L'assurance temporaire peut avoir pour objet de

garantir le payement d'un capital dont l'importance varie suivant l'époque du décès de l'assuré. Supposons que l'on demande à la Compagnie de s'engager à payer un capital c, si le décès de l'assuré, dont l'âge est a, survient dans la première année; un capital Co si le décès survient dans la deuxième année, etc., et c,i s'il survient dans la n^'''"^ année, les capitaux <?,, Cn, c^,... variant d'année en année, et toute assurance disparaissant si le décès n'est pas survenu dans le délai de n années.

La prime unique d'une semblable assurance est facile à déterminer. En effet, la Compagnie doit être considérée dès à présent comme assurant le plus petit capital c,i pendant /î années, plus la différence c„, — c„ pendant n — i années, plus c„o — c,i, pendant n — 2 années, etc., plus enfin c, — c., pendant une année. La prime unique sera donc donnée par ia formule

Le cas le plus simple est celui où les capitaux assurés vont, d'une année à l'autre, en diminuant d'une quantité

constante, égale à - du capital assuré pendant la première

année; de sorte que c, peut être représenté par n francs, C.2 par n — i francs, etc., et enfin c,^ par i franc.

La prime unique se réduit alors à •

ce qui, en tenant compte de la relation (117), prend la forme

Exemple. — Quelle est la prime unique à verser pour que la Compagnie prenne l'engagement de payer 100000 francs, si le décès d'une personne âgée de 3o ans survient pendant la première année, qSooo s'il survient dans la deuxième année, etc., et enfin 5ooo si le décès survient dans la ving-

— aSo —

tième année, tout engagement cessant pour elle, passé ce délai.

Faisons, dans la formule (126), a — 3o et /z— 20, nous aurons pour la prime unique

if%38;

Cette prime unique correspond à l'assurance d'un capital de 20 francs la première année, 19 francs la deuxième, et ainsi de suite. Pour obtenir la prime unique cherchée, il faut donc la multiplier par oooo, ce qui donne 6916 francs.

Prime annuelle constante. — 11 ne serait pas possible de remplacer la prime unique par une prime annuelle, payable pendant toute la durée de la vie. En effet, une fois le délai écoulé, la Compagnie ne garantit plus rien, par conséquent le contractant n'aurait plus intérêt à payer les primes suivantes. On ne peut donc stipuler qu'une prime annuelle payable au plus pendant le temps que dure l'assurance.

On tomberait encore dans l'écueil signalé ci-dessus, si l'on voulait stipuler le payement d'une prime annuelle constante, payable pendant toute la durée du délai de garantie, sur la tête de l'assuré. La somme assurée diminuant constamment d'année en année, il arriverait un moment où le risque couru deviendrait plus faible que la prime annuelle; à ce moment, l'assuré n'aurait plus intérêt à continuer ses payements et la Compagnie ne recevrait pas les primes nécessaires pour couvrir les risques importants courus pendant les premières années, ou, ce qui revient au même, pour former l'équivalent de la prime unique afférente à l'opération. Un exemple fera voir à quel moment le risque couru descendrait audessous de la prime annuelle.

Exemple. — Conservons les mêmes données, et supposons que l'on veuille remplacer la prime unique ci-dessus par une prime annuelle temporaire, payable pendant 20 ans sur la tête du contractant, âgé de 3o ans. Cette prime sera déter-

minée parla formule (97) „/>a" ^? ce qui donnera, en

— i ;> I — faisant a == 3o et n = 20,

6qi5 ^rr

L'assuré aurait donc à payer tous les ans une prime de 027 francs. Or, jusqu'à l'âge de 89 ans, il aurait bien intérêt à payer sa prime ; en effet, de Sgà /joans, le risque de décès étant 0,010082, et la somme assurée étant encore de 55ooo francs, il en résulte une espérance mathématique égale à 555 francs, et par conséquent un peu supérieure à la prime annuelle. 3Iais, de l\o 2l l\i ans, le risque de décès est o,oio3o6, et la somme assurée descend à 5oooo francs, ce qui réduit l'espérance mathématique à 5i5 francs, chiffre inférieur au montant de la prime ; ainsi, a partir de l\o ans, l'assuré n'aurait plus intérêt à payer la prime. Une assurance de ce genre ne peut donc se faire qu'avec une prime annuelle décroissante.

