se produira : cela dépendra de l'ensemble des cbilTres de la Tal.de de mortalité. Une Tcible qui accuse une mortalité plus exagérée dans les premières années de la vie que dans les dernières années conduit à des réserves trop fortes; une Table qui accuserait une mortalité plus exagérée dans les dernières années conduit h des réserves trop faibles; enfin une Table qui accuserait une mortalité également exagérée partout pourrait conduire à des réserves exactes; et cependant ces trois Tables de mortalité pourraient donner toutes les trois des tarifs raisonnables et rémunérateurs. Inversement, une Table de mortalité pourrait donner des réserves parfaitement exactes, et

conduire cependant à des tarifs ou beaucoup trop faibles ou beaucoup trop élevés. Quand on a calculé les réserves avec une Table de mortalité trop rapide pour les âges jeunes, comme l'est celle de Duvillard, il n'y a qu'un moyen de reconnaître dans quel sens et dans quelles proportions ces réserves sont inexactes : c'est de les comparer avec les réserves normales, puisque celles-ci donnent pour la valeur cherchée l'approximation la plus grande que nous puissions obtenir, dans l'état actuel de nos connaissances statistiques. D'où il résulte encore que pour chaque comliinaison d'assurances on peut dresser une fois pour toutes un tableau type indiquant le montant des réserves normales après un nombre quelconque d'années écoulées; les tarifs plus ou moins divergents appliqués par les diverses Compagnies pour le calcul des primes n'auront aucune influence sur les nombres figurant dans ce tableau, et c'est à lui qu'on devra se référer pour voir si une réserve, calculée d'après un autre procédé quelconque, est trop faible ou trop forte.

Nous allons exposer comment la réserve normale se calcule pour les principales combinaisons d'assurances et pour les principaux modes de payement des primes. Il nous restera ensuite à rechercher quel est le degré de sécurité auquel une Compagnie arrive en adoptant celte base de calcul, c'est-à-dire quelle probabilité il y a qu'elle pourra toujours remplir ses engagements; nous rechercherons également jusqu'à quel point il pourrait y avoir danger pour elle à adopter un mode de calcul conduisant à une réserve inférieure à la réserve normale.

Késerves des assMrasîces e»®"** '*• '''*^ eiatscre.

Payement à prime unique.

241. Lorsqu'une assurance pour la vie entière a été contractée à l'âge n, moyennant le payement d'une prime unique, et qu'il s'est écoulé /«années, l'assuré se trouve âgé de a + n années. La Compagnie a pris envers lui un engagement dont

la valeur est ?«+«; et, comme elle n'a plus rien à recevoir de lui, la réserve normale est précisément égale à P«+„, c'est-àdire à

On voit ainsi que les assurances faites à prime unique rapportent immédiatement àlaCompagnie tout le bénéfice qu'elles sont susceptibles de donner. La Compagnie a reçu, quand le contrat a été fait, la prime unique pure P^, plus le chargement; et, comme la réserve normale n'est égale qu'à la prime pure, sans chargement, toiît le chargement lui reste à litre de bénéfice acquis. Il en est de même pour toutes les combinaisons d'assurances faites a prime unique, pourvu que la réserve soit établie conforme à la prime unique pure, ou, ce qui revient au même, soit calculée au moyen de l'annuité déduite d'une Table de mortalité exacte.

Si l'on mettait en réserve, au lieu de la prime unique pure ^a+in la prime unique du tarif, qui contient un chargement, cela n'arriverait pas : une faible partie du bénéfice serait considérée comme acquise, et la plus grande partie serait laissée à l'avenir, et mise en évidence d'année en année. Ce système est moins logique que le précédent; car la Compagnie, ayant reçu une prime unique et n'ayant plus rien à recevoir de l'assuré, a reçu le prix intégral de la marchandise qu'elle a vendue : elle n'a plus qu'à conserver cette marchandise ellemême, ou, ce qui revient au même, son prix de revient^ qui est la prime unique pure; toute la différence est un bénéfice parfaitement acquis. Du reste, les assurances faites à prime unique étant en nombre excessivement restreint, l'une ou l'autre manière d'opérer est indilierente dans la pratique.

Exemple. — Un homme âgé de 3o ans s'est assuré pour loooo francs, et a payé, conformément au tarifC, une prime unique de 36 1 6 francs. Quelle est la réserve normale, et quel est le bénéfice acquis, i" immédiatement après l'assurance, et 2° un an après.

Immédiatement après l'assurance, la réserve normale est

lO

égale à la prime unique P30 ou 3027 francs, en sorte que le bénéfice acquis par le seul fait de la conclusion de l'assurance ressort à 589 francs, ou plus exactement à 58^ francs, si l'on veut tenir compte de la clause relative aux octogénaires.

Mais cette police ne donnera plus de bénéfices réguliers les années suivantes : elle donnera un bénéfice, ou un résultat nul, ou une perte, suivant que les sinistres seront en proportion inféiieure, égale ou supérieure à celle que la Table de mortalité faisait prévoir.

Ceci peut se vérifier facilement. Ainsi, de 3o à 3i ans, d'après la Table H" (qui a servi au calcul des primes uniques), il doit survenir 694 sinistres sur 89866 têtes, soit 78 sur loooo. Si l'on a fait 10000 polices semblables, les réserves, placées a 4 pour 100, auront produit, au bout d'un an,

loooo >; 3027 X i,o4 = 31476532 francs.

