V-g^^'^ -^y JAS'*(i*a -jj^, ^j„d«a-jj

appliquées à chacun des éléments ds de ce contour, je vais maintenant faire à l'égard du circuit 5', ce que j'ai fait alors à l^égard du circuit 5. Concevons pour cela une nouvelle surface terminée de tous côtés, comme la surface o*', par la courbe fermée ^^ et qui soit telle que les portions des normales de la surface 9' comprises entre elle et cette nouvelle surface, soient partout très petites. Supposons, sur la nouvelle surface, du fluide de l'espèce contraire à celui de la surface 9\ de manière qu'il 7 ait les mêmes quantités des deux fluides dans les parties correspondantes des deux surfaces. En désignant par (') V) Cl les angles que la normale au point m', dont les coordonnées sont x\ y', z', forme avec les trois axes, et par h la petite portion de cette normale qui est comprise entre les deux surfaces, nous pourrons, comme nous l'avons fait pour l'élément d'o*', ramener l'action de l'élément de la nouvelle surface qui est représenté par dV, sur l'ensemble des deux surfaces terminées par le contour 5, à des forces appliquées, comme on l'a vu, page 3i9« aux divers éléments de ce contour; celle qui est relative à l'élément ds et parallèle aux x s'obtiendra en substituant dans l'expression que nous avons trouvée pour cette force

ou

DIS PHÉNOMiNIS iLBGTRO-DTNAMIQUBS 149

les nouvelles coordonnées â/+ A' cosi', y + A'cosVi 2' + A'cosC à la place de J^ y, ai. Gomme les forces ainsi obtenues agissent en sens contraire des premières, il faut les eo retrancher, ce qui se réduit, lorsqu'on néglige dans le calcul les puissances de h supérieures à la pre- I, à différentier

faisant varier sf^ y', z\ remplaçant 8a/, Sy', Iz' par A'cos(', A'oosV) A'cosCf et changeant le signe du résultat* tandis que x^ y, S| et àxy dy, dz, doivent être considérées comme des constantes puisqu'elles appartiennent à l'élément As.

La formule dans laquelle on doit substituer A'cosÇ', A'cosVt cosC à Sa/, Sy', S^, est donc

,.,.' (did'a'o' ?^ - dy d'ao- îlzJ j ,

qu'il faut intégrer après cette substitution dans toute l'étendue de la surface t' pour avoir l'action totale de cette surface et de celle qui lui est jointe sur l'assemblage des deux surfaces terminées par le contour s. On peut faire cette double intégration séparément sur chacun des deux termes dont cette expression se compose. Exécutons d'abord celle qui est relative au premier terme

Mtdjd'a'S'^^-^.

Pour cela, décomposons la surface 9' en une infinité de zones infiniment étroites par une suite de plans perpendiculaires au plan des xz menés par la coordonnée y du milieu 0 de l'élément ds. Nous prendrons, sur une de ces zones, pour d'^ Télèment de la surface 9 qui a pour expression

vA'vA'x

cosV '

et nous aurons alors à intégrer la quantité

cosi) r*

qui se changera, par une transformation toute semblable à celle que nous avons employée plus haut relativement à

cos 5

en celle-ci

En supposant, comme nous l'avons fait pour la surface o*, que les quantités A', t' varient ensemble de manière que leur produit conserve une valeur constante g'j on intégrera cette dernière expression, en supposant l'angle x constant, dans toute la longueur de la zone renfermée sur la surface <r' entre les deux plans qui comprennent l'angle d'x depuis l'un des bords du contour s' jusqu'à l'autre. Cette première intégration s'effectue immédiatement et donne

-f.<??'dzdx(^-^),

Tj , v^ et r, , u, représentant les valeurs de r et de t; pour les deux bords du contour s!. Les deux parties de cette expression doivent maintenant être intégrées par rapport à x respectivement dans les deux porlions du contour sf déterminées par les deux plans tangents à ce contour menés par l'ordonnée y de l'élément ds ; et d'après la remarque que nous avons faite, page 317, à l'égard de la valeur de la force parallèle aux X dans le calcul relatif aux deux surfaces terminées par le contour 5, il est aisé de voir qu'on a ici

en prenant cette intégrale dans toute l'étendue du contour fermé/; les variables r, t; et ^ n'étant plus relatives qu'à ce contour.

