DO

12. Théorème de Bayes. — Un événement E peut arriver par plusieurs causes différentes c,, €<>,..., qui toutes sont indépendantes et s'excluent mutuellement. Soient ^1 la probabilité que la cause c^ sera en jeu,/?, la probabilité d'arrivée qu'elle donne à l'événement E quand elle est en jeu, ^o, p^^ ^3,/?3,... des notations analogues. Supposons maintenant que l'événement E ait été observé dans une épreuve, mais sans que l'on sache quelle est la cause qui a été en jeu : la probabilité que cette cause est r, est égale à

p^ qx -^-p^qi -^- • '

Exemple. — Une urne contient à la fois 10 boules blanches, dont 3 marquées d'une étoile; 20 rouges, dont 4 étoilées; et 3o noires, dont 5 étoilées. On en tire une au hasard, qui se trouve étoilée : on demande la probabilité qu'elle soit blanche.

On peut considérer les couleurs des boules comme des causes, dont les probabilités d'arrivée sont différentes, et

respectivement égales à -r, -r, ^-^ ces causes, une fois qu'on

lO —

sait qu'elles sont en jeu, donnent respectivement pour pro-

habilité, à l'arrivée d'une boule étoilée, — » — et t^-- Les

lO 20 ÔO

premiers nombres sont ceux que nous avons représentés par q,

etles seconds ceux que nous avons désignés par /> ; les produits

, . . 3 8 ^ i5 Pi 1\y P-^Qii P'iQz sont donc ici ^-•> — et -5-5 soit, en re- ' ^ -* -* ^ ' ou 120 100

duisant au même dénominateur, ^77^, -^ et -^rpr-- La proba-

000 ibu 000 *

bilité qu'elle est rouge est ^ ou^-, et la probabilité qu'elle

est noire est — ou —

Probabilité des événements composés de la répétition des mêmes événements simples.

13. Soient/? la probabilité d'un événement^E, et q la probabilité de l'événement contraire F. On demande la probabilité que dans un nombre s d'épreuves l'événement E arrivera a fois, et l'événement F, /3 fois, a + p étant égal à s.

Cette probabilité est

en employant la notation assez usitée ^! pour représenter le produit 1.2.3,..., s. Il est important de remarquer que, si l'on développe le polynôme [p -h qY, cette probabilité sera précisément le terme de rang a -f- 1 dans ce développement.

14. Quand a et jS sont de très-grands nombres, on ne pourrait calculer exactement s\ a! et /5! qu'en faisant une longue série de multiplications, mais on peut en obtenir des valeurs très-approchées en faisant usage de la formule de Stirling.

D'après cette formule, l'expression

donne une valeur très-approchée du produit 1.2. 3,..., n. Il

en résulte que la probabilité calculée tout à l'heure a pour valeur

Premier exemple. — Si l'on jette un dé lo fois de suite, les probabilités que le point de 6 se présentera o, i, 2,. . ., 9 et 10 fois sont respectivement égales aux termes en q^ , q" , q- ,. . ., q^ , q^^, dans le développement du binôme

{p -h qy''=: p">-h lop^q -4- 45/>'g^H- 110 p' q^ + -ziop^q' -+- T.S^p^q'' -\- 0.10 p^ q^ -y- 110 p^ q' + ^5 p^q^ -h- 10 pq^ -f- q^",

dans lequel il faut faire p =^ r- et ^ = ^- Ainsi la probabilité

que le point de 6 se présentera précisément 3 fois est

/ 1\' /5\" i2oX5" ^^

La probabilité qu'il ne se présentera pas une seule fois serait égale à ^'^ = ( -T J = o, 162, et la probabilité qu'il se présentera 10 fois serait /)'° = (r ) = 0,00000008.

Deuxième exemple. — On jette un dé 6000 fois : on demande la probabilité d'amener précisément 1000 fois le point de 6.

Comme les nombres sont considérables, on fera usage de la formule (4), qui donnera, pour valeur approchée de la probabilité cherchée,

1/2-r looo "'»''' ^5000^°"°^* \6/ \6^

nombre que l'on peut calculer par logarithmes, et pour la valeur duquel on trouve o,oi383oi .

