II. — PRIMES UNIQUES EES OPÉRATIONS FONDAMENTALES

Toutes les opérations d'assurances sur la vie peuvent se ramener, pour ce qui concerne les rentes, à un simple décompte d'annuités, et, pour ce qui concerne les capitaux, à trois opérations fondamentales; ces trois opérations sont l'assurance d'un capital payable après un décès, ou après le premier décès de deux personnes désignées, ou après un décès survenant du vivant d'une personne désignée. Nous allons donc calculer d'abord, par une analyse directe, la valeur actuelle de l'engagement que prend la Compagnie dans chacun de ces trois cas; cette valeur donnera \n prime unique, ou le prix que l'assuré doit payer en contractant son assurance. Pour les auti'es opérations, cette même prime unique s'obtiendra par des transformations diverses.

173. Valeur actuelle d'une somme payable après un décès. — Désignons par P^la valeur actuelle d'une somme de i franc que l'on doit payer au décès d'une tête d'âge a, à quelque époque qu'ait lieu le décès. On peut calculer la valeur de ?« de plusieurs manières; la plus exacte esl une application de la méthode continue, exposée plus haut.

Première méthode [jnéthode continue) . — La probabilité que la tête en question s'éteindra précisément pendant le petit intervalle de temps dx compris entre les époques marquées par X Qi X -\~ dx est égale à la probabilité qu'elle vivra encore à l'époque x, multipliée par la probabilité qu'elle ne vivra plus à

l'époque œ -+- dx, c'est-à-dire à

f[n -\- X -h dx ' f{a + x)

(lf( n-hx)

En multipliant cette probabilité par la valeur actuelle (1 -t- t)~^ de I franc payable au bout du temps x, on obtiendra un des éléments de la valeur de P^; et, en ajoutant tous ces éléments au moyen de l'intégration, on aura la valeur totale de P^,

Pour calculer cette intégrale, on peut intégrer par parties, ce qui donne

1>„=-^ /(«)-lognép(i-f-/) r f{a + x){i + t)-^dxy

L'intégrale qui figure dans celte formule n'est autre que l'annuité continue X«, de sorte que l'on a

Pa = I — X„ lognép (i -i- /);

on a encore, en développant lognép (i + ^j par la formule

Exemple. — Si l'on prend a = 3o ans, X31, est égal à \'],Ç)2C)c^, et, par conséquent, Pjo est égal à

1 — 17 ,62,69 log nép 1 ,0 1 =: o*^'', 3o866.

Calculée par la formule (72), celte valeur se présenterait sous la forme du développement suivant :

I — 0,70508 H- o,oi4io — 0,00087 "^ 0,00001 i3.

En prenant les deux premiers termes seulement, on obtient 0,29492; en prenant les trois premiers, 0,30902; en prenant les quatre premiers, o,3o865; en prenant les cinq premiers, o,3o866; etc.

Dans la valeur ainsi calculée, on suppose, comme on l'a vu par la mise en équation, que la somme assurée est payée au moment même du décès.

Deuxième méthode. — On prend pour point de départ l'annuité ordinaire, et l'on suppose que la somme de i franc ne doit être payée qu'à la fin de l'année dans laquelle a lieu le décès. La probabilité que le décès aura lieu pendant une année quelconque, la sixième par exemple, est

et, comme la somme de 1 franc qui doit être payée dans cette éventualité n'a pour valeur actuelle que (i -h z)"*"', l'élément correspondant de la valeur de P^ est

La valeur totale de P^ sera donc la somme de tous les éléments analogues, somme qui ressort, tout calcul fait, h

Si l'on suppose que la somme de i franc doit être payée, non plus à la fin, mais au milieu de l'année dans laquelle a lieu le décès, ce qui, en moyenne, équivaut à peu près à la

réalité, cette valeur doit être multipliée par (i + /) -, et l'on obtient

[i-^ty

Si enfin on suppose que la somme de i franc sera payée au commencement de l'année dans le cours de laquelle a lieu le décès, il faut multiplier la première valeur par i -4- /, et l'on obtient

Exemple. — Si l'on reprend l'exemple déjà traité ci-dessus,

c'esl-a-dire l'âge de 3o ans et la Table H^', il faut faire X30 = 171 1^09, et l'on trouve comme valeur de P^ :

o,3o2658, si la somme de i franc doit être payée a la fin de l'année dans laquelle le décès arrive;

o,3o8652, si elle doit être payée au milieu de l'année.

0,31/4764, si elle doit être payée au commencement de l'année.

On se rappelle que la valeur exacte de P„, calculée au moyen de l'annuité continue, ressortait a o,3o8(3585; ce nombre est. sensiblement égal à la valeur obtenue dans la deuxième hypothèse au moyen de l'annuité ordinaire.

