DANS LE MÉMOIRE PRÉCÉDENT

I. Sur la manière de démontrer par les quatre cas d^ équilibre exposés au commencement de ce Mémoire y que la valeur de Faction mutuelle de deux éléments de fils conducteur est

2tt' dsds' ^ ^ , dsds.

En suivant Tordre des transformations que j^ai successivement fait subir à cette valeur, on trouve d'abord, en vertu des deux premiers cas d^équilibre, qu'elle est

tf (sin 6 sin 6' ces » + ^ ces 0 cos 6') dsds'

on déduit du troisième, entre n et A, la relation n + sA=i, et du

quatrième n = « , d'où k= ; ce quatrième cas d'équilibre est alors

celui qu'on emploie en dernier lieu à la détermination de la valeur de la force qui se développe eotre deux éléments de fils conducteurs : mais on peut suivre une autre marche en partant d'une considération dont s'est servi M. de Laplace, quand il a conclu des premières expériences de M. Biot sur l'action mutuelle d'un aimant et d'un conducteur rectiligne indéfini, que celle qu'un élément de ce fil exerce sur un des pôles de l'aimant est en raison inverse du carré de leur distance,

DES PjrÉNOMÈNES ÉLECTRO-DYNAMIQUES

lorsque celte distance change seule de valeur et que l'angle compris entre la droite qui la mesure et la direction de l'élémenl reste le même. En appliquant cette considération à l'action mutuelle de deux élémenls de fils conducteurs, il est aisé de voir, indépendamment de toute recherche préliminaire sur la valeur de la force qui en résulte, que cette force est aussi réciproquement proportionnelle au carré de la distance quand elle varie seule et que les angles qui déterminent ta situation respective des deux éléments n'éprouvent aucun changement. En effet, d'après les considérations développées au commencement de ce Mémoire, la force dont il est ici question est nécessairement dirigée suivant la droite r, et a pour valeur

jr/"(r, e, 9', utjdsdï';

d'où il suit qu'en nommant a, p, y, les angles que cette droite forme avec les trois axes, ses trois composantes seront exprimées par

ii'f[r, e, e, ùijcosadsdï', iï/(r, 6, 0', iu)cospdjdï*, ii'f{r, 6, 6', w)c08Ydiidi',

et les trois forces parallèles aux trois axes qui en résultent entre deux circuits p>ar les doubles intégrales de ces expressions, let i" étant des constantes.

Or il suit du quatrième cas d'équilibre, en remplaçant les trois cercles par des courbes semblables quelconques dont les dimensions homologues soient en progression géométrique continue, que ces trois forces ont des valeurs égales dans deux systèmes semblables; il faut donc que les intégrales qui les expriment soient de dimension nulle relativement à toutes les lignes qui y entrenl, d'après la remarque de M. de Laplace que je viens de rappeler, et qu'il en soit par conséquent de même des différentielles dont elles se composent, en comprenant d^ et àsf parmi les lignes qui y entrent, parce que le nombre de ces différentielles, quoique infiui du second ordre, doit être considéré comme le môme dans les deux systèmes.

Or le produit ds dV est de deux dimensions : il faut donc que f{r, 8, 6', G») cos«, /(r, 8, 6', w} cosp, /(r, Q, 6', w) cosy soient de la dimensioa — s; et comme les angles 0, 6', u, et, p, y sont exprimés par des nombres qui n'entrent pour rien dans les dimensions des valeurs des différentielles, et que /(r, t, 6*, t») ne contient que la seule ligne r, il

faut nécessairement que cette fonction soit proportionnelle à -7, en

sorte que la force qu'exercent Tun sur Tautre deux éléments de fils conducteurs est exprimée par

Les deux premiers cas d'équilibre déterminent ensuite la fonction f , où k seul reste inconnu, et l'on a

n'(sin6sin6'cosco + A:cos6cos6')

pour la valeur de la force cherchée : c'est, comme on sait, sous cette forme que je l'ai donnée dans le Mémoire que j'ai lu à F Académie le 4 décembre 1820. En remplaçant alors sinO sin^ cosco, et cos6 cosO' par leurs valeurs

rd*r ^ j , dr dr

dsds . — —^ • — - .

