partie P du circuit l'on a toujours m = — 2/ + c et y = — , et

dans la partie P', ronau = — y — a' -\-c, ety= , -f-x.

Maintenant, puisque le volume d'un élément est dans la partie P, (ùdx ou k^My ^ et dans la partie P', <à'dx ou A'w'*(/y ,

Ton obtiendra, pour la quantité d'électricité contenue dans un élément de la première partie :

ktù^dy

[ly+o];

et pour la quantité d'électricité contenue dans un élément de la seconde partie :

Ä'oVy i-y — a'-\rc\

Maintenant si l'on intègre la première des deux expressions qui précèdent;, depuis y =o jusqu'à ?/:=x, l'on a, pour la quantité totale d'électricité que renferme la partie P :

Ä«2 /— X^ + cxj ;

de même , en intégrant la seconde expression depuis y = x jusqu'à î/ = x + x', l'on a, pour la quantité totale d'électricité que renferme la partie P' :

/i;V2 /— - (x'» + 2xx') — a'y! + cx'J .

Mais d'après le principe fondamental ci-dessus mentionné, la somme de ces deux dernières quantités d'électricité doit être nulle ; on a donc une équation au moyen de laquelle on peut déterminer la constante c; il me reste à faire remarquer que X et x' sont les longueurs réduites correspondant aux parties P et P'.

Jusqu'ici nous avons tacitement supposé que les abscisses étaient toujours positives ; mais il n'est pas diftlcile de se convaincre que l'on peut également introduire dans les calculs des abscisses négatives. En effet, si — y représente l'abscisse réduite négative d'un point quelconque du circuit, L — //est l'abscisse réduite positive du même point, et l'équation générale

— Hl —

qui a été trouvée plus haut s'appliquant à cette dernière abscisse, l'on a

u=:-{L-y)-0-\-c ou

Mais si l'on prend en considération la règle générale établie dans le paragraphe 16, 0 — A représente évidemment la somme des forces électromotrices correspondant aux points de contact que franchit l'abscisse négative; d'où il suit que l'équation peut s'appliquer également aux abscisses négatives, sans qu'on change rien à sa signification première.

19. Si nous supposons que l'une des parties dont le circuit galvanique est formé soit une substance non conductrice de l'électricité, c'est-à-dire une substance dont la conductibilité soit nulle, la longueur réduite du circuit entier prendra une valeur infiniment grande. Maintenant si nous nous imposons la condition de ne pas laisser les abscisses pénétrer dans la partie non conductrice, de telle manière que l'abscisse réduite y conserve toujours une valeur finie, alors l'équation générale se trouve remplacée par la suivante :

celle-ci fait voir que la tension est uniforme dans toute l'étendue de chacune des parties homogènes du circuit, qu'elle change brusquement quand on passe d'une partie à l'autre, et que la variation représente intégralement la force électromotrice développée au point de contact.

Pour déterminer la constante c dans cette équation, nous admettrons que Ton donne la tension d'un point quelconque du circuit ; alors, si nous appelons u' cette tension et que nous désignions par 0' la somme de toutes les forces électromotrices correspondant aux points de contact sur lesquels passe l'abscisse, nous aurons

La différence entre les tensions de deux points quelconques d'un circuit galvanique ouvert, c'est-à-dire d'un circuit galvanique dans lequel se trouve interposé un corps non conducteur, est par conséquent égale à la somme de toutes les forces électromotrices développées dans l'intervalle des points considérés ; le signe qu'il faut donner à cette somme est toujours facile à déterminer à la seule inspection des données.

ao. Nous mentionnerons encore une propriété des circuits galvaniques, qui mérite une attention particulière. Pour cela considérons exclusivement l'une des parties homogènes du circuit, et, pour plus de simplicité, supposons que l'origine étant placée à l'une des extrémités de cette partie, l'on compte les abscisses en se dirigeant vers l'extrémité opposée. Appelons x la longueur réduite de la partie que nous considérons , et A la longueur réduite de tout le reste du circuit, nous aurons, dans l'étendue de la longueur x,