En pratique, la plupart des Compagnies françaises d'assurances calculent P„ d'après la troisième hypothèse, c'csl-a-dire comme si leurs sinistres étaient payés au commencement de l'année dans laquelle ils arrivent; elles profitent ainsi, en moyenne, de six mois d'intérêt sur les sommes payées par elles par suite de décès. D'un autre côté, il ftiut remarquer qu'elles sont obligées d'avoir toujours à leur disposition, pour payer les sinistres aussitôt qu'ils se produisent, un capital liquide, qui ne leur rapporte que peu ou point d'intéiôts. Si ce capital liquide, gardé en réserve, était précisément égal à la moitié du montant annuel des sinistres, le mode de calcul adopté pour P„ compenserait exactement cette obligation; mais, comme il est toujours moins élevé, il reste un certain avantage pour la Compagnie. Il suit de là qu'il serait tout à fait puéril de chercher à calculer P« avec une grande exactitude; il est largement suffisant d'en obtenir la valeur avec trois décimales. La valeur obtenue pour P^ ne sera ainsi ni plus ni moins exacte que si l'on avait cherché 5 ou 6 décimales; on aura seulement réservé à la Compagnie un avantage un peu plus ou un peu moins grand, et nous venons de voir que cet avantage n'était établi que sur une base arbitraire.

Si l'annuité X„ ne devait servir que pour le calcul de P^, il serait également inutile de calculer sa valeur avec plus de trois décimales; mais, comme nous le verrons plus loin, l'annuité est encore employée pour le calcul d'autres combinai-

sons, notamment des assurances de survie, pour lesquelles on peut avoir besoin de plus de li'ois déeimaleso

Les Compagnies d'assurances anglaises n'établissent pas leurs calculs de la même manière; elles supposent que le capital est payé seulement à la fin de l'année dans laquelle arrive le décès, et elles font, par conséquent, usage de la formule (78). C'est sur cette base que sont calculées d'avance les Tables de commutation et les Tables de résultats, établies .par les Actuaires anglais, dont nous reproduisons des extraits à la fin du volume. Cette différence n'a pas grande importance dans la pratique ; car, ainsi que nous le verrons plus loin, le calcul ne donne jamais que des primes pures, c'est-à-dire des primes tbéoriques, et l'on est obligé de les augmenter ou de les diminuer, suivant un système fort arbitraire, pour établir les Tarifs que l'on doit mettre en pratique.

Dans les exemples que nous donnerons par la suite, nous admettrons toujours, à moins d'indication contraire, que l'on emploie la Table de mortalité H^', le taux d'intérêt de 4 pour loo, et qu'on suppose le capital payé en fin d'année, ce qui entraîne l'adoption de la formule (78) et des formules analogues (84) et (90).

174. Influence du taux de l'intérêt. — Nous avons dit au n° 14-3 que la valeur réelle de l'annuité était plus faible que celle qu'indique le calcul, parce que le taux réel de l'intérêt est plus fort que le taux adopté. Il est bon de se rendre compte de l'influence que cela peut exercer sur la valeur actuelle d'une somme payable après un décès, c'est-à-dire sur la valeur de P,,, qui est calculée en pratique par les formules (80) et (78).

Quand le taux / augmente, la valeur de l'annuité X« diminue, mais suivant une progression moins rapide, de sorte que le produit /X^ augmente encore, et que la prime unique P^ diminue. Le tableau ci-dessous, dressé pour les âges de 3o et de 5o ans, montre que cette diminution est assez rapide.

Primes uniques assurant un capital de loooo francs, d'après la Table H" et à divers taux d'intérêt.

(Capital payable à la fin do l'annéo.)

AGE

4Vo.

30 ans.

50 ans.

fr 3,922

5,GGi

ff 3,434

fr 3,02G

fr 2,684

fr 5,394 4,io3

fr (,9^0

Ainsi, quand le taux d'intérêt augmente de * pour 100, la valeur de la prime unique pour l'âge de 3o ans diminue d'environ 10 pour 100, et la valeur de la prime unique pour l'âge de 5o ans diminue d'environ 8 pour 100, L'adoption d'un taux Irop faible ne peut donc entraîner pour la Compagnie qu'un bénéfice de placement.

175. Valeur d' une somme payable au premier décès de deux personnes désignées. — Supposons que la somme de i franc doit être payée au premier décès de deux personnes d'âges a et b, et clierclions la valeur actuelle P^^ de cet engagement.

Première méthode. — On peut appliquer la méthode continue en se livrant à une analyse semblable à celle du n" 172. Pour que le j)ayeinent devienne exigible, précisément pendant le laps de temps très-court dx, qui se place entre les époques a? et a? h- dx, il faut que l'un des deux décès ait lieu pendant ce laps de temps, l'autre tète étant encore vivante. La probabilité que c'est le décès de B qui se présentera est

—o,,T — ' et la probabilité que A sera alors vivant est

f[cL -\- x\ .

^—n, — T — 5 et inversement pour le décès de A et la vie de B, de sorte que la probabilité que le payement deviendra exi-

— 174 " gib!e, précisément pendant ce temps dx, est

f[a-^x) dfi b-Y- .t) f[h + x)df[a^x) f{a).m f{b)f{a)

OU bien

La valeur totale actuelle de la somme cherchée est donc, en raisonnant comme au n'^ 163,

(8i) P'''^=/l"f 7(7)7(70 ^nfia + x)f{b-^x)]{i-^tj-^.

