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demande à l'assureur de s'engager à payer un capital fixé, si une personne déterminée vient à mourir dans le délai d'un an. L'assureur aurait besoin de connaître : i° l'âge de la personne à assurer; 2° son état actuel de santé; 3*^ son tempérament; 4° le tempérament de ses parents; 5** le climat qu'elle se propose d'habiter; 6° son degré d'aisance; 7° la nature de ses occupations; 8° la nature plus ou moins aventureuse de son caractère, etc. C'est une élude qu'il aurait à recommencer au sujet de chacune des personnes à assurer ; mais cette étude nécessiterait une enquête qui serait complètement impossible en pratique. Cette enquête ne pourrait guère être faite que par le futur assuré lui-même, et encore faudrait-il que cet assuré fût aidé des conseils de son propre médecin. C'est, du reste, à peu près l'enquête à laquelle se livre intérieurement un homme qui a l'intention de s'assurer. Il examine toutes ses chances de décès, il tâche de les évaluer tant bien que mal, et il ne se décide à s'assurer que s'il suppose que ces chances sont assez grandes pour contre-balancer le sacrifice d'argent qui lui est demandé, sous forme de prime d'assurance.

Cette enquête est encore analogue h celle que font les assureurs maritimes, quand ils ont un navire a assurer : ils doivent rechercher quel est son âge, son mode de construction, son constructeur, le service qu'il doit faire, quelle est la prudence de son armateur, l'habileté de son capitaine, etc., et ils fixent la prime en raison des chances de sinistre, qu'ils évaluent. 11 en est de même dans les assurances contre l'incendie ; on cherche quel est le mode de construction de la maison à assurer, quelles sont les marchandises qu'elle contient, quels sont les bâtiments contigus, etc., et l'on fixe la prime en raison des chances supposées de sinistre.

Mais, dans l'assurance sur la vie, il serait impossible à l'assureur de se livrer à cette enquête individuelle à propos de tous ses assurés. D'abord le temps manquerait, et ensuite on rencontrerait des obstacles insurmontables dans la juste susceptibilité des futurs assurés et dans le manque de franchise de leurs déclarations. Cette enquête individuelle étant impra-

ticable, il a donc fallu s'en passer et faire des assurances sur la vie sans avoir à sa disposition les résultats qu'elle aurait pu donner.

60. On a pris alors le parti d'éliminer de l'assurance sur la vie tous les gens qui présentent des chances de décès particulièrement défavorables, à l'un quelconque des sept ou huit points de vue énumérés plus haut. En conséquence, on n'assure ni les gens trop âgés, ni ceux qui sont actuellement malades, ni ceux qui ont un tempérament maladif ou qui doivent l'avoir en raison des antécédents de famille, ni ceux qui doivent habiter des climats dangereux, ni ceux qui sont soumis aux épreuves de la misère, ni ceux qui exercent une profession particulièrement dangereuse (militaires en campagne, marins, ouvriers de quelques rares industries), ni même ceux qui seraient d'un caractère trop porté aux périlleuses aventures. Toutes les personnes qui se trouvent dans les cas ci-dessus, et peut-être dans quelques autres, on ne les assure pas, au moins aux conditions ordinaires; on les considère comme présentant des risques exceptionnels, et on leur demande une prime plus forte, ce qui revient à dire qu'on les exclut des assurances contractées aux conditions générales. Nous n'avons donc pas à nous en occuper pour le moment.

Pour reconnaître si une personne qui demande h s'assurer se trouve dans l'un des cas ci-dessus spécifiés, il y a certainement une enquête à faire. Cette enquête est beaucoup moins minutieuse que celle dont nous parlions tout à l'heure : elle nécessite cependant certaines formalités. On demande à l'assuré designer une déclaration écrite, de remettre un certificat de son propre médecin, et de se faire examiner par un autre médecin, spécialement délégué ; on prend en outre, auprès des personnes qui le connaissent, quelques renseignements sur son genre de vie et sur les motifs qui le décident à s'assurer. Cette enquête, bien qu'elle soit faite avec le plus de discrétion possible, apporte cependant encore de grands ob-

slacles a la conclusion des affaires; mais il est impossible de s'en passer, si l'on veut opérer raisonnablement.

61. Quand l'assureur a fait, dans la population générale, toutes ces éliminations, il est certain de ne plus se trouver en présence que d'une classe déjà bien plus homogène, que l'on peut appeler la classe assurable; mais il peut aller encore beaucoup plus loin, par un moyen très-facile à mettre en pratique. En effet chacun des individus qui composent cette classe assurable se trouve encore marqué d'un signe particulier très-précieux, parce qu'il présente les trois caractères suivants : i" il exerce une grande influence sur les chances de décès; 2" il est presque impossible à frauder ; 3° il est facile à constater sans blesser presque aucune susceptibilité. Ce signe particulier, ce caractère indélébile que chacun porte avec lui, c'est son âge: c'est là le meilleur crilerium de la longévité probable.