équation qui peut encore être présentée sous la forme

Ax

la partie x se trouve donc dans le cas d'un circuit homogène

simple, aux extrémités duquel se trouverait développée la

Ax force électromotrice . Par conséquent si A a une valeur

bien appréciable, comme cela arrive dans la pile de Volta, et

si le rapport s'approche de l'unité, la force électro-

Ax motrice ■ devient aussi très-appréciable et par suite les

variations progressives de la tension se laissent aisément apercevoir dans l'étendue de la partie x. Cette conséquence est importante, parce qu'elle fournit le moyen de rendre sensible la loi de la distribution de l'électricité dans des circuits corn-

posés, quand il ne serait pas possible de le faire dans un circuit simple, en raison de la faiblesse de la tension. On voit aussi d'ailleurs que, pour des forces électromotrices égales, le phénomène sera d'autant plus manifeste que >. sera plus grand par rapport à a.

"H . Cas d'un circuit mis en communication avec un condensateur— Tous les circuits galvaniques présentent ce caractère commun, que l'on peut toujours et à volonté faire subira leurs tensions un changement subit. Ce phénomène a sa source dans les propriétés qui ont été développées précédemment. En eft'et, puisque, comme nous l'avons vu, tous les points d'un circuit galvanique éprouvent la même variation de tension, que l'on fait subir à un point particulier, l'on est toujours maître de donner telle ou telle valeur à un point déterminé quelconque. Parmi les changements que l'on peut produire, les plus remarquables sont ceux que l'on obtient par un contact dérivateur, c'est-à-dire par un contact qui rend la tension nulle sur tel ou tel point du circuit : toutefois, ces changements de tension se trouvent naturellement limités par la grandeur des forces électromotrices.

Il est une autre classe de phénomènes qui se rattachent immédiatement à ceux dont nous venons de parler. Appelons r l'espace sur lequel Télectricité se trouve répandue dans un circuit galvanique donné, ii la tension d'un point du circuit qui se trouve en communication immédiate avec un corps M indépendant du circuit, u la tension que possédait le même point du même circuit avant qu'il eût été mis en contact avec le corps M, u — u sera évidemment la variation de tension éprouvée par le point, et comme tous les autres points du circuit subissent uniformément la même variation, r (?i' — u) représentera la quantité d'électricité disparue dans toute l'étendue du circuit, par suite du changement de tension, et par conséquent aussi la quantité d'électricité reçue par le corps M. Supposons maintenant que, dans l'état d'équilibre, la tension soit la même dans tous les points du corps M sur

lesquels l'électricité se trouve répandue;, et désignons par R l'espace qu'elle occupe dans le corps M, sa tension sera visi-

y (il y\

blement — -. Mais dans l'état d'équilibre cette tension

est égale à la tension u que possède le point du circuit mis en

contact avec le corps M, quand ce contact ne développe pas de nouvelle force électroniotrice ; dans cette supposition l'on a donc

d'où l'on tire

r-HR

11 résulte de cette équation que la tension du corps M est toujours plus petite que celle qui existait avant le contact, au point touché du circuit, et aussi que ces deux tensions se rapprochent d'autant plus de l'égalité, que r est plus grand par rapport à R. Si nous considérons R comme une grandeur invariable, le rapport des tensions u et u dépend exclusivement de l'espace que l'électricité occupe dans le circuit. Il faut donc, pour donner à la tension du corps M sa plus grande valeur, augmenter la capacité du circuit, soit en agrandissant généralement ses dimensions, soit en le rattachant par quelque point à des masses étrangères ; l'effet de ces masses paraît dépendre exclusivement de leurs volumes et nullement de la nature des corps qui les composent ; il faut seulement que ces corps soient conducteurs de l'électricité, el qu'ils ne développent pas de nouvelles forces électromotrices. Si nous supposons que les masses mises en communication avec le circuit aient un volume infiniment grand, comme cela arrive quand une dérivation vient anéantir complètement la tension en un point quelconque du circuit, alors la tension du corps M est toujours égale à celle que possédait le point du circuit qu'il touche.

