CALCUL DES PROBABILITÉS

8. Quand on veut appliquer le calcul aux probabilités, on doit avoir recours à chaque instant à quelques propositions élémentaires que nous allons énoncer. Pour la plupart d'entre elles, nous croyons pouvoir nous dispenser d'indiquer les démonstrations, que l'on trouvera dans tous les Ouvrages spéciaux, notamment dans le Traité de M. Laurent : nous aurons seulement à montrer l'enchaînement de ces diverses propositions. Nous rappelons d'abord qu'il n'est question, dans ce Chapitre, que de la probabilité mathématique, et que l'on appelle ainsi le rapport du nombre des cas favorables au nombre des cas également possibles.

Probabilité composée.

9. Théorème I. — Lorsqu'un événement ne peut arriver que par le concours de plusieurs autres, qui sont indépendants entre eux, la probabilité de cet événement est égale au produit des probabilités de tous les autres.

Exemple. — Une urne contient lo boules blanches et 90 noires; une seconde urne contient 90 blanches et 10 noires; on demande la probabilité de tirer successivement une boule blanche de chacune d'elles.

La probabilité du premier événement est —5 celle du second est—-, la probabilité composée du concours de tous les deux est donc -— •

10. Théorème IL — Lorsqu'un événement composé ne peut arriver que par le concours successif de deux autres, et que les résultats du premier influent sur la probabilité d'arrivée du second, la probabilité de l'événement composé est égale au produit de la probabilité du premier parla probabilité que possède le second, quand le premier est déjà arrivé.

Il en serait de même si, au lieu de deux événements successifs, il y en avait un plus grand nombre.

Exemple. — Sur 6 boules, numérotées de i à 6, on en tire une au hasard : on demande la probabilité d'amener un numéro qui soit à la fois impair et plus grand que 3.

La probabilité de tirer un numéro impair est-; la probabilité de tirer un numéro plus grand que 3 est aussi -• Si donc on appliquait le premier principe delà probabilité composée, on donnerait comme solution - x - ou 7- Mais ce ser ' 224

rait inexact, parce qu'une fois qu'on sait que le premier événement a eu lieu, la probabilité du second a pris de nouvelles valeurs, suivant le résultat du premier. Si le premier événement a réussi, c'est qu'on a tiré i, 3 ou 5; la probabilité

que le numéro tiré est plus grand que 3 est donc^, et non plus -• La probabilité du double événement cherché est donc

X T7 = 7T, et non 7; et, en effet, on pouvait voir directement

que le numéro 5 était le seul qui satisfit à la demande, et que la probabilité de l'amener était bien -:•

Probabilité totale.

11. Lorsqu'un événement peut arriver par plusieurs causes indépendantes les unes des autres, si/), représente la probabilité que la première cause sera en jeu, et ^, la probabilité que cette cause donne à l'arrivée de l'événement, si p^, q^.

p^y qs,... représentent des notations analogues pour les autres causes, la probabilité totale de l'événement attendu est

égale à

Exemple. — On a 3 urnes, contenant chacune 3 boules blanches et 7 rouges, et 8 urnes contenant chacune 8 blanches et 1 rouges : on tire une boule d'une urne prise au hasard, et l'on demande la probabilité qu'elle sera blanche.

Il faut faire, dans la formule (i),

p, = — •> p, = — , q, = — •- q, = — , ' Il ' II '' 10 10

ce qui donne, pour la probabilité cherchée,