Troisième EXEMPLE. — Evénement dont la probabilité

d arrivée est —

Sur 3200 épreuves, il y a eu 964 arrivées. L'écart est 4 : la

formule donnait

Si l'on divise ces épreuves en 4 séries de 800, on trouve pour la moyenne des écarts 5 : la formule donnait 10.

Si on les divise en 32 séries de loo, on trouve une moyenne d'écarts de 3 : la formule donnait 3,6.

36. Quatrième exemple. — Événement dont la probabilité d'arrivée est —

Sur 6oo épreuves, il y a eu 3o8 arrivées. L'écart est 8 : la formule donnait lo.

Si l'on divise ces épreuves en lo séries de 6o, on trouve pour la moyenne des écarts 2,8 : la formule donnait 3. Ainsi les résultats de la pratique correspondent parfaitement avec ceux de la formule (i4) ; mais il faut pour cela que révénement ait une probabilité constar'e à cbaque épreuve, car c'est cette supposition qui a servi de base à tous les raisonnements sur lesquels nous nous sommes appuyés.

Quand l'événement n'a pas la même probabilité à chaque épreuve, la formule de l'écart moyen ne peut pas s'appliquer, et l'on s'en aperçoit de suite, parce que les essais pratiques donnent des résultats qui sont plus ou moins différents des valeurs de E^.

37. Lorsqu'il ne s'agit que de raisonner sur les résultats d'épreuves déjà faites et que ces épreuves sont indépendantes les unes des autres, on peut toujours supposer que la probabilité de l'événement est la même à chaque épreuve. En effet, d'après nos définitions (n**^ 1 à 5), la probabilité d'un événement n'est pas un élément absolu, inhérent à cet événement lui-même : c'est un élément relatif, variant avec l'esprit de la personne qui s'occupe de l'évaluer. Si donc un événement a eu lieu a fois sur s épreuves, on peut admettre qu'il avait à chaque épreuve une probabilité d'arrivée -» et la formule (r4) s'appliquera.

Mais, si les épreuves ne sont pas indépendantes les unes des autres, si elles sont soumises à des causes générales, de telle manière que le résultat des unes influe sur le résultat des autres, la formule ne peut plus s'appliquer. Il en serait ainsi, par exemple, si l'événement cherché était le tirage de boules II. 3

blanches dans une urne contenant des boules blanches et noires, mais oii l'on ne remettrait pas les boules sorties après chaque épreuve. Le résultat des premiers tirages influant sur celui des tirages suivants, les probabilités ne sont pas constantes, les épreuves ne sont pas indépendantes les unes des autres, et la formule (i4) ne peut pas s'appliquer.

38. Dans les applications, la recherche de l'écart moyen se présente souvent sous la forme suivante.

Un événement a une probabilité/; de se présenter à chaque épreuve. On fait un nombre s d'épreuves en convenant que l'une des parties contractantes recevra de l'autre une somme fixe B à chaque épreuve, et lui payera une somme A chaque fois que l'événement se présentera. Pour qu'il y ait égalité dans les chances, B doit être fixé à la valeur Ap, de manière que, après s épreuves, on ait reçu et payé une somme probable égale à Aps. Mais, comme il y aura nécessairement un écart, on demande pour quelle somme payée d'avance on pourrait céder la perte qui peut se produire, par suite d'un excès des sommes payées sur les sommes reçues.

La convention ci-dessus revient à recevoir Ap quand l'événement ne se présente pas, et à payer A^ quand il se présente. L'écart moyen est donc égal à celui que donne la formule (i4), multiplié par A, c'est-à-dire à

(i8) -j=. s/ spq =0,^0 A \Jspq.

Premier exemple. — Une Compagnie d'assurances sur la vie a en cours loooo polices d'assurances, en cas de décès, de loooo francs chacune; elle estime la probabilité moyenne de décès de chaque assuré dans l'espace d'un an à 0,01. Le montant le plus probable des sinistres qu'elle aura à payer dans l'année est de i million, soit 100 sinistres de loooo francs. On demande pour quelle somme elle pourrait à fojfait, avant de commencer l'année, céder la perte additionnelle qu'elle peut avoir à supporter, c'est-à-dire l'écart qui pourra se produire en plus entre le chiffre prévu, i million, et le chiffre réel des sinistres.

Il faut, dans la formule (i 8), faire A— loooo, s= loooo, p " o,oi , q = 0,99, et l'on trouve

e = SgSoo^'".

Telle est la somme cherchée.