Pour rattacher le jeu du condensateur aux actions dont nous venons de parler, il suffit de remarquer qu'un condensateur

dont la grandeur est R, et dont la puissance de condensation est w, peut être considéré comme l'équivalent d'un conducteur ordinaire de grandeur mR, avec cette ditférence pourtant que sa tension est égale à m fois colle du conducteur ordinaire, dont il tient la place. Si donc nous appelons u la tension du condensateur lorsqu'il est mis en rapport avec un point du circuit dont la tension était primitivement u', nous aurons

mru

mR. '

d'où il suit que le condensateur indique m fois la tension du point touché, quand r est très-grand par rapport à niR, mais qu'au contraire il donne une tension plus faible que celle du point touché, quand r est égal à R ou plus petit que cette quantité. Les masses attachées au circuit tendent donc à donner aux indications du condensateur leur valeur maximum et les en rapprochent d'autant plus qu'elles sont plus considérables; un circuit qui communique avec le sol par un de ses points transmet toujours au condensateur la tension maximum. Les déterminations qui précèdent supposent que l'un des plateaux du condensateur est en communication permanente avec le sol ; nous allons maintenant considérer le cas où les deux plateaux d'un condensateur isolé sont mis en rapport avec deux points ditïérents d'un circuit galvanique. D'abord, il est clair, d'après la nature particulière des actions galvaniques, que la différence entre les quantités d'électricité libre résidant sur les deux plateaux du condensateur doit être la môme que celle qui existe invariablement entre les tensions des points touchés ; par conséquent, si d représente la ditïerence des tensions correspondant à ces deux points, et u la quantité d'électricité libre qui se trouve sur l'un des plateaux du condensateur, u-\-d sera la quantité d'électricité libre de l'autre plateau, et tout se réduira à trouver la quantité totale d'électricité que possèdent les plateaux au moyeu de l'électricité libre qui est connue ; pour cela appelons A la quantité totale

d'électricité qui se trouve sur le plateau dont l'électricité libre est u-\-d; A — u — c? représentera la quantité qui se trouve dissimulée sur le même plateau. De même B — u représente la quantité d'électricité dissimulée sur le plateau dont l'électricité libre est w, quand on désigne par B la quantité totale d'électricité qui se trouve sur ce plateau. Maintenant si w représente le rapport qui existe entre la quantité d'électricité dissimulée de l'un des plateaux et la quantité d'électricité totale de l'autre plateau, nous aurons les deux équations suivantes :

A — u — d -\- nB=io B — mH-wA := 0,

au moyen desquelles on obtient^ les valeurs ci-après de A et de B :

1 — n^ u(l — n) — nd

mais d'après la théorie du condensateur on sait que 1 — n^= -,

quand on désigne par m le pouvoir de condensation. Si donc on substitue dans les expressions obtenues pour A et pour B,

— à 1 — n*, et qu'on remplace également w par 1 ~ — - , ce qui

est permis, quand m est un nombre très-grand, comme c'est le cas ordinaire, l'on a

A.z=zmd-{---u

B= — md-{--u-\--d.

Par conséquent, quand m est un nombre très-grand, et que u n'est pas beaucoup plus grand que d, on peut sans erreur sensible poser les équations

A|=: md B = — md.

Elles expriment cette loi connue que, si deux points diflérents d'une pile voltaïque sont mis respectivement en rapport avec les deux plateaux d'un condensateur isolé, chacun des plateaux prend la même charge que si l'autre plateau et le point de la pile qui lui correspond étaient mis en communication avec le sol. Les considérations qui précèdent font voir aussi que cette loi cesse d'être vraie quand on ne peut plus regarder u comme une quantité qui disparaît devant ma. Ce cas se présenterait si, par exemple, les deux plateaux du condensateur étaient mis en contact avec deux points voisins du pôle supérieur isolé d'une pile voltaïque composée d'un très-grand nombre d'éléments, le pôle inférieur étant en communication avec la terre.

