RENTE VIAGÈRE DIFFÉRÉE

Primes uniques et primes annuelles

assurant une rente viagère différée de 1000 francs, payable par semestre

et dont la jouissance commencera après 20 années.

AGE

du contractant.

PRIME UNIQUE

PRIME ANNUELLE

3ii

Rente viagère «liâTérée avec E*eiul)oaBH*seBfiteiit des prîmes.

233. Prime unique. — On peut se constituer une rente viagère différée en versant une prime unique et en convenant que cette prime unique sera remboursée au décès, à quelque époque qu'il arrive.

Dans ce cas, le contractant ne se dessaisit que de l'intérêt de la prime unique pendant la durée de sa vie; en appelant P cette prime, il faut donc modifier la formule (149) et écrire

d'où

Exemple. — Un homme de 25 ans veut se constituer une rente différée de 6000 francs, à partir de l'âge de 60 ans, à la condition que le capital versé sera restitué à sa famille lors de son décès. Quel doit être ce capital?

— 3o4 — Il faut faire « = ^5 et /i = 35, ce qui donne

o,o4 Gj

;,ii4,

soit 12 684 francs pour une rente de 6ooo francs.

Primes annuelles . — On peut demander encore d'acquitter le prix de la rente viagère différée au moyen de primes annuelles payables pendant 71 années, à la condition que le montant de toutes les primes versées sera remboursé au décès, h quelque époque qu'il arrive. On trouve alors, par un raisonnement analogue, que la prime annuelle doit être fixée à

f (G„,,-hG,+ ... +G.

Exemple. — Pour constituer la même rente que dans l'exemple précédent, la prime annuelle, remboursable au décès, doit être fixée à

soit une prime annuelle de 858 francs pour une rente de 6000 francs.

Si la prime unique versée pour constituer une rente viagère différée doit être restituée au moment de l'entrée en jouissance, ou de suite en cas de décès avant cette époque, on reconnaîtra facilement que le montant de cette prime unique doit être fixé à

pour I franc de rente, soit i3848 francs dans l'exemple cidessus.

Enfin, si la prime unique versée doit être restituée au décès, mais seulement dans le cas où ce décès surviendrait avant l'entrée en jouissance de la rente, cette prime unique

doit être fixée à

fi55)

pour I franc de rente, soit ii 190 francs dans l'exemple cidessus.

234. On appelle usufruit d'un capital ou d'une rente la jouissance de ce capital ou de cette rente pendant la vie d'une ou de plusieurs personnes déterminées; et nue propriété sa propriété à partir de l'extinction de l'usufruit, de sorte que l'usufruit et la nue propriété réunis constituent la propriété intégrale.

Un achat d'usufruit, fait par une Compagnie, est un placement de fonds, combiné avec une assurance en cas de décès, puisque c'est le décès de l'usufruitier qui doit faire subir une perte à la Compagnie. On doit donc, pour acheter un usufruit, faire subir un examen médical h la personne sur la tête de laquelle il repose, et adopter pour elle la Table de mortalité W\

On peut avoir à acheter l'usufruit d'une rente ou l'usufruit d'un capital; mais le premier cas peut seul être soumis au calcul : le second cas doit se ramener au premier par des considérations économiques ou légales. En effet, l'usufruit d'un capital n'a de valeur que suivant l'emploi que l'usufruitier est autorisé à en faire, suivant le produit annuel qu'il peut en retirer. Il faut donc chercher d'abord quel est ce produit annuel; et, quand ce produit a été déterminé, le calcul de l'usufruit du capital revient au calcul de l'usufruit d'une rente.

Usufruit d'une rente.

Le prix actuel de l'usufruit d'une rente de i franc est, d'après sa définition, égal a l'annuité sur la tète de l'usufruitier, calculée au taux ordinaire et avec la Table de mortalité H". On peut arriver au même résultat en remarquant que la Compagnie, en achetant un usufruit, se place dans la même position que si elle assurait pour la vie entière un capital égal au prix d'achat (payable en commencement d'année), sur la tête de l'usufruitier, et si elle le versait d'avance, en se privant de plus de recevoir la première prime. Dans ces conditions, une prime pure/? (calculée avec cette condition que le capital sera payable au commencement de l'année du décès) n'assure qu'un capital i — /?; et par conséquent, si / représente le taux d'intérêt admis pour le placement de fonds, le prix de l'usufruit d'une rente de i franc doit être

Si l'on remplace, dans cette expression, p par sa valeur tirée des formules (96) et (80), on retrouve précisément l'annuitéX. Il ne s'agit ici, si test égal à 4 pour 100, que d'un prix net, calculé sans chargement, c'est-à-dire sans aucune marge pour payer les frais et former le bénéfice de la Compagnie. Si celle-ci l'adoptait comme prix d'achat, elle réaliserait un placement de fonds à l\ pour 100, et une assurance à la prime pure; elle devrait donc se considérer comme ne faisant ni perte ni bénéfice. Pour former le bénéfice, on peut retrancher du prix net ainsi calculé une somme quelconque, que la Compagnie détermine comme elle l'entend. Si celle-ci veut établir son prix d'achat de manière que le capital déboursé par elle se trouve placé, pendant la durée de l'usufruit, à un taux déterminé t, il suffit d'introduire cette valeur de t dans la formule (i 56). Si l'on veut, en outre, que la partie de l'opéra-

tion qui constitue l'assurance en cas de décès comporte un chargement pour la prime, il ftiudra prendre pour p dans cette même formule la prime du tarif au lieu de la prime pure.