Prime annuelle décroissante. — On peut fixer comme on l'entend la loi de décroissance de la prime annuelle. Ce qu'il va de plus simple, c'est de supposer qu'elle diminue chaque année d'une même fraction de sa valeur initiale, et qu'elle devient nulle après le délai de l'assurance : la prime de chaque année reste ainsi proportionnelle au capital assuré pendant cette année. Dans ce cas, la prime est une annuité temporaire variable, payable d'avance, et donnée par la formule (92)

la valeur de U étant fixée par la relation (90)

il a — I i ' a H- n -

Exemple. — Dans l'exemple proposé, la prime devant diminuer tous les ans de ^ de sa valeur initiale, il faut faire k =^ — T(7 ; quant à n, on peut lui donner à volonté la valeur 20 ou la valeur 21, attendu que, si l'on considère 21 primes comme devant être payées, la vingt et unième sera nulle.

On trouve, en effet, pour n = 20,

Y — (i -I- i2,i3i) (1 — r?7'^9) = 7'95» et pour n — 2 1

ï j __- S:io — S50 — 20 Nso Q ^-i^ Y ::= { I -r- I 2,5o 1 j ( I — y^ 8 , 23 1 = 'J , g5.

On arrive donc pour l'annuité variable, payable d'avance, à la même valeur y^^gS; et, par suite, la prime annuelle de l'assurance en question ressort à

8io'

A^sui'aiice oeaixte.

209. On appelle assurance mixte un contrat par lequel la Compagnie s'engage à payer un certain capital au décès de l'assuré, si ce décès survient dans un délai fixé, et, à la fin de ce même délai, si l'assuré est alors vivant. Ce nom de mixte vient de ce que cette assurance est considérée comme participant à la fois de l'assurance en cas de vie et de l'assurance en cas de décès. Cette assimilation peut être justifiée au point de vue de l'assuré, qui pourra en effet toucber un capital en cas de vie, comme il pourra en laisser un à ses héritiers en cas de décès; mais elle n'est plus exacte au point de vue des définitions de l'assurance en cas de décès et de l'assurance en cas de vie. Cette dernière est une opération, en vertu de laquelle la Compagnie aura un capital à payer si le contractant est vivant à une certaine époque, mais n'aura pas de capital à payer si le contractant n'est pas vivant; dans toutes les assurances en cas de vie, la vie du contractant rend exigible, ou au moins aggrave l'engagement pris par la Compagnie, et ce n'est qu'à cette condition qu'une opération

peut rentrer dans la classe des assurances en cas de vie. Or, quand on a contracté une assurance mixte, la vie de l'assuré ne peut en aucun cas aggraver l'engagement pris par la Compagnie. Si la période convenue est de 20 années par exemple, la Compagnie peut être considérée comme prenant à la fois deux engagements : par le premier, elle s'oblige à payer le capital dans ao ans; c'est là le minimum (le l'obligation qu'elle aura h remplir; parle second, elle s'engage, en cas de décès de l'assuré, à anticiper ce payement, ou, ce qui revient au même au point de vue des calculs, à en payer l'intérêt pendant tout le temps qui s'écoulera depuis le décès de l'assuré jusqu'à l'expiration du délai de vingt années. Le décès de l'assuré est donc la seule circonstance qui puisse aggraver l'engagement de la Compagnie; si l'assuré n'est pas décédé dans le cours de 20 années la Compagnie aura le capital à payer, non pas parce (jue l'assuré sera vivant, mais parce que l'échéance la plus éloignée possible de son engagement sera arrivée. Cela est si vrai que si, à l'expiration de 20 années, on ne pouvait prouver ni l'existence, ni le décès de l'assuré, la Compagnie devrait néanmoins payer le capital convenu. En conséquence, les assurances mixtes sont uniquement des assurances en cas de décès. Cette rectification a son importance au point de vue du choix de la Table de mortalité qu'il faut appliquer pour le calcul de leurs primes. Du reste, sans s'arrêter à l'expression de mixtes, toutes les Compagnies emploient pour ces assurances la même Table de mortalité que pour les assurances en cas de décès.

Prime unique. — Il y a plusieurs manières de calculer la prime unique de l'assurance mixte, en décomposant cette opération en plusieurs autres équivalentes.