Les considérations qui précèdent sur la manière dont les circuits galvaniques cèdent leur électricité aux corps étrangers me paraissent éclairer la question de manière à ne rien laisser désirer de plus, mais elles conduisent à des recherches d'une toute autre nature, qui présentent un intérêt considérable. En etïet, les considérations théoriques, aussi bien que les expériences qui ont été exécutées sur le courant électrique, ne laissent aucun doute sur ce point, que l'électricité en mouvement pénètre dans l'intérieur des corps et que sa quantité est en rapport avec leur volume. D'un autre côté, il est également certain que l'électricité en repos s'accumule à la surface des corps et que sa quantité dépend de leur étendue superficielle. Il résulterait delà que, dans les formules qui précèdent, r représentei'ait le volume du circuit galvanique, quand celuici serait fermé, et son aire superficielle quand il serait ouvert. Il n'y aurait pas, ce me semble, de grandes difficultés à constater ce fait par expérience.

*Z*Z. Distribution des tensious dans l'état permanent, quand l'air environnant exerce une influence appréciable sur le circuit. — Jusqu'ici, nous nous sommes bornés à considérer l'état d'un circuit , qui est déjà arrivé à l'état permanent et sur lequel l'air environnant n'exerce aucune influence :

nous avons traité ce cas avec tous les développements qu'il comporte, parce qu'il embrasse les phénomènes les plus nombreux et les plus importants. Toutefois, pour ne pas laisser complètement de côté les autres circuits, nous allons indiquer rapidement, en prenant le cas le plus simple, la méthode qu'il faut leur appliquer et montrer ainsi, quoique de loin seulement, la route à suivre.

Quand on veut prendre en considération l'influence de l'air

kd^u sur le circuit galvanique, il faut ajouter au terme -r-^ de

l'équation («) du paragraphe 11 le terme - u\ alors, si l'on

suppose que le circuit est arrivé à l'état permanent, auquel

du „, . , .

cas — = 0, lequation devient

, d'^u bc o = k -j- M,

bc ^ ou en posant ^- =: ê«

0 = ^5-«"»' l'intégrale de cette équation est

u=zc.e^'^-\-d.e—^<^ ,

en représentant par e la base des logarithmes naturels, par c et d des constantes arbitraires, qui restent à déterminer d'aj)rès les autres conditions du problème.

Maintenant appelons 2/ la longueur totale du circuit, plaçons l'origine des abscisses au point qui forme le miheu de cette longueur, quand on part du point d'excitation ; désignons en outre par a la force clectroniotrice développée au point d'excitation, nous aurons

Si nous écrivons à présent l'équation trouvée plus haut de la manière suivante :

et que nous remplacions c — d par la valeur qui vient d'être obtenue, nous avons

Admettons, pour déterminer l'autre constante, que la somme des deux tensions correspondant au point d'excitation soit connue et égale à b (ce cas se présente toutes les fois que la tension d'un point quelconque du circuit est donnée), nous aurons

ßU — ß-

et en faisant la substitution et les réductions convenables,

Quand b = o, c'est-à-dire quand le circuit est complètement abandonné à lui-même, cette équation se réduit à

Les équations précédentes, qui s'appliquent à toute l'étendue

d'un circuit prismatique homogène, se confondent, lorsque

g=o, avec celles qui ont été obtenues plus haut, pour les mêmes

circonstances, en ne tenant pas compte de l'influence de l'air.