il vient

»'(rddV + il;drd>) tïr*dd'r + il;r*-'drd'r

tTd(r*dV) trdd'(r**«)

et ea faisant pour abréger A + i = m, on a pour la valeur de la force cherchée cette expression très simple

tï'dd'Çr*)

Il ne reste plus alors qu'à déterminer m d'après le cas d'équihbre qui démontre que la somme des composantes des forces qu'exerce un fil conducteur sur un élément, prises dans la direction de cet élément, est toujours nulle quand le fil conducteur forme un circuit fermé. Ce cas d'équilibre, que j'ai considéré dans ce Mémoire comme le troisième, doit Tétre alors comme le quatrième, puisqu'il est le dernier qu'on emploie dans la détermination complète de la force cherchée.

CES PHÉNOMÈNES ÉLEGTBO-DTN&MIQUES 155

En remplaçant d'r par — cosB' d^ dans la valeur

»'d(r-'dV)

de la force que les deux éléments exercent l'un sur l'autre, on a, pour sa composante, dans la direction de l'élément ds*,

rdy cos 6'd {r"-' cos 8')

ird*'d{r'^'co3'6')

dont il faut que l'intégrale relative aux différentielles qui dépendent de dj soit nulle toutes les fois que la courbe 5 est fermée; mais il est aisé de voir, en intégrant par parties, qu'elle est égale à

:,vd.'[£^ - ^ +(,„, )js2!llir].

La première partie de cette valeur s'évanouit quand la courbe s est fermée, parce qu'alors r, = r,, cos6'j = cos9;, à l'égard de la seconde on démontre facilement, comme nous l'avons fait, page 26, que

1 i — ne peut s'évanouir, quelle que soit la forme de la courbe

fermées; il faut dont qu'on ait a m — 1 =0, m=-, et que la valeur

de la force due à l'action mutuelle des deux éléments ds, ds' soit

ndd'(>^) 2iVdd v^

'fr

II. Sur une transformation propre à simplifier le calcul de Faction mutuelle de deux conducteurs rectilignes.

Quand les deux conducteurs sont rectilignes, l'angle formé par les directions des deux éléments est constant et égal à celui des directions mêmes des deux conducteurs; il est donc censé connu, et en le désignant par t, on a, page 24,

''d*d»""'"d*'dj'

di'

dt'

d'où il suit que

dd'(r*j (m — i)drdr -{-rddV (m — a)drdr' — costdsd/

En désignant par /> un autre exposaat quelconquei on a de même

d d' (r>) ^{p — a) drd'r — ces edsd^

drdr' et, en éliminant — 5— entre ces deux équations, on obtient

(;? — ajdd^r*) __ (m — a)dd'(r>) (m— p)co8ed<di^ wir* pr' r* *

d'où

dd'(r*) ^ m — a dd'(r') m — p co8td<d<^ mr^ p — a pr^ p — a r* '

En substituant -km dans cette équation, et en multipliant les deux

membres de celle qui résulte de cette substitution par — u', on a la valeur de l'action de deux éléments de fils conducteurs transformée ainsi

aiï'ddVr \n" dd (r>) (^— jg)»' cosed<d<' yjr ^P — ^ P^ P — ^ »•"

et l'on peut, dans cette expression, assigner à /> la valeur que l'on veut. Celle qui donne un résultat plus commode pour le calcul est p = — 1 , en l'adoptant, il vient

2iï'dd'v/r 1 ..,,,.1 , I iV'cosedsds' 1 ..,, , ,(co8

z~- =-ii'dd -+- ; =- Il d«d« \ — r

J'ai déjà trouvé d'une autre manière, page 61, cette expression de la force qu'exercent l'un sur l'autre deux éléments de fils conducteurs ; on ne peut l'employer, pour simplifier les calculs, que quand les conducteurs sont rectilignes, parce que ce n'est qu'alors que l'angle t est constant et connu; mais dans ce cas, c'est elle qui donne de la manière la plus simple les valeurs des forces et des moments de

DES PHÉNOMÈNES KLECTHO-D YNA MIQU ES 157

rotation qui résultent de l'action mutuelle de deux conducteurs de ce geare. Si j'ai employé dans ce Mémoire d'autres moyens de calculer ces valeurs, c'est qu'à l'époque où je l'ai écrit je ne connaissais pas encore cette transformation de ma formule.

