A PRIMES TEMPORAIRES DE VI^GT ANNÉES
Primes annuelles et bénéfice moyen d'une assurance de 10 000 francs.
AGE
d'entrée.
Tarif A.
Tarif B.
Tarif C.
PRIMES
BÉNÉFICE
ANNUELLES
PRIMES ANNUELLES
BÉNÉFICE
PRIMES ANNUELLES
BÉNÉFICE
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Primes croissantes. — Au lieu d'acquitter le prix de l'assurance au moyen de primes annuelles constantes, l'assuré veut quelquefois se libérer au moyen de primes qui sont plus faibles pendant les premières années, et plus fortes dans la suite de l'existence, de manière à rétablir la balance. On ne peut jamais descendre , pour les premières primes, au-dessous d'une limite qui est marquée par la prime d'assurance temporaire d'un an, c'est-à-dire par la probabilité de décès pendant l'année dont il s'agit; nous avons même vu, dans le commencement de ce numéro, qu'en raison de l'anti-sélection des risques, on ne pouvait pas, dans la pratique, descendre aussi bas dans les premières années; toutes les primes d'un tarif de ce genre doivent être maintenues plus fortes que les primes de l'assurance temporaire d'un an. On peut cependant, tout en observant cette règle, donner satisfaction, dans une certaine mesure, aux assurés qui voudraient s'acquitter au moyen de primes croissantes; et voici, dans ce cas, comment on effectuera le calcul.
Supposons qu'on veuille payer une prime qui reste constante pendant les cinq premières années, puis qui augmente par périodes de cinq ans, l'augmentation étant à chaque fois de I de la valeur initiale, et qui reste constante après la quatrième période, c'est-à-dire après la vingtième année d'assurance écoulée. Les primes à recevoir pendant la première période forment une annuité temporaire payable d'avance; celles des trois périodes suivantes sont des annuités temporaires différées, et celles de la cinquième et dernière période forment une annuité différée. On voit donc, en se reportant aux formules (68), (71) et (65), que la valeur totale des primes, en appelant/? la prime initiale, sera la suivante :
Pour la première période. . p{i -+-4X32),
Pour la deuxième période. . . —- i\*,
Pour la troisième période... -^ sX^,,
Pour la quatrième période.. -J- i\lt,
Pour la cinquième période.. ^Xg!, ce qui se réduit à
C'est cette valeur qui devra être posée égale à la prime unique, ce qui donnera une équation permettant de déterminer/>. Remplaçant les nombres connus parleurs valeurs,
on obtient ainsi
d'où
fr
Les primes à payer seront donc :
Pendant la première période, de 128 par an.
Pendant la deuxième période, de i53,6o »
Pendant la Iroisièmepériode, de 179,20 »
Pendant la quatrième période, de 204,80 »
Le reste de la vie 280,40 »
Primes décroissantes . — Quelquefois les assurés désirent au contraire payer dans les premières années des primes plus fortes que ne seraient les primes constantes, afin d'en payer de plus faibles parla suite. Il n'y a pas ici de limite à observer dans Télévation relative des premières primes; on peut aller dans ce sens jusqu'à acquitter en un seul payement le prix entier de l'assurance, ce qui revient à contracter à prime unique.
Le calcul des primes s'effectue exactement comme le précédent. Ce calcul revient à déterminer la valeur d'une annuité variable reposant sur la tête assurée; on pourra donc, si on le préfère, appliquer les formules (92) et (95), trouvées au n° 177. C'est ainsi que nous allons procéder dans l'exemple suivant.
Supposons qu'au lieu d'acquitter la prime unique de 3 164 francs, assurant, à l'âge de 32 ans, un capital de loooo francs, on veuille payer une prime qui diminue tous les ans de ~ de sa valeur initiale, et qui conserve la faculté de devenir négative après les trente ans écoulés, c'est-à-dire qu'à la trente et unième échéance le versement sera nul, que la trente-deuxième donnera lieu au payement de -^ de la prime initiale, fait par la Compagnie à l'assuré; la trentetroisième échéance, à un payement de — j, et ainsi de suite. On demande quelle doit être la valeur initiale de la prime.
D'après la formule (95), cette valeur sera égale à
3o Na,
Soit dans l'exemple proposé
Ainsi la prime à payer la première année devra être de 323'^%5o, et cette prime diminuera tous les ans de 3*0 de sa valeur initiale, c'est-à-dire de io^'',8o; le trente et unième
— 23r — payement sera nul, le trente-deuxième sera de io*"S8o en faveur de l'assuré, et ainsi de suite.