b c Puisque 6^ =^ -^ il en résulte que l'action de l'air sur le cir-

cuit galvanique est d'autant plus faible que la conductibilité de

— VIO —

l'air est petite par rapport à celle du circuit, et que le quotient

- est petit lui-même. Mais le quotient— exprime le rapport qui

existe entre la surface enveloppée par Tair de l'une des tranches du conducteur et le volume de la même tranche ; il semble

d'après cela que - devrait être toujours infiniment petit. Mais

il ne faut pas perdre de vue que nous traitons ici une question de physique et non une question de mathématiques. A proprement parler, c ne représente pas une surface, cette lettre représente la partie de la tranche du circuit sur laquelle l'air exerce une influence immédiate. Nous ne désignons pas autre chose au fond par w que la partie de la même tranche qui se trouve traversée par le courant électrique propagé dans le circuit. Or, en général, c est incomparablement plus petit que « ; mais quand le courant électrique ne se propage qu'avec une grande diiiicuité et par suite avec lenteur, comme cela arrive toujours plus ou moins dans le cas des piles sèches, alors, d'après ce qui a été établi dans le paragraphe précédent, les quantités c et w peuvent se rapprocher de Tégalité, car, entre le mode de distribution qui appartient au courant rapide et celui qui est propre à l'état d'équilibre parfait, il doit exister une transition graduelle. Sur ce point on voit s'ouvrir un vaste champ de recherches nouvelles.

•i3. Distribution des tensions dans l'état variable. — Lorsque l'état permanent du circuit ne s'établit pas instantanément, comme cela a coutume d'arriver dans le cas des piles sèches, on est obligé, pour étudier les modifications du circuit qui précèdent cet état, de partir de l'équation complète

du , d'^u bc , .

dt dx^ tt)

car on ne peut plus poser -7- = o et le terme — u doit être

conservé ou mis de côté, suivant que l'on veut ou non prendre

en considération l'influence de l'air sur le circuit. Maintenant

si nous posons , comme dans le paragraphe précédent ,

hc k

g* = — et en outre - = k', l'équation précédente devient

dt {dx"" I

et l'on voit aisément qu'en faisant S = o, on met de côté l'influence de l'air.

Dans le cas actuel, u représente une fonction de x et de t; mais à mesure que le temps t croît, cette fonction devient de moins en moins dépendante de t, et à la fin elle se change en une simple fonction de a?, qui représente l'état permanent du circuit; si nous désignons par u' cette dernière fonction, dont nous avons appris déjà à reconnaître la nature, et si nous posons u := m'+ V, V sera évidemment une fonction de x et de (, qui représentera la différence entre l'état actuel du circuit et son état permanent, et qui, par conséquent, devra s'évanouir au bout d'un certain temps; maintenant, si nous remplaçons u par w'+y dans l'équation (ir), en faisant attention que u est indépendant du temps et que, d'après la nature de cette fonction, l'on doit avoir

dx^ nous obtiendrons, pour déterminer la fonction v, l'équation

dv ,,fd^v „ , ,,

elle est de même forme que l'équation [i^), mais elle en diff'ère en ceci, que v est une fonction de x et de ^ d'une autre nature que M, et cette circonstance rend l'intégration beaucoup plus facile.

L'intégrale de l'équation (3) a d'abord été présentée par Laplace sous la forme suivante :

^= y^J e-yy{x+^\^k't)dy. (?)

