Dans ce cas particulier oh p est égal à -5 on peut

trouver directement d'une autre manière la valeur de l'écart moyen. Pour cela, il faut étudier comment elle se forme pour trois valeurs consécutives de s, que nous supposerons égales, par exemple, à 7, 8 et g.

Quand on fait 7 épreuves, les seules combinaisons donnant de la perte seront celles qui ne comprennent que 3, 2, i, ou o arrivées de l'événement attendu. Les pertes sont représentées respectivement, dans ces quatre cas, par i, 3, 5 et 7. Les probabilités de ces combinaisons sont respectivement

i-, —^-.,--Gl-'

L'écart moyen est donc

On aura de même

Or, si l'on désigne pour un instant les coefficients entre parenthèses par Mj, Mg, Mg, en posant

es= — Ma, 2^

on remarquera que

Ms=2M„

M3 = 2Ms-+-— = i2M„ 9 8

d'où l'on tirera

Ces égalités étant générales, et dérivant de la loi même de formation des coefficients du binôme, on a, d'une manière générale,

la. -\-\

Or, pour 5 = 1, la probabilité d'avoir une perte est-? et cette perte est alors -? puisque, d'après les données, on s'est engagé à payer/? (ici-) chaque fois que l'événement n'arrive pas, pour recevoir q (également-) chaque fois qu'il ar-

rive; par conséquente, = j-

De même

et l'on aura pour la valeur générale de e^, s étant pair ou impair, c'est-à-dire égal à 2a ou à 20: — i ,

On peut simplifier cette expression en la rapprochant de la formule de Wallis, qui donne

d'où l'on peut conclure, comme ci-dessus,

eja = e.a-i = es= — = s/2 a — I z= 0,20 s/ s.

s/Sn

32. On peut, au moyen de la formule (16), calculer les chances de gain que présente un jeu de hasard pratiqué d'une manière suivie.

En pratique, on joue toujours contre une banque, qui conserve à chaque coup un léger avantage sur le joueur, afin de se couvrir de ses frais et de recueillir un bénéfice de son industrie. Cet avantage est un véritable impôt proportionnel, qui grève chaque coup joué, et dont on peut se racheter par une assurance faite à part. Ainsi le trente et quarante à un quart de refait, tel qu'il se joue à Monaco, grève le joueur d'un impôt de 6^'',5o pour 1000 francs sur chaque coup joué : le joueur est donc dans la même position que s'il était affranchi du refait et jouait à chances égales, à la charge de payer à la banque, après le jeu fini, 6^',5o pour 1000 francs sur toutes les sommes qui ont été engagées.

Pour analyser la position du joueur, nous supposerons qu'il joue un certain nombre de coups s, en jouant à chaque fois une somme égale M. ( Le résultat définitif serait exactement le même si, au lieu déjouer des sommes égales, il jouait sur les divers coups des sommes différentes, croissant ou décroissant suivant une loi quelconque.) D'après la formule (16), l'écart moyen, pour s coups, est égal à o,2oM\!s, soit en plus, soit en moins, c'est-à-dire que le joueur pourrait, sans perte ni gain probable, céder, avant de commencer le jeu, toutes ses chances de gain pour la somme o,2oMv''^, ^t aussi toutes ses chances de perte pour la même somme. Si l'on désigne le refait, ou l'impôt proportionnel qui frappe chaque coup joué, par r, on aura à })ayer, pour s coups joués, perdus ou gagnés, une somme rsM, de sorte qu'en tenant compte du refait le joueur pourrait, avant de commencer le jeu, céder toutes ses chances de bénéfice pour

o,2oM^— r5M = Mv/Ko,2o— r^fs).

Si donc s est assez grand pour que r\/s soit égal à 0,20, c'està-dire SI s = -^ j5 le joueur pourrait équitablement céder

toutes ses chances de bénéfice pour une somme inférieure à celle que le refait doit lui enlever.

Si le nombre de coups à jouer est plus grand que -kt'

le joueur est dans une condition plus défavorable encore : il peut d'avance céder pour une perte tout l'écart moyen, même quand il devrait se produire en sa faveur.

Lorsque rest égal à o,ooG5, comme dans l'exemple ci-dessus, du jeu de trente et quarante de Monaco, le nombre de

coups -p-72' ^^^ ^^^^^ duquel il n'y a plus de bénéfice probable,

ressort à 1000. Il ne serait que de sSo s'il s'agissait du trente et quarante au demi-refait où l'avantage du banquier est double. A la roulette à deux zéros, où l'avantage du banquier

est de o,o5 sur chaque coup, le nombre de coups -^- calculé ci-dessus n'est que de 16.

Quant à la banque, sa position est aussi nette que celle du joueur: dès que le nombre de coups joués par elle (à des

mises supposées égales) dépasse ;^^> elle ne doit plus être

qu'en bénéfice, parce que le bénéfice qu'elle réalise sur les refaits dépasse l'écart moyen qui peut se produire sur les coups joués proprement dits, quand même cet écart se produirait dans le sens défavorable à la banque.

Une banque arrive promptement à jouer un nombre de

coups plus grand que-^^^ car, à chaque table de trente et

quarante, on joue environ 1 200 coups par jour et 432 000 coups par an. S'il y a en moyenne 2 tables de trente et quarante fonctionnant toute l'année, il se joue donc 864000 coups par an. En estimant l'ensemble des mises sur chaque coup à 5oo francs, l'écart moyen à la fm de l'année est représenté par la formule 0,20 x 500^*" x v'864ooo, ce qui donne seulement 98000 francs, tandis que le refait aura produit une

somme de rsM = o,oo65 x 8G4000 x 5oo = 2800000^'. Il est donc d'une importance minime pour la banque que les coups joués donnent en eux-mêmes du bénéfice ou de la perte : à la fin de l'année, cela fait à peine varier son bénéfice net de 98000 francs, c'est-à-dire de -^ de sa valeur, en plus ou en moins.

33. On peut appliquer la formule générale (i5) 2 e^ = o , 80 \fspq

à de nombreuses observations qui ont été faites sur des événements de pur hasard. Nous allons indiquer quelques résultats de ces applications.

Premier exemple. — Événement dont la probabilité p est —

à chaque épreuve.

Il a été fait 28800 épreuves, qui ont donné 2943 arrivées. L'écart est 63; l'écart le^ calculé par la formule est

0,80 lAsSoox ^ =4i, V 100

Si l'on groupe ces 28800 épreuves en G séries de 4800, on trouve les nombres d'arrivées suivants :

qui donnent pour écarts : <

Somme des écarts en valeur absolue 1 15

Moyenne » » 19

La formule donne

0,80 i/48oox -

Si on les groupe en 24 séries de 1200 épreuves, on trouve pour la somme des écarts i S6, et pour leur moyenne 7 : la for-

mule donne pour écart

Si on les groupe en 192 séries de i5o épreuves, on obtient pour le total des écarts en plus et en moins 629, pour leur

moyenne — ■- = 2,65.

La formule 2^^ donnait pour cette moyenne

o,bo i/ ■- =2,04.

La pratique donne donc des résultats qui concordent trèsexactement avec ceux que la formule pouvait faire prévoir.