Tarifs en usage. — Les assurances a primes croissantes et décroissantes sont très-peu usitées; une seule Compagnie a publié des tarifs à ce sujet, et elle applique le tarif C, en chargeant les primes de i5 pour loo, plus i5 centimes pour loo francs.
Primes rapportant un intérêt fixe. — L'assuré demande quelquefois que toutes les primes payées par lui rapportent en sa faveur un intérêt fixe, à partir du jour où elles sont versées à la Compagnie; on comprend que leur valeur doit alors être beaucoup augmentée.
Pour effectuer le calcul dans ce cas, il n'y a qu'à se reporter à la formule (112); et si l'on appelle 0 le taux annuel d'intérêt que les primes versées doivent rapporter à l'assuré, l'importance de la prime annuelle sera donnée par la formule
Supposons toujours qu'il s'agisse de l'âge de 32 ans; en remplaçant M, N et S par leurs valeurs, et faisant successivement è = 1 , 2, 3 et 4 pour 100, on trouve que la prime annuelle à demander pour loooo francs doit être :
^^fr
Si la Compagnie s'engage à payer i pour 100 d'inlérèl.. . 206 » » 1 » 244
Tarifs en usage. — Une seule Compagnie pratique cette combinaison et fixe à 3 pour 100 l'intérêt annuel qu'elle s'engage à payer sur les primes versées : elle applique sans modification le tarif A, calculé d'après Duvillard, pour l'assurance ordinaire sur la vie entière. Or on reconnaît que les primes résultant de ce calcul sont inférieures de 10 à i5 pour 100 (suivant les âges) aux primes pures calculées d'aprèsla Table anglaise, qui donnent la mesure exacte du risque. Ainsi, à 32 ans, la prime pure que nous venons de calculer
ressortait à 299 fr.; la prime appliquée n'est que de 262 fr.; c'est donc une anomalie qu'il est utile de signaler: non-seulement il ne reste rien pour payer les frais, mais la prime ne suffit môme pas pour couvrir le risque couru.
AsgssrsftBBce |»®sis* Ii% %'ie eiatlèi'e sais.* cleva^iL tête^; f9^yi&^sle Î9U presisâeso décès.
197. Cette assurance est un contrat par lequel la Compagnie s'engage h payer un capital au premier décès de deux personnes désignées.
Prime unique. — La prime unique correspondante doit être égale à la valeur actuelle de cet engagement, valeur qui a été calculée au n° 175. Elle est par conséquent, pour un capital assuré de i franc,
I — Xa,6 lognép. (i -;- t)
si l'on suppose que le capital est payé au moment même du décès, et
si l'on suppose que le capital est payé à la fin de l'année dans laquelle arrive le décès.
Exemple. — Si les deux personnes assurées sont âgées de 3o et de l\o ans, on a X = 13,728, et la première valeur de la prime est 0,4616; on a d'un autre côté X = i3,232, et la deuxième valeurde la prime uniqueesto, 4^26, soit 4526 francs pour un capital assuré de 10 000 francs.
Prime annuelle. — Si l'on veut calculer la prime annuelle correspondante, en convenant qu'elle ne sera elle-niéme payable que jusqu'au premier décès, il faut se reporter à ce qui a été établi au n° 171, où l'on a trouvé
Pa,b = — -^r;^ — '
soit, dans l'exemple actuel et pour la deuxième hypothèse,
Tarifs en usage. — Le tarif A est calculé exactement d'après la Table de Duvillard, au moins jusqu'à 60 ans; le tarif B donne les mêmes primes, diminuées de 10 pour 100. Quant au tarif C, bien que la Compagnie qui l'applique fasse profiter les assurés, comme dans les assurances sur une seule tête, de la clause relative aux octogénaires, les primes y sont établies sans tenir compte de cette clause autrement que par le chargement. Les primes annuelles sont calculées d'après la Table anglaise, et chargées de jo pour 100 et de 60 centimes; et les primes uniques sont établies de manière à correspondre aux primes annuelles chargées, comme dans l'assurance sur la vie entière. Nous donnons dans le tableau ci-après un extrait de ces tarifs, en supposant, pour simplifier, qu'il s'agisse de deux tètes du même âge.
ASSURANCE POUR LA VIE ENTIÈRE
SUR DELX TÈTES.
Primes uniques et annuelles assurant un capital de 10 000 francs.
AGE
Prime?