III. Sur la direclion de la droite désignée dans ce Mémoire sous le nom de directrice de l'action électro -dynamique à un poîat donné, lorsque cette action est celle d'un circiiit fermé et plan dont toutes les dimensions sont très petites.

La droite que j'ai nommée directrice de faction électro-dynamique à nnpoint donné est celle qui forme avec les trois axes des angles dont les cosinus sont respectivement proportionnels aux trois quantités A, B, G dont les valeurs, trouvées h la page 40, deviennent

/cos E 2qx\

/cosC

quand on substitue à n le nombre a auquel n est égal ; si donc on suppose le petit circuit d'une forme quelconque situé comme il l'est (P. I, fig. 14), c'est-à-dire qu'après avoir placé l'origine A des coordonnées au point donné, on prenne pour Taxe des z la perpendiculaire Kï abaissée du point A sur le plan du petit circuit, et pour le plan des xs celui qui passe par cette perpendiculaire et par le centre d'inertie 0 de l'aire LMS auquel se rapportent les :r, y, s qui entrent dans les valeurs de A, B, C, il est évident qu'on aura y = o,

y = a, 6 = ïi=-, î = o, et que ces valeurs se réduiront par conséquent à

A = -Sî:, B=o, c=xa-a = Mîlz^,

parce que r' = x*-^z'. B étant nul, la directrice ÀE est nécessairemeni dans le plan des xz déterminé comme nous venons de le dira. La tangente de l'angle ËAX qu'elle forme avec l'axe des x est évi-

demment égale à j, c*est-à-dire à — ^ — ; et comme calle de l'angle OAX Test à -, on trouvera pour la valeur de la tangente

deOAË

tang OAB = j-r— j = / , . ,. =-.- = - tong COA :

d'où il suit que si l'on prend OB = ^ OA, et qu'on élève sur OA au

point B un plan perpendiculaire à AO qui rencontre en D la normale OG au plan du petit circuit, la droite ADE menée par les points A, D, sera la directrice de l'action exercée au point A par le courant électrique qui le parcourt, puisqu'on aura

AB = aOB, tang BDA = a Ung BDO,

tang OAB = cet BDA = - cot BDO = - Ung COA.

Cette construction donne de la manière la plus simple la direction de la droite AE suivant laquelle nous avons vu que le pôle d'un aimant placé en A serait porté par l'action de ce courant. Il est à remarquer qu'elle est située à l'égard du plan LMS du petit circuit qu*il décrit, de même que la direction de l'aiguille d'inclinaison l'est en général à l'égard de l'équateur magnétique; car le point 0 étant considéré comme le centre de la terre, le plan OAC comme celui du méridien magnétique, et la droite AE comme la direction de l'aiguille d'inclinaison, il est évident que l'angle OAE compris entre le rayon terrestre OA et la direction AE de l'aiguille aimantée est le complément de rinclinaison, et que l'angle COA est le complément de la latitude magnétique LOA ; l'équation précédente devient ainsi

cot. incl = - cot. lat, a

tang. incl = a tang. lat.

IV. Sur la valeur de la force qu'un conducteur angulaire indéfini exerce sur le pâle d'un petit aimant.

Soit que I'od considère le pôle B (P. II, flg. 34) du petit aimaat A3 comme l'extrémilé d'uD solénoïde électro-dynamique ou comme une molécule magnétique, on est d'accord, dans les deux manières de voir, à l'égard de l'expression de la force exercée sur ce pôle par chaque élément du conducteur angulaire CMZ : on convient généralemeat qu'en abaissant du point B sur une de ses branciies G^U prolongée vers 0 la perpendiculaire BO^^, en faisant 0|x=s, BM = a, Bit = r, l'angle B|j.M = ô, l'angle CMH = BMO = c, et en désignant par p un coefficient constant, la force exercée sur le pôle B par l'élément as aitué en y. est égale à

psinOdi

qu'il s'agit d'intégrer depuis s = OM = a ces e jusqu'à s = c<Oj ou, ce qui revient au même, depuis 0 = £ j usqu'à Q := o : mais, dans le triangle B0[*, dont le côté OB = 6 = a sin t, on a

g = a sId t col 0, d s = -

dfl asini'

