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Si l'assurance a été faite à primes annuelles, la réserve est donnée parla formule (172) :

Elle peut encore se calculer par la formule (174)» fiui donne

JVI42 M.so + t'sn I pp. , ,-^ ,,. ,-, IN^i — lN«n fo f

soit 4875 francs pour 10 000 francs de capital assuré.

Comme le montre cette application numérique, nous pouvons répéter au sujet des assurances mixtes ce que nous disions au n° 2i5 au sujet des assurances pour la vie entière. On peut calculer la réserve, soit par les formules (i 78 ) et ( 1 74), c'est-à-dire en fonction des annuités, soit par la formule (172), c'est-à-dire en fonction des primes. Les deux modes de calcul donnent des résultats identiques si les primes que l'on fait entrer dans la formule (172) sont bien celles qui dérivent directement des annuités par la formule (127); mais il n'en est plus de même si l'on y fait entrer, au lieu des primes dérivées des annuités, les primes des tarifs, qui en diffèrent souvent.

Reportons-nous à cet égard au mode de formation des tarifs.

Dans le tarif C, les primes sont égales aux primes dérivées des annuités, c'est-à-dire aux primes pures, augmentées d'un chargement. Si dans la formule (172) on introduit les primes de ce tarif, au lieu des primes pures, on augmente les deux termes, mais d'une manière inégale. On augmente le premier terme du bénéfice que la Compagnie se réserve sur une assurance à prime unique, et l'on augmente le second terme du chargement de la prime annuelle, multiplié par l'annuité temporaire. Dans l'exemple choisi, la réserve ressort alors à

0,7918 — 0,043 1 X 6,738 = o,5oi4.

Elle est donc un peu plus élevée que celle qui résulterait des primes pures, et qui était 0,4870.

Dans le tarif A, les primes sont augmentées d'un premier chargement dû a l'adoption d'une Table de mortalité trop rapide et d'un second chargement égal à lo pour loo de leur valeur (n° 209]. Si l'on introduit les primes de ce tarif dans la formule (172), on trouve pour la réserve, dans le même exemple,

Cette réserve est donc plus élevée que la réserve normale. Enfin le tarif B conduit à une réserve inférieure de 10 p. 100 à la précédente, savoir :

ce qui est inférieur à la réserve normale.

Il en est, en général, ainsi : la réserve calculée d'après le tarife, et surtout d'après le tarif A, est trop forte; calculée d'après le tarif B, elle est trop faible.

On peut en conclure, comme pour la vie entière, qu'il y a deux méthodes pour calculer exactement les réserves des assurances mixtes : ou bien employer la formule (173) ou bien employer la formule (172), en y faisant entrer les primes pures. La troisième méthode, qui consiste à appliquer la formule (172) avec les primes de tel ou tel tarif, est défectueuse, et conduit à une réserve trop forte ou trop faible suivant le tarif choisi. ,

257. Dans une assurance mixte, l'importance de la réserve normale dépend, comme on le voit, de trois éléments : l'âge la durée de l'assurance et le temps écoulé. Les deux derniers éléments, la durée et le temps écoulé, ont une grande iniluence sur le montant de la réserve : l'âge au contraire en a très-peu, ce qui tient à ce que la réserve d'une assurance mixte est égale à celle d'une assurance temporaire, plus celle d'un capital différé. Quand l'âge d'entrée augmente, la réserve de l'assurance temporaire, pour une même durée et un même temps écoulé, augmente également, tandis que la ré- III. 3

serve du capital différé diminue; leur somme éprouve peu de changements, dans les limites restreintes où se renferme toujours, en pratique, l'âge d'entrée pour une assurance mixte. Ainsi, si, dans l'exemple précédemment traité, on conserve la durée de 20 ans, et le temps écoulé de 12 années, mais que l'on fixe l'âge d'entrée à 45 ans au lieu de 3o, on trouvera que la réserve nouvelle s'élève, à prime unique, à 7541 francs au lieu de 741 5; et à primes annuelles, à 4Bi() francs au lieu de 4875. Les différences relatives sont peu importantes.

