ID,02I

Si l'on employait la Table de Duvillard en appliquant les formules (i6o) ou (i6i), c'est-à-dire en passant par l'intermédiaire du tarif, il faudrait remarquer que le tarif est établi en supposant le capital assuré payable au commencement de l'année du décès : le résultat obtenu devrait donc être divisé par i,o4 pour le ramener à représenter la réserve applicable h des payements effectués en fin d'année. La formule donnera ainsi, en se servant des cbifTres officiels des tarifs publiés,

j (0,4686 — 0,0249 X 14,286)= o, io85,

cbiffre égal au résultat du calcul précédent, sauf la dernière décimale, ce qui tient à ce que les tarifs publiés pour les primes ne contiennent pas assez de décimales pour obtenir quatre cbifTres concordants. 11 ne faudrait pas croire que la réserve calculée d'après Duvillard soit toujours plus faible que calculée d'après la Table anglaise; c'est le contraire qui arrive si l'on prend l'âge d'entrée de 20 ans et la durée écoulée de 10 ans. La réserve est alors 0,0761 d'après la Table anglaise, et 0,0814 d'après Duvillard. Si cependant l'on se reporte à la figure donnée au n*^ 110, on verra que les taux de mortalité de Duvillard sont supérieurs à ceux de la Table anglaise, aussi bien de 20 à 3o ans que de 3o à 40 ans; ce ne sont donc pas les Tables à mortalité rapide qui donnent les réserves toujours les plus faibles, ni toujours les plus fortes : cela dépend de l'allure générale de la Table tout entière. Dans l'exemple cboisi, il arrive que la mortalité d'après Duvillard est plus exagérée dans les premières années qui suivent la trentième que dans les premières années qui suivent la vingtième, et que cette exagération diminue ensuite à mesure que l'âge augmente : de là vient que la réserve d'après Duvillard , trop forte s'il s'agit d'assurances faites à 20 ans, est trop faible s'il s'agit d'assurances faites à 3o ans.

Si l'on faisait les mêmes calculs avec la Table de Deparcieux, on trouverait comme cbifTres de réserve, dans le

premier exemple, 0,0942, et clans le second 0,0596, c'eslà-dire deux résultats plus faibles qu'avec les deux autres Tables; et cependant les taux de mortalité de Deparcieux sont intermédiaires entre les taux des deux autres Tables, aussi bien de 20 à 3o ans que de 3o h l\o ans. C'est une nouvelle preuve que l'élévation plus ou moins grande de la réserve est due, non pas à l'élévation des taux de mortalité, mais à l'allure générale de la Table que l'on emploie.

243. Correction relative à V échéance des primes. Les formules ci-dessus supposent que la police est restée en cours exactement pendant n années, qu'il y a eu /î primes payées, et que la [n -+- 1]'^'"*^ prime, arrivant à son échéance, est due et n'est pas encore payée.

Si la police est restée en cours pendant un nombre d'années n qui n'est pas entier, mais égal à m années plus une fraction «, qu'il y ait eu m primes payées, et que la [m -+- ij'^'"^ prime n'arrive à échéance que dans un Jemps i — a, la valeur de l'engagement de la Compagnie reste la même, mais la valeur de l'engagement de l'assuré subit un changement. Elle est égale à la prime annuelle, multipliée par i plus l'annuité sur une tète d'âge a -h n, différée du temps 1 — «; c'est-à-dire à très-peu de chose près à i plus l'annuité sur une tête d'âge a h- n, moins i — a; ou bien à a h- X,,^./,. La réserve normale est donc alors égale à

On peut arriver à ce résultat d'une autre manière. La Compagnie se trouve avoir reçu d'avance une fraction i — a de la prime, qu'elle ne recevra plus, et pour un risque qui n'est pas couru. La réserve normale augmente donc d'autant, et est fixée, dans ce cas, par la formule

Il revient au même de la calculer par la formule ordinaire (160), et de lui ajouter ensuite, à titre de correction, la quantité (i — a)/?^. Si, en parliculier, la fraction a est égale

— i6 — à I année, la réserve sera donnée par la formule

ou, ce qui revient au même, la correction à appliquer à la formule (160) sera ~ p„, moitié de la prime annuelle. Elle prend le nom de correction relative à V échéance des primes.