Il est important de remarquer que, si l'âge est le critérium de la longévité probable, c'est parce qu'il s'agit d'une couche de population qui, par les éliminations, a été rendue homogène sous tous les autres rapports. Il n'en serait plus de même s'il s'agissait d'une population d'où l'on n'aurait éliminé personne, parce que l'âge n'exercerait plus sur les probabilités de décès une influence aussi prépondérante. Aussi les Tables de mortalité ont -elles d'autant plus de valeur qu'elles sont dressées sur des couches de population plus liomogènes.

C'est par la considération de l'âge que l'on établit, dans la classe assurable, des catégories définitives. On y fait généralement 100 catégories, parce qu'on ne considère que l'âge exact à une année près; on en obtiendrait 1200 si l'on voulait pousser la division assez loin pour considérer l'âge exact à un mois près.

Chacune de ces catégories pourra encore être divisée en deux, dont l'une comprendra les hommes et l'autre les femmes. Le sexe, ce nouveau caractère distinctif, a en général peu

d'influence sur les chances de décès; cependant, comme il se constate de lui-même, sans aucune peine, dans la pratique de la vie sociale, on le prend également en considération, et l'on a à en tenir compte à certains âges.

Cette double division opérée, l'assureur se trouve en présence de couches de population bien distinctes par l'âge et parle sexe, et qu'il est obligé de considérer comme complètement homogènes, au point de vue des chances de mortalité. Sans doute, cette homogénéité n'est pas encore complète : il arrivera bien souvent que deux hommes de même âge, qui auront échappé aux éliminations, et qui feront partie, par conséquent, de la même catégorie, présenteront, aux yeux de tous, des chances de longévité bien différentes, en raison, par exemple, de leur constitution ou de la nature de leurs occupations. Mais, comme il n'y a pas de moyen simple et pratique de les dilTérencier, on les laisse dans la même catégorie, et l'on admet que tous les individus composant une même catégorie ont exactement les mêmes chances de décès. On est amené alors à chercher quelle est l'importance de ces chances ; en d'autres termes, quelle est la probabilité qu'une personne d'un âge déterminé mourra dans le cours d'une année. Cette question ne peut se résoudre qu'en recourant à l'expérience des temps passés. Le bon sens dit que, si l'on a constaté pendant plusieurs années que sur loooo hommes de oo ans, appartenant à une classe homogène comme l'est la classe assurable, il en est mort 84 pendant i an, c'est que la probabilité de décès de chacun était à peu près 0,0084: on peut donc supposer qu'elle est encore la même, si Ton se trouve dans des conditions analogues, c'est-à-dire dans le même pays et à une époque peu éloignée.

62. Toutefois il faut se défier, dans tout ce qui touche aux évaluations des chances de mortalité, des aperçus du simple bon sens, et il est bon de les soumettre à un raisonnement rigoureux. Si l'on veut le faire, on voit que la proposition précédente peut se réduire à un double syllogisme.

Premier syllogisme. — Majeure. Sur loooo individus vivants de l'âge de 3o ans, il y a eu 84 décès de 3o à 3i ans.

Mineure. Les 10 000 individus observés avaient tous la même probabilité de décès en une année.

Conclusion. Cette probabilité était par conséquent 7—70*

Second syllogisme. — Majeure. Un individu nouveau, que l'on a en vue, a la même probabilité de décès qu'un quelconque des 10 000 qui précèdent.

Mineure et conclusion. Cette probabilité est donc ^ ^^^ ^ .

63. Dans le premier syllogisme, la majeure résulte d'une constatation faite par l'expérience; si l'expérience, c'est-à-dire l'observation statistique, a été bien faite, on peut y avoir confiance. La mineure n'est pas complètement exacte, mais on l'a rendue aussi exacte que possible en pratiquant les éliminations nécessaires et en se procurant des catégories h peu près homogènes: reste la conclusion, qui est un pur problème de Calcul des probabilités. Ce problème, c'est celui qui a été indiqué dans les n°^ 16 et 17. On a observé un nombre s de têtes, c'est-à-dire qu'on a fait un nombre s d'épreuves, et un événement (qui est ici un décès) s'est présenté un nombre de fois a : l'inconnue est la probabilité p

de cet événement. Cette probabilité sera peu différente de - ;

elle ne s'en éloignera que d'une quantité / en plus ou en moins ; et, pour chaque valeur de /, on peut calculer la prohabilité P que la valeur de p sera comprise entre les limites - 4- / et - — /. Cette probabilité P est donnée par la formule suivante :