15. Quel est, dans une série de s épreuves, le nombre de fois que V événement E a le plus de chances de se présenter?

Pour résoudre cette question, il suffit de se rappeler que,

d'après le n" 13, les termes du développement de [p -\- qY représentent respectivement les probabilités que l'événement aura lieu o, i, 2,. . ,, s fois dans s épreuves. Pour trouver le nombre de fois que cet événement a le plus de cbances de se présenter, il sulFit donc de chercher quel est, dans le développement du binôme {p -h qf, le terme le plus grand en valeur absolue. Si l'on représente par « le nombre de fois cherché, on voit facilement que a est le plus grand nombre entier compris dans /? (5 -t- i). De même |3, ou s — a sera le plus grand nombre entier compris dans ^ (^ -1- i ).

Exemple. — Reprenons le second exemple du n'' 14, et supposons que l'on demande, sur 6000 tirages, quel est le nombre de fois que le point de 6 a le plus de chances de se présenter. Ce nombre est le plus grand entier compris dans

p{s-+- i), c'est-à-dire dans 7^ 6001 : c'est donc 1000.

Bien que cet événement, l'arrivée du point de 6 précisément 1000 fois, soit le plus probable de tous ceux qui peuvent se présenter, nous avons vu au n° 13 qu'il n'avait luimême qu'une probabilité très-faible, égale à 0,01 38. Cela tient à ce que le nombre de combinaisons différentes qui peuvent se présenter est très-grand. 11 est ici de 6001; car le point de 6 peut, dans les 6000 épreuves, se présenter zéro fois, ou I, 2, 3 fois, enfin 6999 et même 6000 fois. Seulement les nombres extrêmes représentent des combinaisons dont la probabilité devient infiniment faible. Ainsi la probabilité que le point de 6 se présentera 6000 fois en 6000 tirages

n'est que ^—-i quantité plus faible que tout ce qu'on peut

imaginer.

En pratique, quand le nombre s des épreuves est un peu grand, le nombre de fois que l'événement se présente s'écarte peu du nombre normal, c'est-a-dire du nombre possédant la plus grande probabilité, lequel est égal à /> (^ + i ), ou ce qui revient au même à ps, nombre d'épreuves multiplié par la fraction qui indique la probabilité d'arrivée dans une épreuve

isolée; mais c'est rester dans le vague que de se borner à dire qu'il s'en écarte peu. Si l'on veut serrer la décomposition de plus près, il faut alors poser la question qui fait l'objet du numéro suivant.

16. Quelle est la probabilité pour que, dans une série de s épreuves, V événement E, dont la probabilité est p, se présente un nombre de fois compris entre a. -{- let a. — / ?

C'est évidemment la somme des probabilités que cet événement se présentera a — / fois, a — /-f-i fois,..., a. fois, a 4-1 fois,..., et enfin a -h / fois. C'est, par conséquent, en désignant toujours i —p par q, la somme des termes du développement de [p -h qY compris entre le terme en p^^^ et le terme en p'^~^.

Chacune de ces probabilités serait donnée isolément par la formule du n° 13

|S représentant, pour abréger, s — a, et leur somme n'est autre que l'intégrale, depuis a — /jusqu'à a H-/, de la fonction

; P' a'-' dx.

SJIT. ot-^ ^^-1

17. Dans le cas général, il paraît impossible de déterminer cette intégrale par des méthodes expéditives; mais, en pratique, on a principalement à considérer le cas où le nombre d'arrivées a est précisément le nombre d'arrivées le plus probable, c'est-à-dire/?^. On se propose alors de chercher la probabilité que le nombre d'arrivées obtenu ne s'écartera pas de plus de /, en plus ou en moins, du nombre d'arrivées le plus probable.

Dans ce cas particulier, cette intégrale a pour valeur approchée

pourvu que/? ne soit pas trop petit. Cette formule donne alors une approximation raisonnable; mais elle serait illusoire si l'on voulait l'appliquer aux cas où p est très-petit par rapport

à -■> ou même de l'ordre de -• s s

18. On représente généralement 1 expression — j e"'^' dr^ par la notation abrégée 0 (7), et la probabilité cherchée se représente alors par la notation 0 ( -j^~^ ]•

Cette fonction 0(7) joue un rôle important dans le Calcul des probabilités.

