THEORIE DES ECARTS

22. Nous avons vu que, lorsqu'on fait un certain nombre 5 d'épreuves répétées, le nombre de fois qu'un événement E, dont la probabilité est/? à chaque épreuve, a le plus de chances de se présenter est égal h sp ou au plus grand nombre entier contenu dans sp. Nous avons calculé également quelle probabilité il y avait d'obtenir un nombre d'arrivées quelconque, plus ou moins différent de sp. Plus ce nombre diffère de sp, et plus sa probabilité est faible ; chaque différence positive ou négative, de part et d'autre de sp, a sa probabilité qui lui est propre.

On peut supposer que chaque épreuve donne lieu à un pari pour et contre l'arrivée de l'événement E, et, pour que le pari soit équitable, il faut que les enjeux pour et contre l'événement soient fixés dans la proportion des probabilités, c'està-dire que l'on paye/? chaque fois que l'événement ne se présente pas, et que l'on reçoive q chaque fois qu'il se présente. Si l'événement se présente précisément/? fois, on aura payé et reçu spq, et aucun des joueurs ne sera en perte ni en bénéfice.

L'événement ne pourra se présenter précisément 5/? fois que si sp est un nombre entier; dans le cas contraire, il y aura toujours une perte ou un bénéfice. Si l'on désigne par a le plus grand entier contenu dans [s-\-i) p, a sera le nombre d'arrivées pour lequel la différence sera la plus faible. Le joueur qui a parié pour l'arrivée de l'événement aura reçu aq et aura payé {s — a.) p = sp — oc-h aq. Sa perte sera donc de sp — a.

23. Si E se présente a + / fois, le joueur A qui a parié pour son arrivée aura reçu {a-}-l)q et aura payé {s — a — l)p : il aura donc gagné a-hl — sp. Si l'on représente par Vi la probabilité que cette différence -f- / se présentera, le joueur A a une probabilité P^ de réaliser ainsi un bénéfice de oc-hl — sp; il pourrait, avant de commencer la série des s épreuves, acheter ce bénéfice éventuel pour sa valeur mathématique, qui est (a-f-/ — 5/j)P/. Il pourrait faire de même pour toutes les différences possibles, c'est-à-dire pour toutes les valeurs de / qui sont tous les nombres entiers positifs compris entre zéro et s — a, et tous les nombres entiers négatifs compris entre zéro et — a. Il aurait ainsi à recevoir d'avance, pour l'éventualité de toutes les différences positives, une somme

{a -h l — sp)P/,

et à payer, pour l'éventualité de toutes les différences néga-

tives, une somme \ (a-h / — sp)Vi. Ces deux sommes sont

égales, et le joueur A qui céderait ainsi d'avance toutes ses chances, bonnes et mauvaises, ne serait ni en perte ni en bénéfice.

24. Nous nommerons écart la perte ou le gain réalisé par le joueur A sur chaque série de s épreuves, c'est-à-dire la quantité a-hl—sp, l étant la différence entre le nombre d'arrivées réel et le nombre normal a. Nous nommerons de même écart moyen e la somme pour laquelle, avant de commencer chaque série de s épreuves, on pourrait acheter à leur valeur soit le gain, soit la perte que l'on peut réaliser par suite de tous les écarts possibles, c'est-à-dire que nous poserons

25. Proposons-nous de cbercber une formule simple donnant la valeur de e.

Les s épreuves que l'on effectue peuvent donner s -+- i combinaisons plus ou moins probables, suivant qu'elles contiendront o, I, 2,... ou ^ arrivées. Si l'on appelle a le plus grand

multiple de -contenu dans s, c'est-à-dire si l'on pose

. s= - ce -h s,

£ étant < -•> toutes les épreuves qui ne contiendront pas au

moins a -h i arrivées donneront de la perte, perte qui ne peut

se réduire à zéro que si s est un multiple exact de-- La com-

binaison qui contient a arrivées de l'événement et ^ — «arrivées de l'événement contraire donnera lieu à un gain de a.q et à une perte de [s — a) p. La probabilité que cette combinaison se présentera est

On peut donc, avant de commencer l'épreuve, fixer la valeur éventuelle du résultat produit par cette combinaison à

s. . s — a. -\- i s. . . s — aH-i , ,

l ... ce ^ l ... Ci

De même, on peut fixer la valeur éventuelle du résultat produit par la combinaison correspondant à a — i arrivées à

p''-'q'-''+Ucc~- \]q — n'^-'fl^-^+'f^ — a + i)o,

et la valeur éventuelle correspondant à a — 2 arrivées à

S...S — CX. — 1 s...s — a.~\ , ^„, ,

i...a — 2^ ^ ' ^ i ...oc — 2^ ^ ^^

etc

Si l'on ajoute toutes ces valeurs, on aura la valeur éventuelle de l'ensemble de la perte, c'est-à-dire ce que nous avons nommé Vécart jnojen.

