A PRIME UNIQUE OU A PRIMES ANNUELLES

Bénéfice moyen de l'assurance d'un capital de survie de 10000 francs.

AGES

Tarif A.

Tarif B.

Tarif C.

PRIME

l'N'ini-i:.

PRIMES ANNUELLES

PRIME LNIÇIUE.

PRIMES ANNUELLES

PRIME UNIQUE

PRIMES ANNUELLES

Prime annuelle temporaire. — On peut encore stipuler que la prime, tout en n'étant payable que jusqu'au premier décès, ne sera également payable que pendant n années au plus. Dans ce cas, elle sera déterminée par la formule (107), qui donne

I H-«iXa,i

soit dans l'exemple choisi, et pour une durée de 20 années,

Primes annuelles remboursables. — Une autre combinaison pour le payement des primes annuelles consiste à stipuler que, . si la tête bénéficiaire A vient à décéder avant la tête assurée B, la Compagnie devra rembourser toutes les primes qu'elle aura reçues.

Dans ce cas, on aura recours au mode de calcul exposé au n° 206. Si l'on appelle p la prime annuelle ordinaire de l'assurance de survie, telle qu'elle est donnée par la formule (129), 71 la prime annuelle assurant le remboursement, en cas de survie de B à A, des annuités de i franc versées, et X la prime annuelle de la combinaison proposée, cette dernière devra se composer de/?, prime de l'opération principale, et de Tix, prime assurant le remboursement. On aura donc

ce qui donne

AsguFanee teisiporaipe d'un ej^pâtal de suii'^^Be.

2Î2. L'assurance d'un capital de survie peut être temporaire; elle a alors pour effet d'assurer un capital payable au décès de la tête assurée B, à la condition que la tête bénéficiaire A soit alors en vie, et à la condition que le décès survienne dans un délai déterminé, que nous représenterons par n années.

Prime unique. — La prime unique de cette assurance est égale à la prime unique P/, de l'assurance de survie contrac-

tée sans limite de temps, moins la prime unique d'une semblable assurance contractée aux âges h-\- n Qia-^n ramenée à sa valeur actuelle. Pour ramener cette dernière prime à sa valeur actuelle, il faut la multiplier par Q"^, puisqu'on n'aura à la contracter dans n années que si A etB sont alors vivants tous deux. La prime unique cberchée est donc

Assuraiiee teifiaisoriaii'e «8'uei capital de gesi*^ie,

jîaysalsle à tei"aï»e Hxe.

213. Cette assurance a pour objet de garantir un capital qui sera payable à une époque fixe, à la double condition qu'une tête assurée B n'existera plus à cette époque, et qu'une tête bénéficiaire A existera encore. Cette combinaison diffère donc de la précédente en ce que le capital n'est pas payable au décès, mais seulement à une époque déterminée d'avance, soit après n années écoulées.

Prime unique. — Si le capital était payable dans n années

sans condition, sa valeur actuelle serait •• cette valeur,

c'est-à-dire la prime unique qui la représente, doit donc être réduite à

ce qui peut encore se mettre sous la forme

Prime annuelle. — La prime annuelle doit reposer sur les deux têtes A et B réunies, et elle ne doit être payable que pendant un nombre d'années m inférieur à/i; car, si elle était payable pendant toute la durée du différé, les assurés auraient, vers la fin de ce laps de temps, plus d'intérêt à abandonner leurs contrats qu'à payer leurs primes, c'est-à-dire que la Compagnie ne recevrait pas le prix entier des risques qu'elle aurait eu à courir pendant les premières années. La prime annuelle sera alors donnée par la formule

Exemple. — Un père, âgé de 32 ans, veut assurer à son fils, âgé de 1 ans, un capital de loooo francs, qui devra lui être payé dans 19 ans, mais seulement dans le cas où à cette époque le fils serait vivant, et le père décédé.

La Table de mortalité anglaise n'ayant été établie qu'à partir de l'âge de lo ans, il faut employer pour cet exemple la Table de Deparcieux, qui du reste s'en rapproche beaucoup pour les parties communes. La prime unique ressort alors, d'après la formule (i3o), à

soit 75 1 francs pour un capital assuré de 10 000 francs.

