Cas d'un circuit formé de trois parties différentes

Nous allons maintenant considérer un circuit galvanique, composé de trois parties différentes P, P' et P" -, ce cas embrasse les circuits hydro-électriques.

Désignons par u, u\ v!' les tensions respectives des parties P, P', P"; comme le cas examiné dans le paragraphe 43 se trouve ici répété trois fois, nous aurons, en vertu de l'équation (c) établie dans ce paragraphe, pour la partie P :

pour la partie P' :

pour la partie P" :

u=z fx + c ; u'=:f'x-hc': u"=zf"x-hc";

f, f, f", c, e', c" représentent des constantes arbitraires qui doivent être déterminées d'après la nature du problème, et chacune des équations n'est applicable qu'autant que l'abscisse se rapporte à la partie du circuit pour laquelle cette équation a été établie. Plaçons l'origine des abscisses à ^extrémité de la partie P qui touche la partie P", et fixons la direction des abscisses de telle manière qu'elles marchent de la partie P à la partie P' et de celle-ci à la partie P'' ; désignons par /, l\ l" les longueurs respectives des parties P, P', P"; entin représentons par u'\ et u^ les valeurs de u" et de u qui appartiennent au point de contact pour lequel x-==.o; par u^ et u\ les valeurs de u et de u' qui appartiennent au point de contact pour lequel a; = /, et par u\ , u'\ les valeurs de u' et de u"

qui appartiennent au point de contact pour lequel x = l-+- 1'; nous aurons

ii'^ — f"{l + l' + l")-^c" u^=.c

u^ = fl-\-c ii\=.f' l-\-c'

<=/"(/ + /')4-e' u\=t"il+l')-^c".

Maintenant appelons a la force électromotrice correspondant au point de contact, pour lequel x=zo, a' la force électromotrice correspondant au point de contact pour lequel x=zl et a" la force électromotrice correspondant au point de contact pour lequel J? =/-{-/'; nous aurons, en tenant compte de la règle générale établie dans le paragraphe précédent :

a'z=fl — fl-irc—c'

et par suite

a+a' + a"=zfl + fl'-{-f"l".

Maintenant, d'après les considérations exposées dans le paragraphe 13, si nous désignons par k et w la conductibilité et la section de la partie P, par k' et w' la conductibilité et la section de la partie P', par k" et w" la conductibilité et la section de la partie P" , nous aurons les équations de condition suivantes relatives aux points de contact :

/du\ /du\ /du"\ , , , .. ,-.

j-j- , -7- , -^7] représentant les valeurs particulières que

1 , . • ^" du' du" 1.» ■

prennent aux points de contact les fonctions -r-, —, --r-. Mais

d'après les équations qui ont été établies au commencement de ce paragraphe pour la détermination de la tension dans

chacune des parties du circuit , l'on a, pour toute valeur admissible de a;,

— = f ^^ — r ^^" — f" dx dx dx

de telle sorte que les équations de condition ci-dessus établies deviennent

Au moyen de cette équation et de celle que nous avons établie tout à l'heure entre les quantités f, f et f", en partant de la considération des forces électromotrices , nous trouvons , en remplaçant respectivement par x, x', x" les quantités l l' l"

o + o' -f- al' 1

' ~ X + X' H- X" * k"iù" '

en se servant de ces valeurs, on obtient

En substituant ces valeurs, on obtient les équations suivantes qui servent à déterminer les tensions respectives des parties de circuit P, P', P" :

, a A- al ->!- a" IX — 1,1. , .„ „

\ k (à kW k<ù/ f

et il n'est pas difficile de se convaincre que, dans les cas particuliers où l'on a k = k' = fe" ou w = w' = w", ces mêmes équations sont encore vraies quand on supprime la lettre k ou la lettre w partout où elle se trouve en évidence, et aussi dans les expressions x, x', x" qui la contiennent implicitement.

