II. II
et la relation entre les deux annuités est la même que la relation (63), pourvu que t, au lieu de représenter le taux eontinu de mortalité d'une seule tète, représente la somme des taux continus de mortalité de toutes les têtes en jeu.
Exemple. — Calculer l'annuité sur deux têtes âgées de 3o et de 5o ans, en prenant h = lo.
La formule donne
-HD.oD,o(n-/)-^°+D„De„(i + /)^»] = 7,348, et Ton a, d'autre part,
'- on
= 7,348+ 4?^ — o,5i5= II ,333.
Or la Table d'annuités toute calculée donne pour cette valeur 1 1,33'20.
Annuités différées.
165. Annuités sur ujie seule tête. — Une annuité est dite différée quand son payement ne doit commencer qu'après un certain nombre d'années. Soit X," l'annuité différée de n années, sur une tête âgée actuellement de a. Cette annuité reposera, dans n années, sur une tête d'âge « + /i et aura alors pour valeur X^^,/, il suffit de multiplier cette quantité par Q^ pour la ramener à sa valeur actuelle, qui est ainsi
Exemple. — Calculer l'annuité reposant sur une tête de 3o ans et différée de 10 ans.
La valeur chercbée est égale à
X'" = X,o O'" = 1 5 , 1 35 ^^ — îy- =.- 9,3G2,
ou, si l'on préfère se servir de la Table de commutation,
,0 N,, 25q3qi,5 ^
-^ Djo 27707,1
166. Annuités sur deux têtes. — Il en est de même de l'annuité différée sur deux létes; au lieu de X^^, ou de ^—0, sa valeur actuelle, si elle est différée de n années, sera, suivant le cas,
(66) X',l,= ^a^,..b^nQ"aJ>,
OU bien
Annuités temporaires.
167. Une annuité est dite temporaire quand elle ne doit être payée que pendant un certain nombre d'années, même en cas de vie de la tête sur laquelle elle repose. Elle est égale à une annuité payable pendant toute la vie, moins une annuité différée du même nombre d'années. Ainsi, en la représentant par ^X^, s'il s'agit d'une seule tête, on aura
et, en la représentant par ^X^i, ou par „X— ^, s'il s'agit de deux têtes au premier ou au second décès, on aura de même
et
Exemple. — Une annuité temporaire de 10 ans, sur une tête de 3o ans, a pour valeur
ou bien
-, N3,.— Nj, 474646,5 — 259391 ,5
Annuités temporaires différées.
168. Une annuité temporaire peut être en même temps (liiïérée; s'il s'agit d'une seule lête, c'est alors la valeur actuelle d'une série de sommes payables annuellement pendant n années, le premier payement commençant dans m années et tous les payements étant subordonnés à l'existence d'une tête ayant aujourd'hui l'âge a. On peut la représenter par „X'", et sa valeur ressort à
Il en est de même s'il s'agit de deux têtes, soit au premier, soit au second décès, et l'on a pareillement
et
II, b II, u II, b
Exemple. — Une annuité temporaire de 10 ans, différée de 5 ans, sur une tête de 3o ans, a pour valeur
,oX*, :=X^„ — X^J = X3,Q^„ — X.sQlo = 12,782 — 6,692 = 6,090,
ou bien, en se servant de la Table de commutation,
Annuités sur plus de deux têtes.
109. La méthode exposée au numéro 155 s'applique à la recherche des annuités sur un nombre quelconque de têtes. Ainsi, s'il s'agit de trois têtes, d'âges «, b, c, on aura, au lieu de la relation (5G), la relation analogue
(74) Xa,4,c= (l + Xo+i.i+,.c-)-i }Q«,/m-
Cette relation permettrait de calculer, de proche en proche, toute une Tahle d'annuités sur trois tètes, ou sur un nombre quelconque de têtes.
Ces Tables n'ont jamais été établies, car elles nécessiteraient un travail excessivement long, puisque, pour toutes les combinaisons que peuvent oiïiir seulement trois têtes, il faudrait calculer cent mille nombres dilîerents.
170. Calcul des annuités sur plusieurs têtes par la formule de Gompertz, ou celle de Makeham. — On peut calculer les annuités sur plus de deux têtes, soit parla tbinuile de Gompertz, soit par celle de 31akeham, en appliquant les procédés exposés aux numéros 156 et 158.
Si l'on veut appliquer la formule de Gompertz, il faudra déterminer un âge auxiliaire d, de manière a satisfaire à la relation
et l'annuité X,/ sera égale à l'annuité cherchée X^^^ ......