Quant à la prime annuelle, si l'on veut qu'elle soit payée pendant 16 ans seulement, c'est-à-dire que les versements cessent quand l'enfant aura atteint l'âge de 18 ans, il faut faire m= 16, et sa valeur ressort alors à

75' 7^1 __^gf,

Cette combinaison n'a été mise en pratique en France que par une seule Compagnie, sous le nom d'assurance d'un capital de dotation; mais son emploi ne s'est pas répandu. Le tarif est établi au point de vue des enfants, comme dans l'exemple qui précède ; on a employé pour les adultes la Table de mortalité anglaise, et pour les enfants une Table de mortalité spéciale, qui a été dressée en Angleterre, en 1871, par M. Bowser, sur î65'3 têtes d'enfants, et qui est rapportée dans le Journal des Actuaires anglais de 1872. Les primes ainsi calculées ont été augmentées d'un chargement de 5o pour 100.

Assurance il'îiaa eapital «le sMrvàe smi* ti'ois têtes.

214. Quand il y a trois têtes en jeu, on peut stipuler que le capital assuré sera payable si une tête déterminée meurt la première, ou bien si elle meurt la seconde, ou bien si elle meurt la dernière. Nous examinerons successivement ces trois cas, en désignant par A, B, C les trois personnes en jeu, et par a, b, c leurs âges.

Premier CAS. — Capital payable si k meurt le premier . — En examinant tous les cas possibles, on arrive, au moyen d'une analyse (qui est donnée en détail dans l'ouvrage de M. Maas : Théorie élémentaire des annuités viagères), a trouver que la valeur approximative de la prime unique relative a cette assurance, le capital assuré étant toujours payable en fin d'année, est donnée par la formule suivante, dans laquelle P^ représente la prime unique en question :

Second cas. — Capital payable si A mewr/ le second des trois. — La Compagnie est dans le même cas que si elle s'engageait à payer le capital si A mourait avant B, à le payer également si A mourait avant C, mais si elle devait le recevoir deux fois dans le cas où A mourrait le premier des trois. Par conséquent, la prime unique relative à cette assurance sera

1> c 'bc

Troisième cas. — Capital payable si A meurt le dernier des trois. — La prime unique est égale à celle d'une assurance sur la tête de A, diminuée des primes uniques assurant le capital, soit dans le cas où A meurt le premier, soit dans le cas où il meurt le second. Elle est, par conséquent, donnée par la formule (i33) P = '-^^ - P,, - P,, -r- P^.

b c bc

Nous ne donnons pas d'exemple relatif aux assurances de survie d'un capital sur trois têtes, parce que la formule (i3i) exige, pour son application, que les annuités sur trois têtes soient calculées avec une grande approximation, c'est-à-dire avec au moins deux décimales exactes. La raison en est que ces annuités entrent dans la formule (i3i), les unes avec le signe -h, les autres avec le signe —, de sorte que ce sont réellement leurs différences qui restent en jeu, ce qui suppose une assez grande précision. Or la méthode de Simpson, que nous avons indiquée au n° 172, donne à peine ces annuités avec une décimale exacte; il faudrait donc recourir, pour le calcul des sept annuités qui y figurent, à l'emploi de la formule de Gompertz, ou mieux de celle de Makeham, ce qui serait très-long.

@GaE° g»Sei@ de trois têàe@.

215. Quand il y a plus de trois têtes en jeu, les assurances de survie peuvent donner lieu à des cas particuliers trèsnombreux. Nous nous bornerons à en examiner un, h titre d'exemple.

Quatre personnes sont âgées de ao, 3o, /jo et 5o ans. On demande quelle est la prime unique nécessaire pour assurer un capital de looooo francs, payable seulement dans le cas où la tête la plus jeune, âgée de 10 ans, mourrait la première. On demande également quelle est la prime annuelle, supposée payable jusqu'au premier décès.