Exemple. — Quel est la valeur de l'usufruit d'une rente de looo francs, reposant sur une tête de 3o ans ?

La valeur nette, sans chargement, est égale à l'annuité sur une tête de 3o ans, soit 17 i3i francs.

Si l'on veut que l'opération donne un bénéfice de 4ooo francs, on fixera le prix d'achat à i3i3i francs. Si l'on veut que le capital déboursé rapporte G pour 100, on le fixera à

looo ^17; — - — p. = 12702

0,01 'jab + 0,00

Si l'on veut que le capital déboursé rapporte 6 pour 100, et qu'en même temps l'assurance qui fait partie de l'opération soit faite d'après le tarif C, on prendra pour p la prime du tarife. Le prix cherché sera alors

0,02l4 + U,oG

Achat d'un usufruit temporaire.

235. Le prix actuel de l'usufruit d'une rente de i franc, payable pendant n années au plus, est égal à l'annuité temporaire de n années sur la tête de l'usufruitier. On peut arriver au même résultat par le raisonnement suivant : la Compagnie se place dans la même position que si, d'une part, elle assurait un capital sur la tête de l'usufruitier pendant n années, et le payait d'avance, en se privant de recevoir la première prime, et si, d'autre part, elle recevait la somme qui représente la valeur actuelle du capital assuré dans l'hypothèse où l'usufruitier serait vivant dans n années. Une prime „P(i n'assurant dans ces conditions qu'un capital i —„pa, le

prix de rusufruit d'iine rente temporaire de i franc doit être, si l représente le taux de l'intérêt,

" ' ' nPa + t

Si l'on remplace, dans cette expression, „/>« par sa valeur tirée de la formule (97), et multipliée préalablement par \-t-t pour tenir compte de ce que le capital est payable en commencement d'année, on retrouve l'annuité ^.X^.

La Compagnie ne réalise ainsi, si ^ est égal à 4 pour 100, qu'un placement de fonds à ce taux, et une assurance a la prime pure. Pour former le chargement, on peut retrancher du prix net ainsi calculé une somme arbitraire; ou, si Ton veut que le capital déboursé parla Compagnie se trouve placé, pendant la durée de l'opération, à un taux supérieur à 4 pour îoo, on prendra ce taux pour la valeur de /; ou enfin, si l'on veut que la partie de l'opération qui constitue l'assurance en cas de décès comporte un chargement pour la prime, on prendra pour p la priine du tarif au lieu de la prime pure.

Exemple. — Quelle est la valeur de l'usufruit d'une rente de 1000 francs pendant 10 ans, reposant sur une tête de 35 ans ?

La valeur nette, sans chargement, est égale à l'annuité ,0X35, soit 7716 francs.

Si l'on veut que l'opération rapporte un bénéfice de 2000 francs, on fixera le prix d'acliat à 5716 francs. Si l'on veut que le capital déboursé rapporte 6 pour 100 pendant les 10 ans, on prendra ^^o,o6, ce qui donne, en prenant pour ,o/?35 la valeur 0,0096 calculée au n° 202, multipliée par i,o4, soit 0,01,

Si enfin l'on veut que le capital déboursé rapporte6 pourioo, et qu'en môme temps l'assurance qui fait partie de l'opération

— 3of) —

se trouve faite au tarif C, on prendra pour la prime d'assurance ia prime de ce tarif: o, oi 87 :<i,o4 = 0,019, et la formule (157) donnera pour le prix d'achat

AcBeat ifle saue itropriété.

236. Un achat de nue propriété, fait par une Compagnie, est un placement de fonds combiné avec une assurance en cas de vie, puisque c'est la vie prolongée de l'usufruitier qui doit faire subir une perte à la Compagnie. Pour acheter une nue propriété, on n'a donc aucune visite médicale à faire subir à l'usufruitier, et l'on doit adopter pour lui la Table de mortalité de Deparcieux.

On peut avoir à acheter la nue propriété d'un capital on celle d'une rente; mais le premier cas peut seul être soumis au calcul : le second doit se ramener au premier par des considérations économiques ou légales. En effet, si celui qui a acheté une nue propriété ne doit entrer en possession que d'une rente à l'extinction de l'usufruit, comme l'usage universel est d'estimer les valeurs par l'importance des capitaux qu'elles représentent, et non par l'importance de leurs revenus, il sera obligé alors, et il est obligé dès à présent, d'estimer à quel capital correspond la rente dont il sera appelé à jouir.