On exécutera de la même manière la double intégration de l'autre terme qui est égal à

— jAiye'dydVS'i^

dans toute l'étendue de la surface o^. Il faudra, pour cela, diviser cette surface en une infinité de zones, par des plans menés par la coor-

donnée z du milieu de l'élément (&, et prendre, sur Tune de ces zones* pour dV Taire infiniment petite qui a pour expression

57^ . La formule, après avoir été transformée comme la précé-

cosÇ ' *^ ^

dente, s'intégrera d'abord dans toute la longueur de la zone ; l'intégrale ne renfermera alors que des quantités relatives au contour y. Ensuite la seconde intégration faite par rapport à 4» dans l'étendue du contour fermé y, donnera

M9'^yf

Rassemblant enfin les deux résultats obtenus par ces doubles intégrations, on aura

pour la valeur de la force parallèle aux or, dont la direction passe par le milieu de l'élément d$^ et qui provient de Taction des deux surfaces terminées par le contour s' sur les deux surfaces terminées par le contour s.

On aura de même, parallèlement aux deux autres axes, les forces

Ainsi, en supposant appliquées à chaque élément ds du contour 5 les forces que nous venons de déterminer, on aura Faction qui résulte des attractions et répulsions des deux fluides magnétiques, répandus et fixés sur les deux assemblages de surfaces terminées par les deux contours 5, 5^.

Mais ces forces appliquées aux éléments ds ne diffèrent que par le signe de celles que nous avons obtenues page 106, pour Taclion des deux circuits 5, y, en les supposant parcourus par des courants électriques, pourvu qu'on ait ^^ = - tï'. Cette différence vient de ce que

dans le calcul qui nous a les données, les différentielles d'f , d'x» d' ^ ont été supposées de même signe que les différentielles df, d^^ d*^, tandis qu'elles doivent être prises avec des signes contraires quand les deux courants se meuvent dans le môme sens; alors les forces

produites par l'action mutuelle de ces courants sont précisément les mômes que celles qui résultent de l'action des deux surfaces fJ sur les deux surfaces <7, et il est ainsi complètement démontré que l'action mutuelle de deux circuits solides et fermés, parcourus par des courants électriques, peut être remplacée par celle de deux assemblages composés chacun de surfaces ayant pour contours ces deux circuits, et sur lesquelles seraient fixées des molécules de fluide austral et de fluide boréal, s'attirant et se repoussant suivant les droites qui les joignent, en raison inverse des carrés des distances. En combinant ce résultat avec cette conséquence rigoureuse du principe général de la conservation des forces vives, déjà rappelée plusieurs fois dans ce Mémoire, que toute action réductible à des forces, fonctions des distances, agissant entre des points matériels formant deux systèmes solides, l'un fixe, l'autre mobile, ne peut jamais donner lieu à un mouvement qui soit indéfiniment continu, malgré les résistances et les frottements qu'éprouve le système mobile, nous en conclurons, comme nous l'avons fait quand il s'agissait d'un aimant et d'un circuit voltaïque solide et fermé, que cette sorte de mouvement ne peut jamais résulter de Vaction mutuelle de deux circuits solides et fermés. Au lieu de substituer à chaque circuit deux surfaces très voisines recouvertes l'une de fluide austral et l'autre de fluide boréal, ces fluides étant distribués comme il a été dit plus haut, on pourrait remplacer chaque circuit par une seule surface sur laquelle seraient uniformément distribués des éléments magnétiques tels que les a définis M. Poisson, dans le Mémoire lu à l'Académie des Sciences, le 2 février 1824.