dont l'intégrale est

-(cosB-l-C),

ou, en la prenant entre les limites déterminées ci-dessus,

valeur qu'il suffit de doubler pour avoir la force exercée sur le pôle B par le conducteur angulaire indéfini CMZ; cette force, en raison inverse de BM = a, est donc, pour une même valeur de a, proportionnelle i la tangente de la moitié de l'angle CMH, et non à cet angle

lui-même, quoiqu'on prétende que la valeur

psinOds

de la force exercée par Télément ds sur le pôle B, ait été trouvée en analysant par le calctU la supposition que la force produite par le fll conducteur CMZ était proportionnelle à Tangle CMH. On ne peut douter qu'il n'y eût quelque erreur dans ce calcul ; mais il serait d'autant plus curieux de le connaître, qu'il avait pour but de déterminer la valeur d'une différentielle par celle de l'intégrale définie qui en résulte entre des limites données, ce qu'aucun mathématicien ne me parait, jusqu'à présent, avoir cru possible.

Gomme on ne peut pas, dans la pratique, rendre les branches MC, MZ du conducteur angulaire réellement infinies, ni éloigner les portions du fil dont il est formé qui mettent ces branches en communication avec les deux extrémités de la pile, à une assez grande distance du petit aimant AB pour qu'elles n'aient sur lui absolument aucune action, on ne doit, à la rigueur, regarder la valeur que nous venons d'obtenir que comme une approximation. Afin d'avoir à vérifier par l'expérience une valeur exacte, il faut calculer celle qu'exerce sur le pôle B du petit aimant un fil conducteur PSRMTSN, dont les portions SP, SN, qui communiquent aux deux extrémités de la pile, sont revêtues de soie et tordues ensemble, comme on le voit en SL, jusqu'auprès de la pile, en sorte que les actions qu'elles exercent se détruisent mutuellement, et dont le reste forme un losange SRMT situé de manière que la direction de la diagonale SM de ce losange passe par le point B. Pour cela, en conservant les dénominations précédentes et faisant de plus l'angle BRM = 0^ , l'angle BR(y = Vi , la distance BS = a' et la perpendiculaire BO' == ^ =— a' sin t parce que l'angle BSO' = — e, on verra aisément que l'action de la portion R S du fil conducteur sur le pôle B est égale à

p(cose — cos6j) V '

comme, à cause de 6 = a sin t, on aurait trouvé

p(C086j — cost)

DES PUKNOKSNES ÉLKCTRO-DYNAMIQUSS

pour celle qu'exerce la portion MR sur le même pôle B, en prenant l'intégrale précédente depuis Q = 6 jusqu'à 6 = 9,.

En réunissant ces lieu^c expressions et en doublant la somme, oa a, pour l'action de tout le contour du losange MRST,

/eos 9,

cos 6',

Cette expression est susceptible d'une autre forme qu'on obtient en rapportant la position des quatre angles du losange à deux axes BX, B Y menés par le point B parallèlement à ces côtés et qui les rencontrent aux points D.E, F, G; si l'on fait BD = BF = y, BE = BG = /i,

in 3G, b' = BO' = A sin 3

h -\- g cos 91

v'Sf' + A' + ajAcosai

g-^-h cos ae v'?' + A* + ajAcosat

et au moyen de ces valeurs, celle de la force exercée sur le prtle B deviendra

cos ai

;jsmj.vs' + '

cos

'jVs'+*' + -

igh cos ai

g h sin »

ina^V + A'h sin I y'

jrsiD3> A sin mJ-

en remplaçant dans les deux derniers termes slo a > par sa valeur 9 sin ccost.

Abaissons maintenant du point D les perpendiculaires DI, DK sur les droites BM, BR : la première sera évidemment égale à ^ sin c, et la seconde s'obtiendra en faisant attention qu'en la multipliant par BK = v'j* + A' + a y h cos a «, on a un produit égal au double de la surface du triangle BDR, c'est-à-dire à gh sin s<, en sorte qu'en nommant /»,., &ip,f ces perpendiculaires, il vient

1 t i i/ g* + h' + igh cos at^

en abaissant du point E les deux perpendiculaires EU, EV sur les droites BT, BS, et en les représentant par pt^i et pt,^ , la première sera égale à DK à cause de Tégalité des triangles BDR, BET, et la seconde aura pour valeur h sin e, en sorte que Texpression de la force exercée par le contour du losange MRST sur le pôle B pourra s'écrire ainsi :