Lorsque l'inventaire d'une Compagnie est établi, et que la réserve doit être calculée au 3i décembre d'une année, alors que les contrats sont en cours depuis un nombre fractionnaire d'années, il faut tenir compte, comme pour l'assurance sur la vie entière, d'une correction relative à l'échéance des primes. Celte correction n'est pas égale à une demi-prime, parce que l'assurance a une durée limitée, et doit donner lieu

à un dernier payement qui s'effectuera lui-même au milieu

f\"' — " d'une année; on doit fixer sa valeur à p ^^^^S quantité

qui redeviendrait bien égale à- si m était très-grand, et si

l'assurance embrassait toute la durée de la vie. Ainsi, dans l'exemple choisi au n^ 256, la correction ressort à

ce qui porte la réserve au moment de l'inventaire à 4939 francs au lieu de 4875.

258. Sélection médicale. — Si l'on voulait tenir compte de la sélection médicale, il suffirait, dans le numérateur de la dernière fraction de la formule (173), de remplacer X, annuité ordinaire calculée d'après la Table H", par X', annuité calculée d'après la Table H'*''^^ Mais cela n'est pas nécessaire en pratique pour les assurances mixtes : 1° parce que, dans

ces assurances, il y a très-peu de résiliations, ce qui ne donne pas de prise a l'antisélectiou naturelle; 2° parce que, ces assurances étant faites pour une durée limitée, la diminution de l'annuité à un âge donné a peu d'influence sur la valeur totale des primes qui restent à payer depuis cet âge jusqu'à l'échéance du payement, et par conséquent sur la réserve : cette influence est d'autant plus faible qu'on se trouve plus rapproché de l'échéance.

Réserves «Ses assurauces à tersite fixe.

Payement à prime unique.

259. Quand une assurance à terme fixe a été contractée pour m années à l'âge a, on sait (n'' 208) que, si le payement a lieu à prime unique, l'importance de ce payement ne dépend pas de l'âge, mais seulement de la durée, et que celui-ci

est égal à -y^,- Après n années écoulées, la valeur de l'en-

gagement de la Com|)agnie est- -r — ; et, comme celle-ci

n'a plus rien à recevoir de l'assuré, cette valeur est également celle de la réserve.

Payement à primes annuelles.

260. Après /^ années écoulées, l'engagement de la Compagnie a la même valeur que ci-dessus; quant à l'engagement de l'assuré, il consiste dans le payement, pendant un temps m — n, d'une prime annuelle égale à

et reposant sur une tête d'âge«^-/^; par conséquent la réserve normale, que nous désignerons encore par V, a pour valeur

(175) V(iermefixe) = , — -" , — i i4-.-„-,X„^,^

Cette valeur se réduit encore à i lorsque ti devient égal à m.

Comme pour l'assurance mixte, il suffirait, pour tenir compte de la sélection médicale, de remplacer X par X' dans le numérateur de la dernière fraction.

Dans une assurance à terme fixe, l'âge à l'entrée a encore beaucoup moins d'influence sur le montant de la réserve que dans une assurance mixte, ainsi que le prouvent lesdeux exemples suivants.

Premier exemple. — Un homme, âgé de 3o ans, a contracté une assurance à terme fixe de loooo francs pour une durée de 20 années, soit à prime unique, soit à primes annuelles. On demande quelle est la réserve normale, après 8 années écoulées.

Il faut, dans les formules précédentes, faire «= 3o,7/z= 20, /z — \i, ce qui donne pour la réserve 7307 francs si l'assurance a été contractée à prime unique, et 49^5 francs si elle a été contractée a primes annuelles.

Deuxième exemple. — Même question, en supposant que l'âge à l'entrée est de 45 ans au lieu de 3o ans.

La réserve à prime unique est exactement la même, 7307 francs, et l'on trouve pour la réserve à primes annuelles 4941 francs, cliifî're à peine diff^érent du précédent.

On remarquera de plusque, si deux assurances, l'une mixte, l'autre à terme fixe, ont été contractées au même âge (cette première condition n'est pas indispensable), et pour la même durée, la réserve normale, après un même nombre d'années écoulé, est sensiblement la même pour l'une et pour l'autre. On en conclut que, lorsqu'une Compagnie calcule ses réserves d'assurances mixtes et d'assurances a terme fixe suivant le système que nous avons indiqué, en adoptant l'âge moyen de 3o ans et en tenant compte seulement de deux éléments, la durée et le temps écoulé, elle peut réunir les deux catégories d'opérations et calculer les réserves sur l'ensemble, le taux de la réserve normale étant sensiblement le même pour l'une

et pour l'autre. La correction relative à l'échéance des primes doitelle-même s'appliquer aux assurancesà terme fixe comme aux assurances mixtes : cette correction est représentée par

p ^li^-, la prime annuelle étant/?.

Réserves des assurances de survie.