On a calculé d'avance une Table qui donne ses valeurs pour toutes les valeurs de 7. Voici cette Table, telle qu'elle est rapportée dans le numéro d'avril 1 872 du Journal des Actuaires anglais. Si l'on n'a pas besoin d'une grande approximation, il suffira de noter :

i'' Que, quand 7 varie de zéro à 0,61, 0(7) est un peu plus grand que 7, mais sans que la différence atteigne jamaiso,o3;

2^ Que, pour 7 = 0,61 5, 0(7) est égal à 7;

3° Que, quand 7 est plus grand que 0,61 5, 0(7) est plus petit que lui, et que la différence va sans cesse en augmentant;

4° Que, pour 7== i, 17, 0(7) = 0,9; pour 7 = i,83, 0(7) = 0,99; pour 7 = 2,32, 0(7) = 0,999; pour 7 =00, 0(7) est égal à l'unité.

Table des valeurs de 0(y)=:-=z 1 e-i dy.

J T. Jo

o,oii3

o,8iiG

0, ioi3

o,iS

Table des valeurs de S{y) = -^ j e-idy. (Suite.)

o,99jo

co

19. Il résulte des théorèmes des n°^ 15 et 16 que, si un événement a une probabilité d'arrivée/? dans chaque épreuve, et que l'on fasse un grand nombre d'épreuves s, il est probable qu'il se présentera un nombre de fois a peu différent de ps. Cependant ce nombre d'arrivées ne sera pas exactement ps; il oscillera entre certaines limites /?5 + /et/J5 — /; et, par les formules que nous venons de rappeler, on peut calculer, pour chaque valeur de /, la probabilité qu'il ne dépassera pas ces limites. Réciproquement, si 5 et a sont donnés par l'expérience, et que l'inconnue soit la probabilité/?, cette

probabilité/? sera peu différente de -5 elle ne s'en éloignera

que d'une quantité s en plus ou en moins; et, pour chaque

valeur de s, on peut calculer la probabilité P que la valeur

de/? ne dépassera pas les limites - + s et - — s.

Un théorème, dû à J. BernouUi, permet, quand ^ est assez grand, de resserrer dans d'étroites limites l'incertitude qui peut exister sur la valeur de/?. Voici l'énoncé de ce théorème :

20. Théorème de BernouUi. — Soient p la probabilité d'un événement^, a le nombre de fois qii il se présente dans s épreuves; soit P la probabilité que la différence entre p et - sera inférieure

en valeur absolue à z. On peut toujow^s prendre s assez grand pour que P diffcre de V unité aussi peu que Von voudra.

21. Généralisation du théorème de BernouUi. — Ce théorème ne s'applique qu'à un événement simple E, dont la probabilité/? reste constante à chaque épreuve. Poisson l'a généralisé, en l'appliquant au cas où la probabilité de l'événement change à chaque épreuve, et ce savant a formulé ainsi une loi à laquelle il a donné le nom de loi des grands nombres. Nous la rapportons ici, après avoir fait subir h son énoncé une correction qui a été indiquée par M. Bienaymé.

Loi des grands nombres. — Soient/?j, /?o,..., /?^ les probabilités d'arrivées de l'événement E aux épreuves n°* i, 2,..., ^, et^,, q.2,--', '/i les probabilités de l'événement contraire, en sorte que /?, + q, =p2 + ^2 = ••• =/^i + ^.- = ï- Désignons i^ar Ipq la somme des produits partiels/?, ^1, /?2y2''-'?/^*^iî par 0 [x] la fonction

'• Jo

par N le plus grand nombre entier contenu dans la somme des probabilités/?, -+-p. -{- ...; et par Q la probabilité que l'événement E, pendant les s épreuves, se présentera un nombre de fois compris entre N — / et N -H /: la probabilité Q est représentée, avec une grande approximation, par la formule