Il faudra prélever sur cette somme : 1° le payement de 78 sinistres de 10 000 francs, soit 780000 francs; 1^ la réserve des 9922 polices restant en cours , à raison de 3094 francs (prime unique pure à 3i ans) pour cbacune, soit 30698668 francs. Ces deux prélèvements absorbent précisément le fonds produit par le placement de la réserve do première année, avec un léger excès, qui tient à ce que nous avons compté sur 78 sinistres pour loooo polices, tandis que la Table de mortalité n'en accuse en réalité que 77 et une fraction.

Si l'on mettait en réserve, non la prime unique pure, mais la prime unique cbargée, c'est-à-dire la prime unique du tarif, les résultats seraient tout différents. La réserve faite immédiatement après l'assurance serait égale au versement reçu, 36 16 francs, et ne laisserait aucun bénéfice immédiat. Le fonds produit au bout d'un an serait égal à 10000 X 36i6 X i,o4 = 37606400 francs, et les prélèvements à effectuer seraient de 780000 francs pour les sinistres, et 366i2i8o francs pour la réserve des 9922 contrats restant en cours, à raison de 3690 francs (prime unique

cliargée à 3i ans) pour chacun, soit en tout 87 392 180 francs. Il resterait donc comme bénéfice 21 8220 francs pour les loooo contrats, soit 21'"% 32 en moyenne pour un seul. Si l'on calculait les réserves d'après la prime unique suivant Duviliard, prime unique qui contient son chargement, on obtiendrait un résultat analogue à celui que donne cette seconde méthode.

Mais nous pouvons répéter (ju'il n'y a pas de doute sur la manière dont le calcul doit être fait. On peut mettre en réserve une somme aussi forte (]ue l'on veut, mais la réserve normale, c'est-à-dire, par définition, la somme que la Compagnie doit mettre en réserve pour être en mesure de faire face aux risques, est égale à la prime unique pure, calculée d'après la Table de mortalité la plus exacte que l'on connaisse, c'est-à-dire d'après la Table H^'.

Payement à primes viagères constantes.

242. Lorsqu'une assurance pour la vie entière a été contractée à l'âge a, moyennant le payement d'une prime viagère constante, et qu'il s'est écoulé n années, l'engagement de la Compagnie, pour une somme assurée de i franc, a pour valeur P„^.„. Quant à l'engagement de l'assuré, il consiste dans le payement d'une prime annuelle/?^, reposant sur une tête d'âge a -^ n : il a donc pour valeur pa[i H-X^+„), et, par suite, la réserve, que nous désignerons par,,V^, a pour valeur

expression qui peut se mettre sous la forme

161) „V„=.IV„Yi-^^''-

Ces deux formules sont exactes, qu'on suppose le capital assuré payable à la fin ou au commencement de l'année du décès : si les primes P et /» sont établies en prévision d'un

payement en fin d'année, il en sera de même de la réserve, et inversement.

On peut encore mettre la valeur de la réserve sous une autre forme, en introduisant les annuités au lieu des primes pures; mais alors il faut distinguer si le capital est payable en fin ou en commencement d'année, parce qu'il faut, suivant le cas, remplacer P par la valeur (78) ou par la valeur (80). Si l'on suppose que le capital assuré doive être payé à la fin de l'année du décès, la valeur de V revient à

ou à

et si l'on suppose que le capital doive être payé au commencement de l'année du décès, elle est égale aux deux valeurs précédentes, multipliées par i + /.

On peut encore déterminer la valeur de la réserve en remarquant que, l'assuré étant âgé de a-'-n années, la prime jia qu'il va continuer à payer suffit pour assurer un capital

~^\ il faut donc que la réserve soit égale à la prime unique assurant le complément du capital, qui est i ^ : cette

réserve doit donc être fixée à P,,..,,( ' — ~ I •

Enfin l'on peut calculer la réserve par la considération suivante. Les primes payées par l'assuré pendant les n années écoulées ont dû servir intégralement soit à couvrir le risque de décès pendant ce temps, soit a constituer la réserve. Pour couvrir le risque de décès, il suffisait de payer annuellement la prime d'une assurance temporaire de n années, qui est, d'après le n° 202,

p — P O" I -f- „-iX«

La différence entre la prime réellement payée et le nombre

ci-dessus doit être considérée comme la prime annuelle d'une assurance de cnpital différé, (jui a été payée sur la tête de l'assuré, et qui a ainsi assuré sur sa tête à l'expiration de n années (n** 227) un capital égal à

Tel est donc le capital restant disponible, après que le risque couru a été exactement couvert; et telle doit être la somme consacrée à la réserve. Si l'on effectue les calculs indiqués, on trouve, en effet, que cette valeur est la même que celle de la formule (i6o).

Exemple. — Quelle est la réserve normale d'une police d'assurance de loooo francs pour la vie entière, contractée à l'âge de 3o ans, et après lo années écoulées?

Il faut, dans les formules ci-dessus, faire a = 3o, n=^ lo, et remplacer P eXp par les primes pures, dérivées de la Table H" et du taux d'intérêt de 4 pour loo. La formule (i6o) donne alors

,„V-o r-; 0,3794 — 0,01 67 (iX l5, 135)=: 0,1101.

Les formules (161), (162) et (i63) conduisent au même résultat :

-. rf 167 \

, i LKJL,