Exemple. — Une personne de 3o ans s'est assurée le 3o juin 1870 pour un capital de loooo francs; on demande quelle sera la réserve normale de sa police au 3i décembre 1876.

Il faut, dans la formule précédente, faire a = 3o, a = -,

et/? =^ 6,5, ce qui donne

On obtient une approximation suffisante en prenant pour P et X des moyennes entre les valeurs correspondant à 36 et à 37 ans, et l'on trouve alors pour cette réserve

o,35o38 — 0,01667 (- -'- 1 ,589 J r= 0,0772, soit 772 francs pour loooo.

244. En pratique, les Compagnies d'assurances sur la vie établissent toujours leurs inventaires et calculent leurs réserves au 3i décembre d'une année, c'est-à-dire à une date fixe, à laquelle presque aucun des assurés n'a atteint un âge exprimé par un nombre entier d'années, de même que presque aucune assurance n'est en cours depuis un nombre entier d'années. Comme elles ont en cours un grand nombre d'assurances, elles n'établissent pas la réserve pour chacune d'elles isolément, mais elles procèdent par des groupements, qui sont faits suivant diverses méthodes; nous allons indiquer dans ses détails l'une de ces méthodes.

Supposons qu'il s'agisse de calculer la réserve au 3i décembre 1876; on groupe d'abord les assurés dont les polices

sont en cours à cette date, d'après le millésime de l'année de leur naissance. Par exemple, tous les assurés nés en i845 ont atteint au 3i décembre 187G un âge compris entre 3o et 3i ans, et forment une classe spéciale. Cette classe se divise encore en catégories, suivant l'année dans laquelle l'assurance a été contractée; ainsi les assurés nés en i845 et s'étant assurés en 1871 forment une catégorie spéciale, pour laquelle la réserve est calculée à part.

On admet que toutes ces personnes, nées en i8/i5 et assurées en 1871, avaient exaetement 26 ans à la date de leur assurance, et que toutes se sont assurées au 3o juin 1871; toutes les polices de cette catégorie étaient donc, au 3i décembre 1876, en cours depuis 5| ans, et, par conséquent, leur réserve sera donnée parla formule (164)

dont le premier terme représente l'engagement de la Compagnie et le second terme celui de l'assuré. Numériquement cette valeur revient à

0,3129 — o,oi47 ( — ^ 16, 865 ] =: o,o5'j6.

Si les assurances de cette catégorie, c'est-à-dire faites en 1871 sur des têtes nées en i845 et restant en vigueur au 3i décembre 1876, montent par exemple à !i5ooo francs, la réserve qui les concerne devra être fixée à

1 1 5ooo >< 0,0576 = 6629*^ "■,

OU, ce qui revient au même, à 0784 francs, valeur déterminée par la formule (160), plus 845 francs, somme égale à la moitié des primes annuelles, soit 6629 francs.

245. La réserve étant établie, d'après les formules qui précèdent, pour une époque quelconque, on peut vérifier que, si l'on y ajoute la prime de l'année suivante, plus les intérêts pendant un an, et qu'on en retranclie les sinistres de l'année, sinistres supposés conformes à la Table de mortalité, on ob- £11. 2

tient encore à la fin de l'année exactement la même somme que si l'on calculait la nouvelle réserve par les mêmes formules, ce qui revient à dire qu'avec l'emploi de ces formules les primes pures tout entières sont employées ou à payer la proportion de sinistres qu'indique la Table de mortalité, ou à former la réserve. Supposons, en effet, un nombre de 89865 personnes, assurées à 3o ans et réduites à l'âge de 40 ans, ainsi que l'indique la Table H", au nombre de 82284 vivants, pour chacun desquels on a établi la réserve de o^', iioi, calculée tout a l'heure. Si à cette réserve on ajoute la prime de o*^'", oiG^ pour l'année 4o-4i» plus l'intérêt à 4 pour 100, et que l'on retranche, pour les sinistres, 848 (nombre de décès de lio à l\i ans), on obtient pour la réserve totale loooj francs, somme qui, répartie sur les 81 436 assurances restant en cours à la fin de la quarante et unième année, donne, pour chacune d'elles à cette époque, un chiffre de réserve de o*^'", 1227. Or, si l'on fait le calcul direc- IcHîent par la formule (160), on trouve également