1*^ Soiental'àge de l'assuré, 71 la durée de l'assurance. Nous supposons le capital payable, en cas de décès, à la fin de l'année du décès. La Compagnie est alors dans la même position que si elle avait fait une assurance temporaire de n années, et si elle s'était engagée en outre à payer le capital dans

n années en cas de vie. La valeur du premier engagement est P« — Pa+„Q"; la valeur du second est Q;;. En remplaçant Va et Va-^n p^i" Icurs valcurs tirées de la formule (78), on obtient pour la prime unique de l'assurance mixte de i franc

i-/(x„-x:;)-^wq: t N„^„-,

(^"7 ) r+-7 "^^'-^V-Tt ^7"

i"" La Compagnie est encore dans la même position que si elle payait de suite le capital, et si elle en touchait l'intérêt pendant n — i années sur la tête de l'assuré ; la valeur de son

engagement est donc """ % valeur qui, d'après la formule (68), est égale à la précédente.

3° La Compagnie peut encore être considérée comme payant le capital au décès, et payant en outre l'intérêt de ce capital, différé de n — i années, sur une tête d'âges -h zz — i.La valeur

^ X 0"~' actuelle de son en.'j[affement est donc P^^H — i-^" i^^i^, ^.g q^j

d'après les formules(78)et(49), revient encore à lavaleur précédente.

4*^ Enfin on peut encore retrouver la même valeur, en supposant que la Compagnie s'engage à payer le capital dans n années, et s'engage, en outre, à en payer l'intérêt, depuis le décès de l'assuré jusqu'à l'expiration de ce délai.

Premier exemple. — Quelle est la prime unique d'une assurance mixte de loooo francs, d'une durée de 20 années, sur une tête âgée de '3o ans?

Il faut, dans la formule, faire « = 3o et /z = 20, ce qui donne

Dso i,o4D3

soit, pour 10 000 francs de capital, une prime unique de 4950 francs.

Deuxième exemple. — Quelle est la prime unique d'une assurance mixte de 10000 francs, faite sur une tête de Sa ans,

pour une durée de 53 ans, le payement du capital devant avoir lieu, au plus tard, à l'âge de 85 ans? Il faut faire « = 32 et ti — 53, ce qui donne

Pi'' H TTT" = o,3ib3q(j -- 0,00107b -^ 0,3174,

soit 3174 francs pour un capital de loooo francs. Dans cet exemple, l'échéance de l'assurance mixte étant fixée à un âge très-avancé, on voit que la prime unique est à peine supérieure à la prime unique de l'assurance pour la vie entière.

Prime annuelle. — L'assurance mixte ne peut pas, en pratique, se réaliser par des primes annuelles payables pendant toute la durée de la vie, mais seulement par des primes temporaires, payables au plus pendant le temps assigné pour durée à l'assurance mixte dont il s'agit.

Si ces primes se payent sur la tête assurée et pendant un nombre d'années n égal à la durée de l'assurance, leur importance sera, d'après la formule (97), fixée à

soit, dans le premier exemple ci-dessus,

Si les primes devaient se payer seulement pendant un temps m plus petit que n, leur valeur ressortirait de même à

Ainsi, dans le deuxième exemple ci-dessus, si l'on veut que l'assuré n'ait plus de prime à payer à partir de l'âge de 80 ans, comme il est entré à 32 ans, il faut admettre qu'il payera au plus 48 primes, dont la première d'avance; il faut donc faire m = 48, ce qui donne pour la pi'ime annuelle

La prime étant ici exigible jusqu'à un âge avancé, on voit que son montant est de fort peu supérieur au montant de la prime annuelle d'assurance pour la vie entière, qui est 178^01.

Tarifs en usage. — Les tarifs des assurances mixtes ont plusieurs fois varié. Actuellement, le tarif A applique les primes calculées d'après la Table de Duvillard, et augmentées de 10 pour 100 de leur valeur. Le tarif B applique les primes du tarif A diminuées de 10 pour 100 de leur valeur. Dans le tarif C, les primes annuelles sont cbargées : i'' de 5o pour 100 de la portion aléatoire de la prime, c'est-à-dire de la différence existant entre la prime et l'annuité qui serait nécessaire pour constituer le capital au terme de l'assurance, sans aucune considération de vie ou de décès; a° de i pour 100 de leur valeur; 3"de la somme nécessaire pour constituer au début de l'opération une fraction de 2 pour 100 du capital assuré. Les primes uniques du tarif C ont été calculées en multipliant les primes annuelles chargées par les annuités correspondantes; aussi dans ce tarif une opération donne-t-elle le même bénéfice, soit à prime unique, soit à primes annuelles. Nous donnons, dans le tableau ci-après, un extrait de ces tarifs.