L'auteur de ce Mémoire, en calculant les formules par lesquelles il a fait rentrer dans le domaine de l'analyse toutes les questions relatives à l'aimantation des corps, quelle que soit la cause qu'on lui assigne, a donné (1) les valeurs des trois forces exercées par un élément magnétique sur une molécule de fluide austral ou boréal; ces valeurs sont identiques à celles que j'ai déduites de ma formule, pour les trois quantités A, B, C, dans le cas d'un très petit circuit fermé et plan, lorsqu'on suppose que les coefficients constants sont les mêmes, et il est aisé d'en conclure un théorème d'après lequel on voit inunédiatement :

(i) Mémoire sur la théorie du magnétisme^ par M. Poisson, p. SS.

DES PHÉNOMÈNES ÊLECTBO- ItYNAMIQUES

!• Que l'action d'un solénoïde électro-dynamique, calculée d'après ma formule, est, dans tous les cas, la même que celle d'une série d'éléments magnétiques de même intensité, distribués uniformément le long de la ligne droite ou courbe qu'entourent tous les petits circuits du solénoïde, en donnant, 4 chacun de ses points, aux axes des éléments, la direction même de cette ligne;

2* Que l'action d'un circuit vollaîque solide et fermé, calculée de même d'après ma formule, est précisément celle qu'ex erceraîeal des éléments magnétiques de même intensité, distribués uniformément sur une surface quelconque terminée par ce cireuit, lorsque les axes des éléments magnétiques sont partout normaux k cette surface.

Le même théorème conduit encore à cette conséquence, que si l'on conçoit une surface renfermant de tous côtés un très petit espace; qu'on suppose, d'une part, des molécules de fluide austral et de ûuide boréal en quantités égales distribuées sur cette petite surface, comme elles doivent l'être pour qu'elles constituent l'élément magnétique tel que l'a considéré M. Poisson, et, d'autre part, la même surface recouverte de courants électriques, formant sur cette surface de petits circuits fermés dans des plans parallèles et équidistants, et qu'on calcule l'action de ces courants d'après ma formule, les forces exercées, dans les deux cas, soit sur un élément de fil conducteur, soit sur une molécule magnétique, sont précisément les mêmes, indépendantes de la forme de la petite surface, et proportionnelles au volume qu'elle renferme, les axes des éléments magnétiques étant représenlés par la droite perpendiculaire aux plans des circuits.

L'identité de ces forces une fois démontrée, on pourrait considérer comme n'en étant que de simples corollaires, tous les résultats que j'ai donnés dans ce Mémoire, sur la possibilité de substituer aux aimants, sans changer les effets produits, des assemblages de courants électriques formant des circuits fermés autour de leurs particules. Je pense qu'il sera facile au lecteur de déduire cette conséquence, et le théorème sur lequel elle repose, des calculs précédents ; je l'ai d'ailleurs développée dans un autre Mémoire où j'ai discuté en môme temps, sous ce nouveau point de vue, tout ce qui est relatif à l'action mutuelle d'un aimant et d'un conducteur vollaique.

Pendant que je rédigeais celui-ci, M. Arago a découvert un nouveau genre d'action exercée sur les aimants. Cette découverte, aussi importaole qu'inattendue, consiste daus l'action mutuelle qui so développe

entre un aimant et un disque ou anneau d'une substance quelconque, dont la situation relative change continuellement. M, Arago ayant eu ridée qu'on devait pouvoir, dans cette expérience, substituer un conducteur plié en hélice au barreau aimanté, m'engagea à vérifier cette conjecture par une expérience dont le succès ne pouvait guère être douteux. Les défauts de l'appareil avec lequel j'essayai de constater l'existence de cette action dans les expériences que je fis avec M. Arago, nous empêchèrent d'obtenir un résultat décisif; mais M. GoUadon ayant bien voulu se charger de disposer plus convenablement l'appareil dont nous nous étions servis, j'ai vérifié avec lui de la manière la plus complète, aujourd'hui 30 août 1826, l'idée de M. Arago, en faisant usage d'une double héUce très courte, dont les spires avaient environ deux pouces de diamètre.