18. Formule générale des tensions dans le cas d'un circuit formé d'un nombre quelconque de parties. — Le petit

nombre de cas que nous venons d'examiner suffit pour reconnaître la loi de formation des expressions qui représentent la tension et permet de les comprendre toutes dans une formule générale unique. Pour donner plus de concision à cette formule, nous appellerons le quotient que l'on obtient en divisant la longueur d'une partie homogène quelconque par le produit de la conductibilité et de la section correspondantes, longueur réduite Ae cette partie; et quand il s'agira du circuit entier, ou d'une portion de circuit, qui sera formée elle-même de la réunion de parties homogènes différentes, nous entendrons par longueur réduite la somme des longueurs réduites de toutes les parties homogènes. Gela posé, les diverses expressions que nous ont fournies les équations (L) et (L') pour représenter la tension se trouvent toutes résumées dans la proposition générale qui suit , et cette proposition est vraie, de quelque nombre de parties que le circuit soit formé.

Pour trouver la tension correspondant à un point donné d'un circuit galvanique formé d'un nombre quelconque de parties, il faut diviser la somme de toutes les forces électromotrices du circuit par sa longueur réduite , multiplier le quotient ainsi obtenu par la longueur réduite de la partie du circuit qu'embrasse l'abscisse, retrancher de ce produit la somme de toutes les forces électromotrices correspondant aux points de contact sur lesquels Tabscisse passe, et enfin ajouter une constante arbitraire qui doit être déterminée par d'autres considérations.

Si donc nous désignons par A la somme de toutes les forces

électromotrices du circuit , par L sa longueur réduite, par y la longueur réduite de la portion de circuit que comprend l'abscisse, par 0 la somme de toutes les forces électromotrices correspondant aux points de contact sur lesquels l'abscisse passe, et enfin par u la tension d'un point quelconque appartenant à une partie quelconque du circuit , nous aurons l'équation

dans laquelle c représente une grandeur constante, mais indéterminée.

Ainsi transformée, cette expression de la tension dans un circuit quelconque est excessivement simple et nous permettra désormais de joindre la concision à la généralité ; dans ce but, nous assignerons encore à y le nom d'abscisse réduite. La forme de l'équation obtenue présente cet avantage particulier qu'elle ne cesse pas d'être applicable quand les forces électromotrices et les conductibilités varient d'une manière continue dans une partie du circuit; seulement dans ce cas il faut remplacer les sommes par des intégrales dont les limites doivent être déterminées, comme la nature de l'expression l'exige.

Puisque, dans toute l'étendue d'une même partie homogène de circuit, 0 ne change pas de valeur et que, pour des longueurs égales prises sur cette partie homogène, y varie de la même quantité , il est évident qu'un circuit galvanique quelconque possède les propriétés suivantes, qui ont été déjà démontrées d'une manière générale pour le cas d'un circuit simple et qui forment le principal caractère des circuits galvaniques.

a. La tension d'une partie de circuit homogène quelconque varie progressivement dans toute l'étendue de cette partie , et pour des longueurs égales la variation est toujours la même. Mais quand on passe d'une partie à une autre , il se produit subitemerit une variation égale à la force électromotrice qui se développe au point de contact.

ù. Quand une cause quelconque fait varier la tension d'un

point donné, tous les autres points du circuit éprouvent en même temps des variations égales de tension.

La constante c est théoriquement déterminée dès que l'on connaît la tension d'un point quelconque du circuit. Désignons en effet par u' la tension appartenant au point du circuit dont l'abscisse réduite est y' ; nous aurons, en vertu de l'équation générale qui vient d'être établie ,

tt' = jj y — 0' H- c,

0' représentant la somme des forces éleclromotrices correspondant aux points de contact que franchit l'abscisse y'. Si maintenant nous retranchons cette équation, établie pour un point déterminé du circuit, de celle qui appartient à un point quelconque, nous obtiendrons la nouvelle équation

dans laquelle il ne reste plus rien à déterminer.

Quand le circuit, au moment de sa formation, n'est soumis à l'influence d'aucune cause extérieure qui lui apporte ou lui enlève de l'électricité , on obtient la constante c, en partant de cette considération que la somme de toutes les quantités d'électricité que renferme le circuit doit être nulle. C'est une condition qui résulte de ce principe fondamental que les deux électricités se développent toujours dans le même temps en quantités égales, quand le circuit est primitivement à l'état naturel. Pour faire voir sur un exemple comment on trouve la constante c, dans les conditions que nous venons d'indiquer, nous reprendrons le cas qui a été traité dans le paragraphe 16. Dans la