(23) P = 0(y)=-^ Ç'e-r-dy,

en posant

64. Exemple. — On a observé 29/182 individus âgés de trente ans; on a constaté 248 décès dans une année, c'està-dire de l'âge de trente à trente et un ans. On en conclut que la chance de décès en un an, pour un individu de trente

ans, est ^1, ou 0,0084. On demande quelle est la probabi- 29402 ^

lité que ce résultat est exact à moins de 0,001 près, c'està-dire que la véritable chance de décès cherchée est comprise entre 0,0074 et 0,0094.

Il faut faire, dans la formule précédente,

On trouve aloi's

7=1,49 et P = 0(y) = o,96.

Ainsi il y a seulement 96 contre 4, ^u ^4 contre i à parier que la probabilité ou chance de décès cherchée est, en effet, comprise entre les limites indiquées entre 0,0074 6t 0,0094- On ne peut donc nullement considérer le chiffre des dix-millièmes comme ayant une signification quelconque, et l'on ne peut compter que sur celui des millièmes.

Le nombre d'épreuves choisi dans cet exemple, 29482, est celui des individus âgés de trente ans, qui ont été observés pour la confection de la Table des vingt Compagnies anglaises; aucune Table de mortalité, dressée sur des têtes choisies, et d'après des documents certains, n'a jamais été faite d'après un plus grand nombre d'observations; les taux de mortalité afférents à chaque âge, considéré isolément, ne sont donc pas obtenus avec une approximation plus grande que celle qui vient d'être calculée.

65. C'est pour cette raison, et dans le but d'obtenir une approximation plus grande, que l'on a été conduit à ajuster

les Tables de mortalité, c'est-à-dire à modifier les résultats obtenus pour un âge considéré isolément, en tenant compte des résultats afférents aux âges voisins. Ainsi que nous le verrons plus loin (n° 93), on peut admettre que, par un ajustement bien combiné, on obtient la même approximation que si l'on avait opéré sur un nombre de têtes quatre fois plus grand. Si donc on demande la probabilité que la cbance de décès à trente ans ci-dessus, 0,0084, supposée obtenue dans une Table ajustée, est approchée à moins de 0,001, en plus ou en moins, on l'obtiendra encore par la formule précédente, mais en prenante quatre fois plus grand, ce qui donne 7 deux fois plus grand, soit 7 = 2,98, et ce qui conduit à

La probabilité de cette même approximation est donc ici beaucoup plus içrande, et l'on peut dire qu'elle équivaut à une certitude.

Dans le même exemple, si l'on avait demandé la probabilité que le résultat est approché à moins de i millième, on aurait trouvé, dans le cas d'une Table non ajustée,

et, dans le cas d'une Table ajustée,

66. On peut, par le même procédé, calculer d'une manière générale quelle est l'approximation probable que l'on obtient pour tous les taux de mortalité dans une Table dressée d'après l'observation d'un certain nombre de têtes. Cette approximation n'est pas la même à tous les âges; elle est d'autant plus grande pour un âge donné qu'il y a plus de vivants ayant cet âge parmi les individus observés, c'est-â-dire qu'elle est plus grande pour les âges jeunes, et qu'elle diminue quand l'âge augmente.

Exemple. — Supposons une Table dressée d'après l'observation de N individus; on demande quelle est la probabilité

que la chance de décès à trente ans est obtenue à moins de o, ooi, de o,oo5 et de o,oi .

Dans la formule

il faut faire

et s égal au nombre des tètes qui ont été observées comme ayant subi, à une époque quelconque, le risque de décès de trente à trente et un ans. Lorsqu'on observe un groupe d'individus au point de vue de la mortalité, il y en a à peu près le quart qui passent par l'âge de trente ans et qui sont par conséquent observés à cet âge; mais, comme, d'un autre côté, l'ajustement de la Table, que nous supposons fait, a pour résultat, comme nous le verrons plus loin, de donner une approximation à peu près aussi grande que si s était quatre fois plus fort qu'il n'est en réalité, on peut appliquer, pour l'âge de trente ans, la formule précédente, en prenant pour s le nombre total de têtes observées pour la confection de la Table, c'est-à-dire N.

On en tire les conclusions suivantes :

iNOMBRE TOTAL

de lèles

observées pour la confeclion

(le la Table.