c'est-à-dire exactement le même chiffre : c'est bien ce qui doit être, puisque le chargement ajouté aux primes pures doit être seul consacré à faire face aux frais et aux bénéfices. Si, pendant une année déterminée, il y a moins de sinistres que la Table de mortalité n'en faisait prévoir, les primes pures laisseront un bénéfice additionnel qui viendra s'ajouter au bénéfice produit parle chargement et qui sera, comme lui, définitivement acquis pour le passé; si, au contraire, il se produit plus de sinistres qu'on ne l'avait prévu, il y aura une perte, qui viendra diminuer le bénéfice produit par le chargement, qui pourra même l'absorber et au delà. La catégorie d'assurances sera alors en perte pour cette année; mais, la réserve étnnt toujours constituée à nouveau, d'après les exigences de l'avenir, et sans tenir aucun compte des résultats (les années écoulées, la catégorie se trouvera toujours en mesure de payer les sinistres des années suivantes, pourvu qu'ils

surviennent conformément aux prévisions de la Table de mortalité. Ainsi l'importance plus ou moins grande des sinistres d'une année fait varier les bénéfices de cette année; mais elle n'intluc nullement sur le fonds de réserve, qui est toujours établi sur des bases immuables, de manière à ne laisser pour l'avenir ni perte, ni bénéfice probable sur les primes pures : c'est le chargement seul qui doit produire les bénéfices de l'avenir.

246. L'importance des réserves s'appliquant aux assurances sur la vie entière, catégorie qui comprend l'immense majorité des affaires des Conipagnies, nous engage à entrer dans quelques développements au sujet des divers modes de calcul qui peuvent être adoptés pour les établir.

On peut calculer la réserve, soit par la formule ( 162), c'està-dire en fonction des annuités, soit par la formule (i(ji), c'est-à-dire en fonction des primes. Les deux modes de calcul donnent des résultats identiques, si les primes que l'on fait entrer dans la formule (iCi) sont bien celles qui dérivent directement des annuités, par les relations (78) et (9G); mais il n'en est plus de même si l'on y fait entrer, au lieu des primes dérivées des annuités, les primes des tarifs qui en diffèrent souvent. A cet égard, nous devons nous reporter au mode de formation des tarifs, qui, en France, sont au nombre de trois, comme nous l'avons dit; nous les examinerons séparément, en commençant par le tarif G.

Dans le tarife, les primes sont égales aux primes dérivées des annuités, c'est-à-dire aux primes pures, augmentées d'un chargement. Si, dansla formule (161), on introduit les primes chargées au lieu des primes pures, on augmente les deux termes, mais d'une manière très-inégale. On augmente le premier terme, qui représente l'engagement de la Compagnie, du bénéfice que celle-ci se réserve sur une assurance à priine unique; et l'on augmente le deuxième terme, qui représente l'engagement de l'assuré, d'une quantité qui dépend entièrement du mode particulier de chargement adopté. Comme on

le reconnaîtra facilement en combinant les relations (80), (96) et (i(3i), si le chargement des primes annuelles était uniquement proportionnel [voirn" 196), le résultat final serait d'obtenir une réserve trop grande; si le chargement était uniquement fixe, le résultat serait au contraire une réserve trop faible. Le chargement du tarif C étant composé d'une partie proportionnelle et d'une partie fixe, mais l'influence de la première l'emportant toujours sur la deuxième, la substitution des primes de ce tarif aux primes pures r iduit dans tous les cas à une réserve trop forte. Ainsi, dans l'exemple qui nous a déjà servi, 3o ans à la date de l'assurance et 10 années écoulées, la formule (161) donne avec les primes du tarife

0,4400 (i— ^)=o,ii97,

tandis que la réserve normale, calculée au moyen des primes pures, était seulement o,i 1 01.