Soit P la prime unique cherchée, le capital étant payable à la fin de l'année du décès et la Table employée étant la Table ff'. La probabilité que le capital sera exigible à la fin de la première année est

fi a)- fia -^-i) fih^u,}fic-^i)fid+j) /(«) f{b)f[c)f[d)

la probabilité qu'il sera exigible à la fin de la deuxième an-

— 2^9 née est de même

fia) f{b)f{c)f{d)

et P aura pour valeur

Xi Cil y.',,;

cette série s'arrêtant au 46^ terme, parce que le nombre des vivants est réduit à o à l'âge de 97 ans.

La prime unique peut ainsi se déterminer d'une manière très-élémentaire. Si l'on veut éviterde calculer tous ces termes, on se bornera h en calculer quelques-uns, également espacés, et l'on construira une formule de sommation basée sur leurs valeurs numériques.

Prenons, par exemple, un intervalle de 1 5 ans ; on calculera les termes a,, a, g, «3,, et l'on pourra considérer le terme a^g comme égal à o, ce qui donnera quatre valeurs numériques. On obtiendra, soit au moyen de la formule d'interpolation de Newton, soit plutôt par la formule de Lagrange, une fonction qui prenne ces quatre valeurs pour des valeurs de x égales à o,t5, 3o et 45, et qui soit du 3*^ degré seulement : on en fera ensuite la sommation au moyen des formules connues.

Dans l'exemple proposé, on arrive ainsi, en employant la Table H'', à trouver une prime unique égale à 6471 francs.

Si l'on veut calculer également la prime annuelle, supposée payable tant que les quatre personnes sont encore en vie, il faut chercher l'annuité sur les quatre têtes réunies, que l'on trouvera égale à 8,774; la prime annuelle ressoi't ainsi à

Assurance d'une renie de survie.

216. Cette assurance est un contrat par lequel la Compagnie s'engage, si une personne déterminée, que l'on appelle

V assuré, \\ent à mourir avant une autre personne également déterminée, que l'on nomme le bénéficiaire, à servir au bénéficiaire une rente viagère, exigible à partir du décès et pendant toute la durée de sa vie.

Prime unique. — La Compagnie est dans la même position que si elle payait, dès à présent, une rente viagère au bénéficiaire, et si elle recevait en même temps une rente viagère reposant sur les deux têtes et s'éteignant au premier décès. La valeur de son engagement est donc égale à l'annuité sur la tête bénéficiaire, moins l'annuité sur les deux têtes réunies, c'est-à-dire qu'en désignant l'âge du bénéficiaire par b et l'âge de l'assuré par a, la prime unique, pour une rente de 1 franc, doit être fixée à

fi34) Pz=Xi-X„>

Exemple. — Chercher la prime unique de l'assurance d'une rente de survie de 1000 francs, sur une tête assurée de 20 ans, au profit d'une tête bénéficiaire de 60 ans.

Il faut faire a z:i: 20 et Z> — 60,

P = X6o — X2o,co = 9,45'9— 8,942 = 0,517^

soit une prime unique de 517 francs pour une rente de survie de 1000 francs.

Prime annuelle. — La prime annuelle est généralement payable jusqu'au premier décès; elle est alors égale à

Exemple. — Dans l'exemple précédent, la prime annuelle sera par conséquent

Tarifs en usage. — Le tarif A applique exactement les primes calculées d'après la Table de Duvillard; le tarif B applique les mêmes primes, diminuées de 10 pour 100; enfin le tarif C applique les primes annuelles calculées d'à-

près la Tabip îinglaise, avec un chargement de lo pour loo et Je 20 centimes pour 100 francs. Quant aux primes uniques du tarif C, elles sont calculées en multipliant la prime annuelle chargée par l'annuité correspondante. Aussi le bénéfice sur l'un ou l'autre mode de payement est-il à très-peu près le même dans le tarif C; la différence vient de ce que le tarif a été calculé avec la Table H^"", tandis que nous évaluons le bénéfice avec la Table H", qui est devenue d'un emploi beaucoup plus commode que tout autre, depuis que les Actuaires anglais ont publié, pour ce qui la concerne, de nombreuses Tables auxiliaires. Nous donnons ci-après un extrait de ces tarifs.

ASSURANCE DE SURVIE

Primes uniques et annuelles assurant une rente de 1000 francs.