Le calcul de cette somme ne se rapporte qu'à l'écart qui peut se produire en perte. Un écart semblable peut se produire en bénéfice, et l'on peut en céder la probabilité pour une somme exactement égale à 89800 francs.

S'il n'y avait que 1000 polices de 10 000 francs en cours, cette somme serait de laSSo francs, par rapport à un chiffre probable de sinistres de 100 000 francs. Elle est toujours d'autant plus forte absolument, mais d'autant plus faible par rapport au chiffre probable des sinistres que le nomi)re des affaires en cours est plus considérable. Elle varie comme la racine carrée du nombre de ces affaires, toutes étant supposées de même importance.

Deuxième exemple. — Une Compagnie d'assurances contre l'incendie a, sur une certaine classe d'affaires, i milliard de

risques en cours avec une probabilité moyenne de^^ — ? pour

^ ' "^ oooo '■

un an, d'avoir, sur chaque risque isolé, un sinistre que l'on suppose total. On demande, suivant le nombre s de risques entre lesquels se divise la somme assurée de 1 milliard, pour quelle somme elle pourrait, avant de commencer l'année, céder l'écart qui pourra se produire en plus, entre le chiffre réel des

sinistres et le chiffre que l'on peut prévoir, lequel est de -z — ^ ' ^ ' 5ooo

de I milliard, ou 200000 francs, s étant le nombre de risques entre lesquels se divise la somme assurée de i milliard, chaque

• . , , I 000000000 ^ 1 r" I / ox 1

sinistre sera de , et la formule (18) donne

V27r 5ooo s/a.Tz \Js ^s

Ainsi l'écart moyen que cette Compagnie a à redouter diminue en raison de la racine carrée du nombre des risques, pour une même somme totale assurée.

La formule n'est applicable qu'à la condition que s soit au moins égal à 5ooo, nombre minimum de risques que la Compagnie doit posséder pour qu'un seul sinistre ne la constitue pas en perte. S'il n'y avait qu'un seul risque en cours, l'écart moyen serait égal à i milliard, perte possible, multipliée

par la probabilité de son arrivée ^ — j soit précisément

200 ooo francs. Au delà de 5= 5ooo, la formule peut s'appliquer, et elle donne les résultats suivants : S'il y a

Valeur L'écart moyen

Risques. de chacun. est de

fr. (T.

5ooo 200000 79780

40000 aSooo 28200

100000 loooo i';84o

I million 1000 564i

I milliard 1 178

Supposons maintenant qu'il s'agisse d'appliquer la formule à une autre classe d'affaires comprenant des risques plus dangereux, dont la probabilité de sinistres soit de Admet-

tons que les risques en cours s'élèvent en totalité à 200 millions, de manière à présenter le même cbiffre probable de sinistres, 200000 francs, et voyons quelles sont, dans ce nouvel exemple, les valeurs de l'écart moyen.

, , , , 200000000 VQQQ I 2 521 000 p ,

e est égal a 7= -^^^^ -^ = ^ — , tormule qui

donne pour

Valeur L'écart moyen

Pvisques. de chacun. est de

fr fr

5ooo 40000,00 356qo

loooo 20000,00 25219

looooo 2000,00 779^

I million 200,00 2522

1 milliard o'^'",2o<= 79

Ainsi, de deux catégories d'affaires desquelles on attend le même chiffre moyen de sinistres, celle qui pour un même nombre de risques en cours donne les écarts moyens les plus faibles, c'est-à-dire celle qui présente le plus de régularité dans l'arrivée des sinistres est la catégorie où les risques sont le plus divisés.

Nous aurons à revenir sur ces considérations quand nous nous occuperons du plein des assurances.

39. Il est intéressant d'examiner, au point de vue de leurs écarts, les faits enregistrés par la Statistique, qui se produisent dans la nature ou dans la vie sociale. L'importance plus ou moins grande de leurs écarts pourra souvent jeter une vive lumière sur la nature des causes dontces événements dépendent. On le comprendra facilement. Nous venons de voir en effet que, quand un événement était de pur hasard, c'est-à-dire quand, dans une série d'épreuves, les causes qui l'amènent sont indépendantes entre elles d'une épreuve à l'autre, les écarts suivaient une certaine loi régulière; que la moyenne de ces écarts ne s'éloignait pas sensiblement d'un nombre facile à calculer d'avance. La réciproque est vraie. Une série d'épreuves a amené un certain nombre de fois le môme événement. Nous ne savons pas si les causes qui amènent l'événement ont ou n'ont pas de réactions les unes sur les autres; pour le savoir, nous n'avons qu'à examiner les écarts.