Il est à peine besoin de dire que l'on ne ferait pas un calcul sérieux si l'on ne traitait pas les deux termes de la formule (161) de la même manière, c'est-à-dire si l'on calculait l'un avec les primes pures et l'autre avec les primes chargées. Si l'on calculait le premier ternie P^^,,, qui représente l'engagement de la Compagnie, au moyen de la prime unique pure, et le deuxième terme, qui représente l'engagement de l'assuré, au moyen de la prime annuelle chargée, on arriverait à retrancher de la réserve normale le produit du chargement de la prime annuelle par l'annuité, c'est-à-dire toute la somme qui est destinée, pendant tout le cours de la police dont on s'occupe, à payer les frais généraux et à constituer le bénéfice. Or, comme l'établissement de la réserve a précisément pour but de ventiler les bénéfices acquis et disponibles, pour les séparer de ceux qui doivent être laissés dans les éventualités à venir, on arriverait par ce mode de calcu^ à considérer, dès le commencement d'une assurance contractée, comme bénéfices acquis et disponibles : 1° des sommes qui ne formeront jamais des bénéfices, puisqu'elles sont destinées à

payer des frais généraux; a° des bénéfices qui ne prendront peut-être jamais naissance, puisque les primes a venir peuvent ne pas être payées, et qui en tous cas ne sont pas encore acquis et n'appartiennent qu'à l'avenir. Si l'on adoptait ce mode de calcul, les bénéfices attribués au présent seraient donc trop considérables et la réserve trop faible. Ainsi, dans l'exemple ci-dessus, la réserve calculée de cette manière ressortirait, en employant le tarif C, à

Cette réserve est donc beaucoup plus faible que celle qui résulte du calcul réel; elle serait même négative pendant les premières années : ainsi, après cinq ans d'assurance seulement, l'engagement de la Compagnie a pour valeur o, 3385, et celui de l'iissuré, dont la valeur, justement calculée, n'est que de 0,2872, acquerrait une valeur tout à fait fictive de 0,3434, si l'on y faisait entrer les produits que donnera le chargement de la prime pendant toute la durée a venir de l'assurance.

D'un autre côté, si l'on prenait au contraire, pour le premier terme Va+n de la formule, la prime unique chargée, et qu'on calculât le second au moyen de la prime annuelle pure, cela reviendrait à ajouter a la réserve ïiormale de chaque police une somme relativement très-importante. La Compagnie semblerait alors être en perte sur chaque police pendant presque toute la durée de celle-ci, et il n'y aurait de bénéfices disponibles qu'au fur et à mesure des décès, ce qui constituerait un système aussi impraticable que le précédent.

Dans le tarif A, les primes sont chargées, par le fait de l'adoption d'une table de mortalité trop rapide, de quantités variables; et il est impossible de savoir a priori si les piimes du tarif cond'iiront à une réserve trop forte ou trop faible, c'est-à-dire plus forte ou plus faible que la réserve normale. En tous cas, avant de comparer les résultats obtenus, il faut se rappeler que dans ce tarif les primes se rapportent au cas

(lu payement du cnpital assuré au commencement de l'année; il faudra donc, pour obtenir un résultat comparable, diviser par I H- ^ le résultat fourni par la formule (i6i). Le seul moyen de se rendre compte des résulîats auxquels conduit cette méthode de calcul est de faire un certain nombre d'exemples numériques et de les comparer aux chiffres donnés par la réserve normale pour les mêmes âges. Celte comparaison, qui se trouve mise en évidence dans un tableau placé à la fin de l'Ouvrage, montre que la réserve ainsi calculée est plus faible tant que l'assuré n'est pas arrivé à l'âge de 60 ans environ, et qu'au delà elle devient plus forte. Le maximum de la différence entre les deux réserves a lieu lorsque l'assuré atteint l'âge de 76 ans environ; au delà, la réserve calculée d'après le tarif A se rapproche de la réserve normale, et elle lui devic it de nouveau inférieure pour les âges supérieurs à 85 ans.

Dans le tarif B, les primes srnt également chargées de quanliîés variables; et, comme les primes uniques et annuelles sont toutes inférieures de 10 pour 100 à celles du tarif A, la formule (161) prouve que la réserve calculée d'après le tarif B sera elle-même inférieure de 10 pour 100 à celle que donne le calcul fait d'après le tarif A; elle se trouve toujours inférieure à la réserve normale, calculée d'après les primes pures.