Si l'on veut appliquer la formule de Makeham, on déterminera d, de manière à satisfaire, s'il s'agit de trois têtes, à la relation
et l'on aura
mais, quand il s'agit de plus de deux têtes, ces méthodes restent sans application pratique : la première, parce que la loi de Gompertz n'est pas assez exacte; la seconde, parce qu'il fiiudrail posséder des Tables d'annuités sur trois têtes égales, et que l'on n'en possède pas, au moins pour les Tables de mortalité usitées. Le calcul de ces Tables d'annuités ne serait, du reste, pas très-long, en faisant usage de la formule (74). dans laquelle on prendrait, pour point de départ, a=^h=^c=^... l'âge le plus avancé de la Table de mortalité.
171 . Annuités continues et autres sur plus de deux têtes. — Tout ce qui a été dit dans les numéros 160 à 168 pour le cas
de deux têtes peut s'adapter également au cas de trois et de plus de trois têtes; mais ces calculs restent sans application pratique.
172. Méthode de Simpson. — Rédaction de deux têtes à une seule. — Toutes les fois que l'on a plus de deux têtes à considérer, on peut en éliminer une ou plusieurs, en employant la méthode de Simpson. Cette méthode, qui, sans donner des résultats parfaitement exacts, est très-commode dans les applications, consiste à remplacer les chances d'existence d'un groupe de deux têtes par les chances d'existence d'une seule tête, d'un âge convenablement choisi. Elle ne consiste donc, au fond, que dans l'application partielle de la méthode de Gompertz. En effet, l'âge de la tête auxiliaire que l'on introduit peut se déterminer soit par la méthode de Gompertz (n° 156) et par la formule (Sy), soit, si l'on possède des Tables toutes calculées d'annuités sur deux têtes, par la simple inspection de ces Tables.
Premier exemple. — Calculer, parla méthode de Simpson, l'annuité sur trois têtes, âgées de 20, 3o et l\o ans.
On peut choisir, pour faire la première élimination, les deux têtes que l'on veut. Supposons que l'on choisisse les deux têtes les plus âgées; on pourra déterminer l'âge r/de la tête auxiliaire qui doit les remplacer par la formule (Sy)
Si l'on préfère employer une Table toute calculée d'annuités sur deux têtes, on y cherchera Xjo.io» <iue l'on trouvera égal (pour la Table fP' et le taux 4 pour 100) à 1 3,2324. Passant alors à une Table d'annuités sur une tête, on y trouve les valeurs suivantes :
X47 = i3,3563, X4S =: i3,og4o,
d'où l'on conclut que l'âge d de la tête auxiliaire est compris entre 47 t't 48 ans et qu'il peut être fixé a 47>49'
Il y a trois manières de faire le calcul; car, au lieu de commencer par réduire a une seule les deux têtes de 3o et /|0 ans, on pouvait faire la même opération sur celles de 20 et 3o ans, ou sur celles de 20 et 4o ans; en faisant le calcul des trois manières, la divergence des résultats donnera une idée du degré d'approximation obtenu par cette méthode d'élimination.
Si Ton groupe ensemble les deux têtes de 3o et l\o ans, nous venons de voir qu'on pouvait les remplacer par une seule tête de 47^49 années. L'annuité cherchée sur les trois têtes serait ainsi égale à une annuité sur deux têtes, âgées de 20 et de 47'49 années. Or on trouvera, dans une Table d'annuités sur deux têtes,
d'où l'on conclut pour l'annuité cherchée 12,1948.
Si l'on opère de même et au moyen de la Table d'annuités toutes calculées, en groupant ensemble les deux têtes de 20 et de 40 ans, l'annuité cherchée se réduit à une annuité sur deux têtes âgées de 3o cl de 45»7<) années; elle a pour valeur 12,22^4-
Si enfin on groupe ensemble les deux tètes de 20 et 3o ans, l'annuité cherchée se réduit à une annuité sur deux têtes, âgées de l\o et de 39,92 années, et elle a pour valeur 12,3569.
Ces trois résultats étant notablement divergents, on peut en conclure que ce procédé de groupement ne conduit pas à une grande approximation.
Second exemple. — Calculer l'annuité sur quatre têtes âgées de 3o, 4o, 5o et 60 ans.
On a
Xio.co^^ 7,9240,
Xci =7,8703;
d'où l'on conclut que l'on peut substituer aux deux dernières têtes une tête auxiliaire de 64,82 années. On peut doncrempla-
cerles quatre tèles proposées par deux seulement, âgées l'une cle47/i9. l'autre de 64,H2années. En se reportant à la Table d'annuités sur deux têtes, on trouvera par un calcul facile, pour l'annuité sur ces deux têtes, ou pour l'annuiié sur les quatre têtes proposées, 6,9922. Il est facile de comprendre, d'après ce qu'on a vu dajis l'exemple précédent, que l'on peut à peine compter ici sur une décimale exacte.