En intégrant par parties, on trouve, pour la valeur de cette intégrale,

(82) P„,i=i— X„,ilognép(i +0-

Celte formule est tout à fait analogue à la formule (76), et l'on peut, en développant log nép ( i h- /), la mettre sous la forme suivante :

Exemple. — Si l'on prend a = 3o el b = 4o, X est égal à 13,728; et par conséquent P30.40 est égal à

I — 13,728 X log nép. 1 ,04 = 0,461588.

Calculée parla formule (78), cette valeur se présenterait sous la forme du développement suivant :

En prenant les deux premiers termes seulement, on obtient o,45o88; en prenant les trois premiers, 0,46186; en prenant les quatre premiers, 0,46167.

Dans la valeur ainsi calculée on suppose, comme on l'a vu parla mise en équation, que la somme assurée est payée au moment même du décès.

Deuxième mèlhode. — On prend pour point de départ l'annuité ordinaire, et l'on suppose que la somme de i franc ne

- i7;> doit être payée qu'à la fin tle l'année dans laquelle a lieu le décès de l'une des deux têtes. On trouve alors, comme au n** 163, que le valeur totale de P«,5 ressort, tout calcul fait, à

Si l'on suppose que la somme de i franc doit être payée au milieu ou au commencement de l'année dans laquelle a lieu le décès, cette même valeur devient, dans le premier cas,

et dans le second

(86) Pa,4= I — t\^,6.

Exemple. — Si l'on reprend le même exemple, il faut faire X3o,',o= 1 3,232, et l'on trouve comme valeur de Pao.io :

0,4526, si la somme de i franc doit être payée à la fin de l'année;

0,4616, si elle doit être payée au milieu;

0,4707, si elle doit être payée au commencement.

On se rappelle que la valeur exacte de P^^j, calculée au moyen de l'annuité continue, ressortait à 0,461 588; ce nombre est sensiblement égal à celui que l'on obtient par la seconde méthode, dans la deuxième hypothèse. Au sujet de ces diverses valeurs, nous ne pouvons que rappeler ici les observations faites au n° 173, qui s'appliquent aussi bien aux annuités sur deux têtes que sur une seule tête.

Tout ce qui a été dit au n" 174, au sujet de l'influence du taux de l'intérêt, s'applique également ici, sauf quelques modifications dans les chiffres choisis pour exemples.

176. Valeur cV une somme payable en cas de survie. — Supposons que la somme de i franc doit être payée au décès de la tête B, mais seulement dans le cas où la tête A existerait encore au moment de ce décès, et cherchons la valeur actuelle de cet engagement, valeur que l'on représente par P^.

— l'jG —

Première méthode [méthode continue). — Ainsi que nous l'avons vu tout à l'heure, la probabilité que B mourra précisément pendant l'intervalle de temps dx^ et que A sera vivant à cette époque, est

f[a + x)d f[b H- .r) JVaViW)

Si l'on multiplie cette quantité par(i -ht)"-'^, on obtient l'espérance mathématique correspondante; et, en intégrant, on arrive à la somme des espérances mathématiques, autrement dit à la valeur actuelle de l'engagement que la Compagnie a à prendre. Cette valeur est donc

r- fia^.)d nb ^ .)

ce qui se réduit, en introduisant la valeur déjà connue de Xa,b et tout calcul fiiit, à

d représentant ici la différentiation par rapport à b considéré comme variable.

On peut assez simplement calculer cette valeur avec approximation, en remarquant que l'on a, pour une fonction quelconque,

^(,^ = Av(M-^d'?(i) + ^d.,(t)-...,

A, A-, A'' représentant les différences premières, deuxièmes, troisièmes, etc., do 9(^). La formule (82) devient alors

(88) P, = -^^^^-yJA4/(6)X„,,]-^A5,[/(6)X„.4]+... |, ou, à fort peu de chose près,

Exemple. — Quelle est la prime unique assurant un capital de survie de loooo francs, payable au décès d'une personne âgée de [\o ans, à la condition qu'une autre personne, âgée de 3o ans, soit alors vivante? Le capital est supposé payable au moment même du décès.

En raison de cette dernière clause, il faut employer la formule (89), qui est basée sur les annuités continues. En y faisant 6 =: 4o et « = 3o, on trouve

/(4o)== 82,284, /(4.; = 8i,436, et par conséquent

pour une assurance de i franc, soit 2870 francs de prime unique pour une assurance de 10 000 francs.

Deuxième méthode. — On prend pour point de départ l'annuité ordinaire, et l'on suppose que la somme de i franc ne doit être payée qu'à la fin de l'annuité dans laquelle arrive le décès. On trouve alors, par une analyse analogue à celle du n° 175, que la valeur actuelle de l'engagement en question ressort à

Onpeutremarquerquesi,dans cette formule, on changea en Z>, etréciproquement,etque l'on ajoutelesdeuxrésuhats,on aura

Or, comme l'une des deux têtes mourra nécessairement la première, cette dernière expression doit représenter également la valeur actuelle de l'engagement que prendrait la Compagnie de payer la somme de i franc au premier décès,