247. Sélection médicale. — En calculant au n° 242 la réserve normale pour une police faite à primes viagères constantes, nous avons trouvé pour sa valeur

Cette valeur est établie en supposant que l'assuré, après n années écoulées, est encore soumis à la même loi de mortalité que lorsqu'il a contracté son assurance, c'est-à-dire que la môme Table de mortalité lui est applicable; mais il n'en est pas tout à fait ainsi dans la pratique desassuranccs sur la vie.

Nous avons expliqué aux n"* 90 et 1 17 que la sélection médicale avait pour effet de diminuer notablement la mortalité des assurés pendant les premières années, mais que l'influence favorable de cette sélection pouvait être considérée comme disparue après 5 ans d'assurance. Aussi la Société des Actuaires anglais a-t-elle fait dresser, indépendamment des Tables H", H^'et H^'^ une Table de mortalité spéciale, désignée sous le nom deH"''^ et dans laquelle on ne lient pas compte des personnes qui sont assurées depuis moins de 5 ans. La mortalité est naturellement plus rapide que dans les autres, et les annuités y sont plus faibles.

Si l'on veut calculer la réserve pour une police qui date de plus de 5 ans, et en tenant compte de cette circonstance, les formules du n° 242 ne sont plus applicables, et il faut les modifier comme il suit. L'engagement de la Compagnie a la même valeur Va^^; mais l'engagement de l'assuré n'a plus pour valeur que/->„ (i -h X',^.„), X' désignant l'annuité calculée d'après la Table H'''"^^ de sorte que la réserve aura pour valeur

ib5 ,y„=i

valeur supérieure à celle de la formule (i63).

Exemple. — Dans l'exemple ci-dessus, où «=- 3o et /i — lo, l'annuité X'^,^ est égale à i4953, et la réserve V aura pour

valeur

soit I20I francs pour un capital assuré de loooo francs, au lieu de iioi francs, résultat obtenu sans tenir compte de la sélection médicale.

Payement à primes temporaires.

248. Quand l'assurance est contractée moyennant un payement à primes temporaires, la réserve se calcule d'après le

même principe ; elle doit toujours être égale à la diflérence entre les valeurs de l'engagement de la Compagnie et de l'engagement de l'assuré.

Si l'assuré a contracté à l'âge «, moyennant des primes payables pendant m années, et qu'il se soit écoulé /i années depuis l'assurance, l'engagement de la Compagnie a pour

valeur ?«+„ ou — — y^'- Quant à l'engagement de l'assuré, il

consiste dans le payement de m — n primes égales à ,„p«, c'est-à-

dire à ^^5 il a donc pour valeur

La réserve V est égale à la différence de ces deux valeurs 166] V(i-t-n=X„+„-(i-iX/ •+"'-«-' ^''+"

Nous avons supposé, dans ce calcul, que le capital était payable en fin d'année; s'il était payable au commencement de l'année, la valeur donnée ci-dessus pour V(n-^) serait celle de V.

Exemple. —On a assuré un capital de 10000 francs sur une tète de 3o ans, au moyen de primes payables pendant 20 années; on demande quelle est la réserve normale après 10 années écoulées, et 10 primes payées.

Il faut, dans la formule (166), introduire les annuités calculées d'après la Table anglaise, et faire a = 3o,7/z — 20 et n= 10. On obtient alors

V(l + /) = I — /X«— (l — ^Xso; Y

= 1 — itx i5,i35 — (i — IX 17, i3i^ d'où

soit 193G francs pour loooo francs de capital assuré.

Quand une assurance est contractée à primes temporaires, on peut encore en calculer la réserve d'une autre manière, que nous indiquons sur le même exemple.

La prime payable pendant 20 années est de aSi francs, tandis que la prime viagère ordinaire était seulement de 167 francs: la différence, 64 francs, doit être considérée comme une prime, payée sur la tète de l'assuré depuis l'âge de 3o ans, pour lui constituer en 10 années un certain capital différé; ce capital différé s'ajoutera à la réserve ordinaire pour former la réserve totale cherchée. Or la prime annuelle du capital différé est, d'après le n° 227, en employant la Table H^^ et tenant compte du payement en fin d'année,

i,o4(N3o — N40) i,o4X2i5255 par conséquent le capital différé en question ressort a

3^ - Q^rr..