Or on remarquera de suite que cette addition est extrêmement simple; car le terme positif de la première valeur est identique au terme négatif de la deuxième, quels que soient p, q, s et a; le terme positif de la deuxième est identique au terme négatif de la troisième, et ainsi de suite. La dernière valeur se réduirait à un terme positif nul et à un terme négatif annulant le terme positif de l'avant-dernière, de sorte que le résultat définitif de l'addition de toutes ces valeurs se réduira au terme négatif de la première, soit à une perte de

en valeur absolue.

26. Dans les questions que l'on peut avoir à résoudre dans la pratique, on fait toujours assez d'épreuves pour que l'événement attendu se présente un grand nombre de fois, c'est-àdire que s contient toujours un grand nombre de fois --On peut alors, dans la valeur de s = - a -i- s, négliger s qui est plus petit que -? par rapport à - a, ce qui revient à supposer que s est un multiple exact de-- Ainsi, si l'événement attendu a une probabilité d'environ — , comme dans les ques-

* lOO ^

lions de mortalité, on peut supposer que le nombre des épreuves, ou le nombre de têtes sur lequel on opère, est un multiple de 5o, l'écart moyen que l'on obtiendrait pour une autre valeur de s ne différant nullement de l'écart moyen relatif au multiple de 5o le plus rapprocbé. La formule (12)

ci-dessus se simplifie alors beaucoup. En posant s = - oc ou a = sp et s — a = sq, elle devient

es= — ^ p'iq'Pspq,

i . . . sp ' ^ ' '

et, en évaluant le numérateur et le dénominateur par la for-

mule de Stirling, elle se réduit à (i3) es=-z=^spq,

OU, avec une approximation plus que suffisante dans la pratique,

(i4) e, = o4o\Jspq,

27. D'après le n'* 22, cette formule est établie en supposant que l'on paye g chaque fois que l'événement arrive, et que l'on reçoit /> chaque fois qu'il n'arrive pas. Or il revient au môme de payer i chaquefois que l'événement arrive, et de recevoir/? à chaque épreuve, soit en tout sp, ou encore de payer simplement I pour chaque arrivée dépassant le nombre de sp. Ainsi l'écart probable donné par la formule (i4) représente également la valeur, prise avant de commencer les épreuves, de tous les écarts en plus qui peuvent se présenter, chacun d'eux étant compté pour le nombre d'unités dont il dépasse le nombre normal d'arrivées sp. Il représente aussi la valeur de tous les écarts en moins qui peuvent se présenter, chacun étant compté pour le nombre d'unités dont il est inférieur à sq.

Si l'on voulait racheter à la fois les écarts en plus et les écarts en moins qui peuvent se produire, il faudrait, avant de commencer les épreuves, payer une somme 26^, c'est-à-dire que, si l'on veut compter chaque écart en plus ou en moins, de part et d'autre du nombre normal sp, pour autant d'unités qu'il en contient, la valeur probable du nombre ainsi obtenu est, avant de commencer les épreuves,

(i5) les =^ o,So \/spq.

28. En d'autres termes, quand on fait un grand nombre d'observations d'un événement de pur hasard, dont la probabilité d'arrivée est constante a chaque épreuve et égale â p, que l'on n'a rien à payer ni a recevoir à chaque arrivée, mais

qu'on se propose simplement d'observer le nombre d'arrivées a sur une série de s épreuves, la formule ( 1 4 ) indique encore la valeur moyenne de l'écart a — sp en plus. La valeur de l'écart en moins sp — a serait la même, de sorte que si l'on voulait avoir la valeur moyenne de l'écart, soit en plus, soit en moins, il faudrait prendre (i5)

Q.es = o,So\i/spq.

