UNIQUE

ANNUELLES

io34

2il

Tarif C

A PRIME UNIQUE

A PRIMES ANNUELLES

La comparaison des chiffres de ce tableau permet de faire les remarques suivantes :

Dans un même tarif et à un même âge, le bénéfice est plus grand sur une assurance pour la vie entière contractée à primes annelles que sur la même assurance contractée à prime unique. La raison en est que le fait de charger !es primes, soit que le chargement ait lieu directement, comme dans le tarif G, soit qu'il résulte de l'adoption d'une Table de mortalité trop rapide, comme dans les tarifs A et B, revient à adopter pour l'annuité une valeur plus faible que la réalité. Donc la prime annuelle est plus chargée que la prime unique, puisque, en multipliant cette prime annuelle par 1 plus l'annuité adoptée, on doit reproduire la prime unique. Il est entendu que le bénéfice plus grand fait sur la prime annuelle suppose que cette prime est payée jusqu'au décès ; si l'assurance était abandonnée plus tôt, l'importance du bénéfice dépendrait entièrement de la valeur de rachat donnée à la

police; nous ne pourrons aborder ce point que dans le Chapitre XI.

Dans le tarif A, le bénéfice fait sur la prime unique va en diminuant quand l'âge d'entrée augmente; cela se comprend facilement, le bénéfice étant dû à l'adoption d'une Table de mortalité trop rapide pour les âges jeunes, et se rapprochant de la réalité, devenant même trop lente pour les âges avancés. Dans ce même tarif, il n'en est pas tout à fait de même pour les assurances faites à primes annuelles. Le bénéfice fait sur ces opérations résulte de deux éléments : l'un est le chargement de la prime unique, l'autre est la diminution de l'annuité, qui produit un nouveau chargement sur le facteur -— ^-

Or, tandis que le premier élément diminue à partir de l'âge de 2 1 ans, le second, au contraire, augmente, et le résultat définitif offre des variations dans les deux sens.

Au delà de 60 ans, les primes uniques et annuelles étant toutes augmentées de 10 pour 100 de leur valeur, il se produit dans le bénélice, tant à prime unique qu'à prime annuelle, une augmentation brusque, et la diminution continue ensuite à se faire sentir pour les âges dépassant 61 ans.

Dans le tarif B à primes annuelles, le bénéfice d'une opération diminue constamment quand l'âge augmente de 21 ans à 60; la raison en est que la prime du tarif A est diminuée de 10 pour 100 de sa valeur, c'est-à-dire d'une quantité toujours croissante; qu'ainsi le chargement n'augmente plus que très-faiblement en valeur absolue, tandis que le temps pendant lequel on profitera de ce chargement diminue rapidement. Le tarifs à prime unique ne correspond nullement au même tarif à primes aniRielles; les primes à un même âge ne sont plus liées entre elles par la relation fondamentale (96), et la prime unique étant diminuée de 10 pour 100 de sa valeur, c'est-à-dire d'une quantité qui augmente avec l'âge, le bénéfice ou chargement de la prime unique diminue rapidement quand l'âge augmente ; il devient presque nul à 60 ans, la prime restant à peine supérieure à la prime unique pure, II. ï5

OU à i;i valeur réelle du risque, tandis qu'à cet âge il restait encore un bénéfice sur l'opération faite à primes annuelles. A pai tir de 6i ans, il y a, comme dans le tarif A, une augmentation brusque dans le bénéfice obtenu, tant à prime unique qu'à primes annuelles; et la diminution continue ensuite à se faire sentir pour les âges dépassant 6i ans.

Dans le tarif C à primes annuelles, le bénéfice augmente constamment à mesure que l'âge est plus avancé, et augmente d'une manière progressive. Dans le môme tarifa prime unique, le bénéfice est à peu près constant depuis 21 ans jusqu'à 60; il est plus élevé, mais avec marche décroissante, de 61 à 70 ans.

Il serait facile d'établir un tarif qui donnerait un bénéfice constant, quel que soit l'âge d'entrée ; mais il vaut mieux, comme le font les tarifs usuels, réserver un bénéfice plus fort pour les âges avancés. La raison en est que toutes les Tables dé mortalité connues reposent, pour les âges avancés, sur un trop petit nombre de têtes [voir n*^ 93), qu'elles ne donnent par conséquent que des résultats incertains, et que toute incertitude doit se payer.

Primes annuelles payables sur la tête d'un tiers. — Le payement de la prime annuelle pourrait reposer sur une autre tète que l'assurance proprement dite : ainsi, le capital assuré restant payable au décès d'une personne de 32 ans, les primes annuelles pourraient être payables du vivant d'une autre personne âgée, par exemple, de [\o ans. Cette combinaison ne répondrait pas aux besoins de la pratique, mais il serait facile de calculer le montant de la prime. La prime unique ne changerait pas, et la prime annuelle s'obtiendrait, ainsi qu'il a été dit au n** 178, en la divisant par i + X,,,,. La prime annuelle serait donc, dans (^ette hypothèse,

Primes temporaires.— Pour éviter d'avoir une prime à payer pendant toute la durée de sa vie, on choisit quelquefois la

combinaison dite à primes temporaires, dans laquelle les primes ne sont exigibles que pendant un certain nombre d'années, même dans le cas où l'assuré vit plus longtemps. Cette combinaison est plus rassurante pour l'esprit; et, si le délai choisi atteint 25 à 3o ans, elle conduit à des primes à peine plus élevées que les primes viagères. Le délai choisi est assez ordinairement de 20 années, et alors la prime est un peu plus élevée. Si l'assuré veut payer une prime temporaire, c'est-à-dire exigible pendant n années seulement, les payements seront au nombre de n, le premier étant fait d'avance, et cesseront, dans tous les cas, à son décès. Les primes seront alors déterminées parla formule (97)

nfa — ^ Y •

Supposons qu'il s'agisse toujours de l'assurance d'un capital de 10 000 francs au décès d'une tête de 32 ans, et que l'assuré veuille en acquitter le prix au moyen de primes payables pendant 20 ans au plus, et reposant sur sa tète. P est toujours égal à 3i64 francs; ,9X30 est égal à 12,070; par conséquent, la prime cherchée sera

Tarifs en usage. -Pour ce mode de payement des primes, le tarif A est exactement conforme aux résultats du calcul fait d'après la Table de Duvillard. Le tarif B donne les mêmes primes, diminuées de 10 pour 100. Le tarife donne les primes calculées d'après la Table ff'^, et augmentées d'un chargement de 10 pour 100, plus aS centimes pour 100 francs de somme assurée.

Bénéfice de Vopération. — Le bénéfice moyen d'une opération s'obtiendra en multipliant le chargement réel, c'est-àdire la différence entre la prime annuelle de chaque tarif et la prime pure calculée d'après la Table H", par l'annuité temporaire payable d'avance, et calculée également d'après la Table ff'. Le tableau ci-après indique ce bénéfice moyen pour

divers âges d'entrée, en supposant qu'il s'agisse d'une assurance de loooo francs, et de primes payables pendant 20 ans, durée qui est la plus adoptée.

ASSURANCE POUR LA VIE ENTIÈRE