Si leur moyenne est à peu près égale à l'écart moyen calculé parla formule (i4)» nous pouvons en conclure que l'événement est de pur hasard, que les causes qui l'amènent dans les différentes épreuves sont indépendantes et sans réaction les unes sur les autres. Si, au contraire, la moyenne des écarts observés est différente de l'écart moyen calculé, nous pouvons affirmer que cette déviation est due à une réaction des épreuves les unes sur les autres ; et, suivant que la différence sera plus ou moins grande, et aura lieu dans un sens ou dans l'autre, nous pourrons même acquérir quelques notions sur la nature et sur l'importance de cette réaction.

40. Pour appliquer la formule e = o,4o \jspq à l'examen des écarts des faits naturels, il est bon de lui donner une autre forme.

On suppose qu'un événement présente à chaque épreuve

une probabilité/? qui est encore inconnue. On fait un grand

nombre d'épreuves, que l'on partage en n séries, contenant

respectivement 5,, s., s.^,. . ., 5,^ épreuves, sur un nombre total

Si -h ^2 -h . . . 4- ^„ = S. L'événement se présente dans chaque

série un certain nombre de fois, que l'on note ; nous désignons

ce nombre para,, a., a„, et leur somme par A. La valeur

que l'on peut le plus raisonnablement assigner à p est le

rapport du nombre total d'arrivées A au nombre total d'é-

preuves S; ainsi l'on posera p = ^5 et q = i — p = - — ^— •

Cela étant, la valeur la plus probable de cf^, nombre d'arrivées obtenu dans une épreuve quelconque, sera ps/^ = -^-S et l'écart moyen en plus aura pour valeur

, , - , s/AfS — A) /e^ = 0,40 \Shpq =0,40 — V-^/'-

Généralement, les événements ne sont pas répartis au hasard en séries ; les séries sont des années, ou des mois, ou des espaces égaux, qui contiennent à très-peu près le même nombre d'épreuves, de sorte que l'on peut poser, sans erreur sensible, S = ns/,; d'où pour la valeur commune de e, quel que soit le

rang h de 1 épreuve, 0,40 w ^ — -

Si, pour les n séries d'épreuves, on additionne ensemble, en valeur absolue, tous les écarts observés, positifs ou négatifs, on devra trouver n fois l'écart moyen ci-dessus pour les écarts en plus, n fois pour les écarts en moins, en tout

in fois 0,40 1/ — ^^ — ^ — -S soit 0,80 y — ^^ --Désignant

donc par E la somme, en valeur absolue, de tous les écarts obtenus, la transformation de la formule (i4) donne pour

résultat (,9) E = o,8oy/'Iil|^).

C'est à cette valeur que l'on devra comparer la somme des écarts observés dans la pratique, et, suivant qu'il y aura égalité ou divergence, on pourra en tirer telle ou telle conclusion concernant les causes en jeu.

41. La manière la plus simple de faire cette comparaison est de diviser l'écart observé par l'écart calculé, et d'examiner le rapport ainsi obtenu, rapport auquel je donnerai le nom de coefficient de divergence.

Avant de commencer les épreuves, on prévoyait pour elles un certain résultat, qui n'est autre que le nombre d'arrivées le plus probable. Si les épreuves déjà faites n'influencent en rien les épreuves futures, on devra, après un certain nombre d'épreuves, prévoir encore le même résultat, et le coefficient de divergence, calculé après toutes les épreuves faites, se trouvera égal à i. Si les épreuves déjà faites influencent celles qui sont à faire, de telle manière qu'elles rendent plus probable encore le résultat prévu d'abord, qu'elles facilitent son arrivée, il y aura tendance à une régularité plus grande que celle qui est dans la nature des faits indépendants, et Ton arrivera à un coelficient plus petit que i. Si, au contraire, elles les influencent de manière à rendre moins probable le résultat prévu d'abord, de manière à faciliter les écarts, il y aura tendance a une irrégularité qui n'est pas dans la nature des faits indépendants les uns des autres, et le coefficient sera plus grand que i.

Réciproquement, on peut en conclure qu'un coefficient égal à I indique des faits indépendants les uns des autres; un coefficient plus petit que i, des faits plus réguliers, influencés, par conséquent, par une cause qui favorise la convergence; enfin un coefficient plus grand que i indique des faits plus irréguliers que la moyenne, qui sont influencés, par conséquent, par une cause qui pousse à la divergence.