e représente la base des logarithmes naturels, ■k le rapport de la circonférence au diamètre ; f est une fonction arbitraire qui doit être déterminée par les conditions particulières de chaque problème, et l'intégrale doit être prise entre les limites y =— 00 ety = H- 00. Pour if = 0, l'on a v=zfx, pnisque/e - y''dy=[/lz entre les limites indiquées. Il résulte de là que si l'on pouvait déterminer la fonction v dans le cas particulier où t=:o, l'on arriverait par là à connaître aussi fx et par conséquent la fonction arbitraire /"; maintenant l'on a toujours v = u — u' ; mais si nous commençons à compter le temps à partir de l'instant où la force électromotrice se trouve développée par le contact des deux extrémités du circuit, il est évident que, pour t:=o, u aura des valeurs déterminées à ces deux extrémités, et que pour tous les autres points du circuit l'on aura u=zo. Par conséquent l'on a en général pour tz=:o,v= — u' dans toute l'étendue du circuit, et v=u — u' pour les deux extrémités. Si nous considérons un circuit complètement abandonné à luimême depuis le moment où le contact est établi, l'on aura toujours aux deux extrémités v= o, de telle sorte que pour f=:o l'on aura dans l'intérieur du circuit v= — m' et aux deux extrémités ü=:o. Maintenant, puisque, d'après nos précédentes recherches, ii peut être regardé comme connu pour tous les points du circuit, il en sera de même de v dans le cas de ^ = o; nous connaissons donc la forme de la fonction arbitraire, tant que X appartient aux points du circuit.

Mais l'intégrale que nous avons donnée pour la détermination de V exige que l'on connaisse la fonction fx, pour toutes les valeurs positives et négatives de x; nous sommes donc conduits à appliquer à l'équation ci-dessus les méthodes de transformation que les recherches sur la propagation de la

chaleur ont fait découvrir et à lui donner une forme qui suppose uniquement la fonction fx connue dans l'étendue du circuit. La transformation qui convient au cas dont nous nous occupons donne, quand on désigne par 2/ la longueur du circuit et qu'on place au milieu de cette longueur l'origine des abscisses * :

-h2^[e ^'- cos ç,/ J f^o^—^f-^fydyj I ,

les sommes devant être prises depuis i = \ jusqu'à i=: ck et les intégrales depuis ,y = — /jusqu'à ?/ = -|- /. Maintenant nous pouvons remplacer dans cette équation fx par sa valeur — u' ; quand on représente par a la force électromotrice développée au point de contact, l'on a, d'après la supposition admise dans le paragraphe précédent :

en substituant cette valeur et en intégrant entre les limites indiquées, nous aurons

1 r . it^v e^y — e~^y , ök/cosiir

sm -r- • —r, ^ dy

Par conséquent, nous obtiendrons, pour déterminer v, l'équation

ÎT^{l-\-X)

I tTT sm

Voir le Journal de r Ecole polytechnique, cahier 19, p. 53.

et enfin, puisque a= u'-\- v :

ii7 sin ■

2 \e^i — e-e/./ Xd \ ^■%«|g«/2

Quand g=o, c'est-à-dire quand on ne doit pas prendre en considération Tinfluence de l'air, cette équation devient

> — .sm — -— — -.e '* ^\ i l 1

On voit aisément que le second terme, à droite, de l'équation que nous venons d'obtenir pour la détermination de u, devient de plus en plus petit à mesure que le temps s'écoule, et qu'il finit par disparaîtie tout à fait. Quand cela arrive, l'état permanent du circuit est établi ; on reconnaît, d'après la forme de l'expression, qu'on éloigne l'instant où cet état commence en diminuant la conductibilité et surtout en augmentant la longueur du circuit.

L'expression trouvée pour u n'est applicable qu'autant que le circuit est, conformément à notre supposition, maintenu à l'abri de toute perturbation extérieure qui puisse modifier son état naturel ; quand, à un instant donné;, une cause extérieure quelconque, par exemple un contact établi entre le sol et l'un des points du circuit vient à altérer l'état permanent, alors la méthode indiquée ci-dessus doit subir des modifications que je me propose de développer dans une autre occasion. Je ferai remarquer d'ailleurs que c'est à la classe de circuits dont nous venons de nous occuper en dernier lieu qu'il faut rapporter les phénomènes particuliers que présentent les piles sèches et en général les circuits dont la longueur réduite est extraordinairenient grande. On peut aussi faire rentrer dans la même catégorie les circuits de très-grande longueur employés dans les expériences de Basse, Erman et Aldini, quand l'influence de la longueur n'est pas compensée par un accroissement de conductibilité ou de section.

' Voir la noie B à la suiie de ce mémoire.