En conséquence, la réserve totale doit être égale à iioi plus 835, soit 1936 francs, résultat qui concorde avec celui que l'on a obtenu directement.

Si l'on calculait cette même réserve avec la Table de Duvillard, et en supposant le capital payable au commencement de l'année, la formule (166) donnerait, non la valeur de \{i + t), mais celle de Y, qui serait alors

^ or ' . r 1^6,758 ^ ■

\ = I — / X 1020D— II — O<«i),o2i ^-— = 0,21005

' i + i I ,oo:J ^

soit 2169 francs pour loooo francs de capital assuré. La réserve serait donc ici plus forte que la réserve normale, ce qui tient à ce que ce mode de payement se rapproche déjà du payement à prime unique. Or, dans ce dernier mode, c'est la valeur de l'engagement de la Compagnie qui constitue à elle seule la réserve, et cette valeur se trouve estimée trop haut, par l'adoption d'une Table de mortalité plus rapide que la réalité, comme l'est celle de Duvillard.

24-9. La formule (i66) ne fait entrer en ligne de compte, pour le calcul de la réserve, que les annuités, et non les primes de l'un ou de l'autre tarif; c'est celle qui correspond à la formule (i63), établie pour le payement à primes constantes. On peut également mettre la valeur de la réserve sous une forme correspondant à celle de la formule (i6i ), c'est-àdire l'exprimer en fonction des primes; il suffit pour cela de remplacer les annuités par leurs valeurs tirées de la formule (97), et l'on obtient

llPa+u

On peut alors calculer la réserve en se servant, soit des primes pures, soit des primes des tarifs. Si, par exemple, on applique le tarif A, la formule (167) donne pour la réserve, dans l'exemple ci-dessus,

valeur qui serait identique à celle de tout à l'beure si les tarifs publiés étaient calculés avec autant de décimales que les annuités.

Payement à primes variables,

250. Exemple. — Un capital de 10 000 francs a été assuré sur une tète de 32 ans, au moyen de primes croissantes, augmentant de I de leur valeur primitive, par périodes de 5 ans, comme dans l'exemple du n° 196. On demande quelle est la réserve après la première période de 5 ans.

La prime annuelle pure a payer pendant la première période est de 128 francs. La prime annuelle de l'assurance temporaire de 5 années serait seulement 82 francs [voir n" 202); il y a donc un excédant de 46 francs par an, qui doit avoir été consacré à la formation de la réserve. Cette somme doit être considérée comme la prime annuelle d'un capital différé, assuré pour la durée de 5 ans sur une têle de

32 ans; d'après le n° 227, ce capital ressort, après les 5 ans écoulés, à 254 francs : telle doit être la réserve à cette même époque.

Réserves «les assurances pour la vie entière sur deux têtes.

Payement à prime imiqiie.

251. Lorsqu'une assurance pour la vie entière sur deux têtes a été contractée aux âgesaet h moyennant le payementd'une prime unique, et qu'il s'est écoulé n années, la réserve normale est égale à ?„+„,/,+„, c'est-à-dire à

Exemple. — Si les assui'cs étaient âgés, au moment de l'assurance, de 3o et de 4o ans, la réserve après 1 5 ans écoulés

est égale à

f — =o,ooo5.

Payem.ent à primes annuelles.

252. Quand l'assurance sur deux têtes est faite, comme cela arrive toujours en pratique, moyennant le payement de primes annuelles, la réserve normale se calcule comme dans l'assurance sur une seule tête (n° 242). L'engagement de la Compagnie a pour valeur P^+„^,+„, et celui de l'assuré a pour valeur

La réserve est donc

(168) «Va.i = P«+„,i^-« — P.,.b[ï -H X„H.„,i+, .

Comme dans les cas d'une seule tète, elle peut encore se

mettre sous les formes suivantes :

V Pu+u, b+,. I l-hXa.b 1 + X„, A

Exemple. — Dans l'exemple précédent, la réserve après i5 ans écoulés, dans le cas du payement a primes annuelles, est par conséquent

Toutes les remarques faites au sujet de la réserve, dans les assurances pour la vie entière sur une seule tête, subsistent pour les assurances sur deux têtes.

Les assurances sur deux têtes au dernier décès donnent également lieu à des calculs analogues et à des remarques identiques. 11 en est de même des assurances sur plus de deux têtes.