4-2. La limite inférieure du coefficient de divergence est généralement zéro ; car les événements peuvent toujours, dans chaque série d'épreuves, arriver précisément le nombre de fois que leur probabilité faisait prévoir. Quant a sa limite supérieure, elle varie, non avec la nature de l'événement, mais avec le nombre des épreuves faites et avec le nombre des arrivées obtenues.

L'écart maximum correspond en effet au cas où toutes les arrivées observées auraient lieu dans la même série d'épreuves, et il a alors pour valeur 2A- -•, ce qui donne, pour

le maximum du coefficient de divergence,

n 2,5ox(ai — i) / sk 2,5ox(«— 0 / p

43. Nous allons donner quelques exemples, en appliquant les considérations qui précèdent h. l'étude de divers phénomènes.

Proportion des naissances masculines aux naissances totales. — Proposons-nous d'étudier comment se répartissent les naissances masculines par rapport aux naissances totales, pendant diverses périodes de temps.

A Paris, pendant onze ans, de i856 a 18G6, il y a eu 524738 naissances, dont 266747 masculines : la probabilité de chacune des naissances de cet intervalle de temps était donc

'" ,' zl ou o,5o83. En i858, le nombre des naissances a été de 024738

37451 : le nombre le plus probable de naissances masculines était donc 3745t x o,5o83= iqoSS. Le nombre réel a été 19073 : il y a donc eu un écart, en plus, de 35. En calculant de même les écarts qui se sont produits pendant ces onze années, et les additionnant en valeur absolue, on trouve que leur somme s'élève à 949. La formule donne, pour cette somme,

17 —^ Q^ . /"Xa66747X 257991 ^ ^-°'^° V 524^38 -9^'-

Ainsi le coefficient de divergence est ^ = 0,98 : il est très-

rapproché de l'unité, c'est-à-dire que, pendant cette période, les écarts entre les naissances des deux sexes ont suivi une marche normale et se sont conformés avec une grande approximation aux indications de la théorie.

La limite supérieure que ce coefficient aurait pu atteindre, si toutes les naissances masculines avaient eu lieu pendant les six premières années, et aucune pendant les cinq dernières, est environ 100.

Nous avons fait la même recherche, au sujet du phénomène en question, pour diverses parties de la France et pour diverses périodes de temps, et nous avons trouvé les résultats suivants :

Proportion des naissances masculines aux naissances totales.

Coefficients de divergence.

Paris, 1816 à i838 1,17

Indre-et-Loire, 181731837 1,28

Tours, 1857 à 1867 i,oc)

France, 1817 à 1826 i ,57

» 12 mois de 1866 , 1,37

» 24 mois de 1866 et i868 i ,26

» 12 mois de 1868. Population ur-

baine seule, plus le département

de la Seine 0,87

» 12 mois de 1868. Population rurale

seule, en ne comptant que les

enfants nés vivants o,65

» Enfants naturels seulement. 1841

» id. i85i à 1864 1,26

Indre-et-Loire, id. i856 à 1864 o,55

Tours, id. 185731867 1,09

Ainsi, pour ce phénomène, le coefficient de divergence se tient toujours trës-rapproché de l'unité : il varie seulement, pour les périodes auxquelles on a appliqué le calcul, de o,55 à 1,64, ainsi que cela arrive dans les faits de pur hasard. Cela signifie que les naissances masculines proviennent de causes indépendantes les unes des autres; que celles qui se sont produites n'influent régulièrement ni pour favoriser, ni pour gêner celles qui ont encore à se produire; qu'à chaque épreuve, enfin, on se retrouve dans des conditions de chance identiques : c'est ce qu'on exprime, en langage ordinaire, en disant qu'un tel événement ne dépend que du hasard,

44. Proportion des naissances naturelles aux naissances totales. — Nous avons comparé de même le nombre des naissances naturelles au nombre total des naissances, et nous avons calculé, pour la France, les coefficients de divergence relatifs à plusieurs périodes décennales. Ces coefficients sont les suivants ;

Pour les dix années de 1817 à 1826 i5

Pour les vingt années de 1849 ^ '^^^ 7

Ces coefficients, sans dépasser une certaine limite, sont cependant toujours plus élevés que ceux que l'on obtenait à propos du phénomène précédent. Cela indique que le nombre des naissances naturelles n'est pas un fait de pur hasard ; que ces naissances ne sont pas indépendantes les unes des autres, qu'elles ont une cause commune, qui se développe par ses propres effets. Au point de vue social, cette cause est du reste bien connue : c'est la réaction des mauvais exemples sur l'état général des mœurs.