Sous cette forme elle s'applique non seulement à un losange dont une diagonale est diiîgée de manière à passer par le point B, mais à un parai lélogranmie quelconque NRST (fig. 44) dont le périmètre est parcouru par un courant électrique qui agit sur le pôle d'un aimant situé dans le plan de ce parallélogramme. Il résulte, en effet, de ce qui aété dit, pages 41 et 81, que l'action de NRST sur le pôle B est la même que si tous les éléments d'X dont se compose sa surface

agissaient sur ce pôle avec une force égale à ^— ^ ; d'où il suit qu'en

nommant jt; et y les coordonnées rapportées aux axes BX, B Y, et à l'origine B d'un point quelconque M de l'aire du parallélogramme ce qui donne

d*X = dxdy sinas et r = v'j:*+y*+«^cosa6,

on aura, pour la force totale imprimée au pôle B,

dxdy

/•/• dxdti P sin 2t / / 7-5- — — — 2

Qr nQU3. avons vu, page 73, que l'intégrale indéfinie dQ

dsds

(a*-f ** + «* — a«s'cos8)|

1 , ss'sin*e + a*cos»

arc tang

« s^° • a sin e V «• + «« + «'« — a»' co^t '

I ^ a sin ev^a* + «* + «'" — a«$' ces s

arc tang

asme $s sin' s -|- a' ces s

en supprimant la constante - . Quand a est nui, celte quantité se pré-

DES PHÉNOUËNBS ÉLECTHO-DYNAMIQUES

sente sous la furme - ; mais comme l'arc doit être alors remplacé par

sa tangente, le fact'ïur nul a sin t disparaît, et l'on a

JJ (ï' + s'— 3Mcoai)î

qu'il est aisé de vérifier par la diffère a tiatioD. On en coDclut immédiatement que l'expression de la force que nous calculons, considérée comme une intégrale indéfinie, est

P</a:'-f-y'+axycoga« p xy sin' t p '

en nommant p la perpendiculaire PQ abaissée du point P sur BM, parce que le double de l'aire du triangle fiPM est à la fois égal & p^/x* + v' + axycos ae el à xysiuac, ce qui donne

i \lx' + g' + -iXH COS 3« p xtf sin' 31

n ne reste plus maintenant qu'à calculer les valeurs que prend cette intégrale indéfinie aux quatre sommets N, R, T, S du parallélogramme, et à les ajouter avec des signes convenables; en continuant de désigner respectivement par p,,, , p,^ , ;j,,, , p,j les perpendiculaires DI, DK, EU, EV, il est évident qu'on obtient ainsi pour la valeur de la force cherchée

\pti Pu Pi., pt» '

La direction perpendiculaire au plan du parallélogramme NRST suivant laquelle le pôle d'un aimant situé en B est porté par l'action du courant électrique qui parcourt le contour de ce parallélogramme, est la directrice de l'action électro-dynamique qu'il exerce au point B : d'où il suit que s'il y avait à ce point un élément de courant électrique situé dans le plan du parallélogramme, il formerait un angle droit avec la directrice, et qu'ainsi l'action de ce courant sur l'élément serait une force située dans ce plan, perpendiculaire à la direction de l'élément, et égale à celle que le même courant exercerait sur le pôle

164 THÉORiE DES PHÉNOMÈNES ELECTRO-DYNAMIQUES

d'un aimant placé au point B multipliée par un rapport constant, qui est ici celui de p à - ii'ds^ en nommant cet élément ds ; en sorte qu0 la force ainsi dirigée qui agirait sur Télément aurait pour valeur

- Il ds{ 1 ) .

Lorsque l'élément situé en B n'est pas dans le plan du parallélogramme, mais forme avec ce plan un angle égal à co, on peut le rmnplacer par deux éléments de même intensité, l'un dans ce plan, l'autre qui lui est perpendiculaire : l'action du courant du parallélogramme sur ce dernier étant nulle, on ne doit tenir compte que de celle qu'il exerce sur le premier ; elle est évidemment dans le plan du parallélogramme, perpendiculaire à l'élément et égale à

- Il dscoscui i ).

a ^P\A Pi.1 Pui P^'