Payement à prime unique.

253. Lorsqu'une assurance temporaire d'une durée de m, années a été contractée a l'âge a, moyennant le payement d'une prime unique, et qu'il s'est déjà écoulé n années, l'engagement de la Compagnie est représenté par la prime unique (pure) d'une assurance semblable, faite à l'âge de « 4- /i pour la durée m — /«, c'est-à-dire d'après la formule (117), par

r.i—n r a+n * a+n * ii+m \la + n . ■.

La Compagnie n'ayant plus rien à recevoir de l'assuré, cette valeur est précisément celle de la réserve; elle devient nulle quand n = m, c'est-à-dire au terme de l'assurance.

Payement à primes annuelles.

254. Après n années écoulées, rengagement de la Compagnie a la même valeur que ci-dessus; quant à l'engagement de l'assuré, il consiste dans le payement pendant un temps

771 — n d'une prime annuelle essaie à -^ "±"'>-^ (no 202), et

reposant sur une tête d'âge a-\- 7i\ par conséquent la réserve normale, que nous pouvons désigner par V, a pour valeui'

;' V ( temporaire ) ^- P„+„ — Pa+m Q« ~"

Exemple. — Une assurance temporaire de 10 ans de durée a été faile pour 10000 francs sur une tête âgée de 35 ans, soit à prime unique, soit à primes annuelles. On demande, dans l'un et l'autre cas, quelle est la réserve normale après 8 ans écoulés.

Il faut, dans les formules précédentes, faire a = 35, m = 10 et n = 8, ce qui donne pour la réserve

M4, — M,, 3i38qoo

lOOOO ; = 7— =T =^ 2li"'

si l'assurance a été faite à prime unique, et

si l'assurance a été faite à primes annuelles.

La réserve se calcule de la même manière dans l'assurance temporaire sur deux têtes.

Pour les opérations que nous avons appelées assumnces

cV annuités, remboursements d'annuités, etc., elle se calculera également en prenant la différence entre les valeurs de l'engagement de la Compagnie et de l'engagement de l'assuré.

ICéserves «les assiiraiices niixteis.

Payement à prime unique.

255. Quand une assurance mixte a été contractée à l'âge a, pour//2 années, moyennant le payement d'une prime unique, et qu'il s'est déjà écoulé n années, l'engagement de la Compagnie est représenté par la prime unique (pure) d'une assurance mixte faite à l'âge « + /z pour une durée de m — n, que nous désignerons par m,,,^',,^,,, et qui a pour valeur

(170) «-«pU„ - p«+. - p.+«- Q «+;; + Q'";:;;-

La Compagnie n'ayant plus rien à recevoir de l'assuré, cette valeur est précisément celle de la réserve.

Les deux premiers termes représentent la réserve normale relative à l'assurance temporaire (n** 253) ; et le troisième terme représente la réserve relative à l'asiHirance de capitaux différés (n° 265). Ces deux opérations réunies forment en effet, comme on l'a vu au n" 209, l'équivalent d'une assurance mixte.

Cette réserve peut encore se mettre sous les deux formes suivantes :

{■70 TTT = iu::^

Payement à primes annuelles.

256. Lorsqu'une assurance mixte a été contractée à l'âge a pour m années, moyennant le payement de primes annuelles, et qu'il s'est écoulé ti années, l'engagement de la Compagnie a la même valeur que ci-dessus, formule (170). Quant à l'engagement de l'assuré, il consiste dans le payement, pendant

un temps m — n, d'une prime annuelle égale à celle de cette opération, prime que nous représenterons par ,„/?'„, et qui est (n°209)

nPa

ledit payement reposant sur une tète d'âge a -\- n. Par conséquent, la réserve normale que nous pouvons désigner par V est égale à

(172) y ( mixte ) = „,-„P'„+„ — ( I + ,„-H-^a+,?. „.]}'„.

Le premier terme représente la valeur actuelle de l'engagement de la Compagnie, ou du capital, et le second terme la valeur actuelle de l'engagement de l'assuré, c'est-à-dire des primes.

Cette réserve peut encore se mettre sous les formes suivantes :

i V ( iH- /) = I - / (X„+„- x::'^;;) + /Q--;;

OU bien