Cette évaluation, faite au moment de l'achat, c'est-à-dire longtemps avant l'époque, d'ailleurs incertaine, où l'on entrera en possession, entraîne souvent une grande incertitude dans le calcul du prix cherché. Si, par exemple, il s'agit de la nue propriété d'une rente 5 pour roo de 5ooo francs sur l'État français, valant aujourd'hui 106000 francs (au cours de 106 francs), il faut estimer d'abord quelle sera sa valeur en capital, le jour de l'extinction de l'usufruit. Si l'on croit pouvoir admettre que le crédit de l'État s'améliorera d'ici là, que le taux d'intérêt baissera, et que le 5 pour 100 vaudra alors

— 3io —

iio francs, la renie de 5ooo francs représentera un capital (le I loooo francs. Si, au contraire, on suppose que, par suite de réductions sur la rente, ou de tout autre événement, la valeur sur laquelle on peut compter pour le titre de rente, a l'extinction de l'usufruit, n'est pas supérieure à looooo francs, c'est le capital de looooo francs qui devra être pris pour base du calcul. La recherche de la valeur de la nue propriété d'une rente se trouve donc toujours ramenée au calcul de la valeur de la nue propriété d'un capital.

Nue propriété d'un capital.

La Compagnie qui achète la nue propriété d'un capital de I franc est privée du revenu de ce capital pendant la vie de l'usufruitier, revenu dont la valeur est /X; la valeur de la nue propriété est donc (i58) i-iX;

c'est du reste la prime unique de l'assurance du capital de I franc, payable au commencement de l'année du décès de l'usufruitier. En achetant la nue propriété pour la somme ci-dessus déterminée, la Compagnie réaliserait pour le capital qu'elle débourse un placement au taux t, et une assurance sans chargement.

Pour former le chargement, on peut retrancher du prix d'achat, ainsi calculé, une somme quelconque, que la Compagnie détermine comme elle l'entend. Si l'on veut fixer le prix d'achat, de manière que le capital déboursé par la Compagnie se trouve placé pendant la durée de l'usufruit, à un taux déterminé 0 supérieur à t, on reconnaîtra facilement que la valeur de la nue propriété ci-dessus calculée, i — ^X, doit être égale au prix d'achat, augmenté de l'intérêt de ce prix au taux 0 — t, pendant la vie de l'usufruitier, et qu'ainsi ce prix d'achat doit être fixé à

^^^9) n-Xfe-/)'

- 3ii -

' Exemple. — Quelle est la valeur de la nue propriété d'un capital de loooo francs, dont l'usufruit repose sur une têle de 3o ans?

La valeur nette sans chargement est de

1 oooo ( I — o,o4 X 16,809 ) = 3276'^'".

Si l'on veut quel'opération donne un bénéficede 1 000 francs, on fixera le prix d'achat à 25176 francs; si l'on veut que le capital déboursé rapporte 6 pour 100, on le fixera à

Deuxième exemple. — On trouve dans une succession deux usufruits, reposant sur une tête de 3o ans, et portant le premier sur un titre de rente française 5 pour 100 de 5ooo francs, et le second sur une ferme estimée 106 000 francs : on demande à quels prix doivent être estimés, pour chacun d'eux , l'usufruit et la nue propriété.

Comme il n'y a de bénéfice à rechercher d'aucun côté, il convient d'adopter la Table de mortalité de Deparcieux et le taux d'intérêt de 4 pour 100. La valeur du premier usufruit sera donc

et si la rente 5 pour 100 est cotée 106 Irancs, la valeur de la nue propriété sera

Pour estimer la valeur du second, on rechei'chera quel revenu net on peut admettre pour la ferme en question; si ce revenu net est de 3 .^ pour 100, ou 3710 francs, la valeur de l'usufruit sera

et la valeur de la nue propriété sera

Si l'on cherchait direclement le prix de la nue propriété d'après la formule (i58), en y faisant / ~ 3v pour loo, on retrouverait la même valeur; mais cette valeur ne serait que de 34726 francs, si l'on prenait /= 4 pour 100, c'est-à-dire si le nu propriétaire faisait cette hypothèse que le capital dont il n'a pas la jouissance immédiate rapporterait entre ses mains 4 pour 100 d'intérêt.

On voit donc qu'en pratique la valeur des usufruits et des nues propriétés dépend entièrement du mode de placement qui est adopté pour le capital, et du taux d'intérêt que l'on considère comme normal.

Tarifs en usage. — Il n'y a pas de tarif général pour les achats d'usufruits et de nues propriétés. Ces affaires sont souvent exposées à devenir contentieuses, comme toutes celles dans lesquelles la Compagnie débourse un capital et se met ainsi à découvert, pour avoir des droits à faire valoir dans un avenir éloigné. Le prix d'achat dépend donc, dans chaque cas particulier, de la nature de l'alTaire et de la solidité des garanties offertes: plus ces garanties sont satisfaisantes, et plus on peut diminuer le chargement à ajouter au prix net calculé. Les affaires de ce genre sont du reste peu pratiquées, précisément à cause des risques de contentieux dont elles sont inséparables.

FIN DU PUEMlEîl VOLUME.