Ainsi quand un événement, ayant une probabilité p, est soumis a s épreuves répétées, le nombre d'arrivées le plus probable est bien sp; mais cependant ce nombre d'arrivées sp n'est jamais celui que l'on observera: il y aura toujours un certain écart. Il est impossible d'en prévoir le sens, mais on peut en déterminer la quotité : c'est la valeur de e^ indiquée ci-dessus. Si l'on fait plusieurs séries de s épreuves, et qu'on prenne à la fois la moyenne, en valeur absolue, de tous les écarts obtenus, on trouvera toujours que celte moyenne est à peu près égale à e^. Il serait contraire à la nature des cboses de trouver a la fin des épreuves un écart moyen beaucoup plus grand que e^, et il serait tout aussi contraire à la nature de trouver que les écarts se sont compensés et que l'on arrive à un écart moyen égal à zéro, ou seulement beaucoup plus faible que es. Ainsi, pour emprunter une comparaison à la Mécanique, le nombre d'arrivées le plus probable sp est une sorte d'axe, autour duquel oscillent les nombres d'arrivées qui se produisent réellement dans la pratique. Ces oscillations se produisent dans les deux sens, et, quand on fait une série d'épreuves, on ne sait jamais si l'oscillation aura lieu à droite ou à gaucbe; mais il faut qu'il y en ait une. Bien plus, il faut que toutes ces oscillations aient en définitive une amplitude moyenne égale à e^. N'y a-t-il pas une barmonie admirable dans ces lois du hasard? Des oscillations nulles, ce serait la mort; des oscillations exagérées, ce serait le désordre. On retrouve ici ce qu'on admire à chaque pas dans la nature, l'ordre et l'harmonie dans la variété.

29. L'examen de la formule générale (r4) donne lieu aux remarques suivantes :

1° Pour un même événement, p et q restant constants, l'écart moven augmente comme la racine carrée du nombre des épreuves. Ainsi, si » = — , âr = -^, comme dans les

l ^ lOO ^ lOO

questions de mortalité, on a

e, = o,4o )119^ . S ^ o,o56 fs,

lOO

soit, pour s= looo épreuves,

c'est-a-dire que, sur looo épreuves, il doit y avoir 20 arrivées de l'événement, que la valeur de toutes les arrivées qui peuvent excéder le nombre de 20 est de 1,77, et que la valeur de l'écart qui peut se produire, en plus ou en moins sur le nombre 20, est 26^ ou 3,54- De même, pour s ■= 10000,

pour s = rooooo,

2° Pour un même nombre s d'épreuves, s'il s'agit successivement d'événements divers dont les probabilités/? sont différentes, comme/? -+- q est toujours égal à 1, le produit p^', et par conséquent aussi e^, est d'autant plus grand que p et q sont plus rapprochés l'un de l'autre.

Ainsi, pour loooo épreuves, quand il s'agissait d'un événement ayant une probabilité —^1 l'écart moyen était 5, 60.

S'il s'agit d'un autre événement ayant une probabilité — ? la valeur de e devient

e = 0,40 — ^ V loooo =: 12.

Le maximum de l'écart moyen correspond au cas où

p = q = ^\\\est égal, pour 10000 épreuves, a 0,40 — =20.

3° On peut encore supposer qu'on fait \arier le nombre d'épreuves en raison inverse de la probabilité d'arrivée, c'està-dire qu'on fait toujours le nombre d'épreuves nécessaire pour amener en moyenne l'événement un même nombre de fois. C'est alors sp ou a qui est constant, et l'écart moyen

prend la valeur -=r y/a y^ : il varie donc comme la racine

carrée de la probabilité contraire à l'arrivée de l'événement, c'est-à-dire qu'il devient d'autant plus grand que l'événement est plus improbable. Ainsi, en faisant le nombre d'épreuves nécessaire pour amener en moyenne a= loo arrivées de l'événement, on obtient les résultats suivants :

abilitc de

Nomb

ire d'épreuves.

Écarl moyen,

lOCO

lOOOO

30. Dans le cas particulier où l'événement a à cbaque épreuve une probabilité - de se présenter, il faut faire

p — q = -, ei l'écart moyen a pour valeur

V27r V 4 ybrr *

OU à très-peu près

S'il s'agissait de la valeur des écarts en plus ou en moins, considérés en valeur absolue, il faudrait prendre, comme on l'a vu au n° 27,