Cette expérience complète l'identité des effets produits, soit par des aimants, soit par des assemblages de circuits voltsûques solides et fermés (1) ; elle achève de démontrer que la série de décompositions

(i) 11 semble d'abord que cette identité ne devrait avoir lieu qu*à Tégard des circuits voltaîques fermés d*un très petit diamètre ; mais il est aisé de voir qu'elle a lieu aussi pour les circuits d'une grandeur quelconque, puisque nous avons vu que ceux-ci peuvent être remplacés par des éléments magnétiques distribués uniformément sur des surfaces terminées par ces circuits, et qu'on peut multiplier à volonté le nombre des surfaces que circonscrit un même circuit. L'ensemble de ces surfaces peut être considéré comme un faisceau d'aimants équivalents au circuit. La même considération prouve que sans rien changer aux forces qui en résultent, il est toujours possible de remplacer les très petits courants électriques qui entourent les particules d'un barreau aimanté, par des courants électriques d'une grandeur finie, ces courants formant des circuits fermés autour de l'axe du barreau quand ceux des particules sont distribués symétriquement autour de cet axe. Il suffit pour cela de conce* voir dans ce barreau des surfaces, terminées à celle de l'aimant, qui coupent partout k angles droits les lignes d*aimantation, et qui passent par les éléments magnétiques qu'on peut toujours supposer situés aux points où ces lignes sont rencontrées par les surfaces. Alors, si tous les éléments d'une même surface se trouvaient égaux en intensité sur des aires égales, ils devraient être remplacés par un seul courant électrique parcourant la courbe formée par l'intersection de cette surface et de celle de l'aimant; s'ils variaient en augmentant d'intensité de la surface k l'axe de l'aimant, il faudrait leur substituer d'abord un courant dans cette intersection tel qu'il devrait être d'après l'intensité minimum des courants particulaires de la surface normale aux lignes d'aimantation que l'on considère, puis, k chaque ligne circonscrivant les portions de cette surface où les petits courants deviendraient plus intenses, on concevrait un nouveau cou-

et de recompositions du fluide neutre, ijui constitue le courant électrique, sufBt pour produire, dans ce cas comme dans tous les autres, les effets qu'on explique ordinairement par l'action de deux fluides différents de l'électricité, et qu'on désigne sous les noms defiuide austral et de fluide boréal.

Après avoir longtemps réfléchi sur tous ces phénomènes et sur l'ingénieuse explication que M. Poisson a donnée dernièrement du nouveau genre d'action découvert par M. Arago, il me semble que ce qu'on peut admettre de plus probable dans l'état actuel de la science, se compose des propositions suivantes :

1° Sans qu'on suit autorisé à rejeter les explications fondées sur la réaction de l'éther mis en mouvement par les courants électriques, rien n'oblige jusqu'à présent d'y avoir recours.

2° Les molécules des deux fluides électriques, distribuées sur la surface des corps conducteurs, sur la surface ou dans l'intérieur des corps qui ne le sont pas, et restant aux points de ces corps où elles se trouvent, soit en équilibre dans le premier cas, soit parce qu'elles y sont retenues dans le second par la force coercitîve des corps non conducteurs, produisent, par leurs attractions et répulsions récipro-

ranl concentrique au précédent, et tel que t'exigerait la différence d'intensité des courants adjacents, les uns en dehnrs, les autres en dedans de cette lif^ne ; si l'inlensilé des coumnis partrcnlaires allait en diminuant de la surface k l'axe du barreau, il faudrait concevoir, sur la ligne de séparation, un courant conr.fntrique au précédent, mais allant en sens contraire, enfin, une au^entalion d'iolensité qui succéderait à cette diminution, exigerait un nouveau courant concentrique dirigé comme le premier.

Je ne fais, au reste, ici celte remarque que pour ne pas omettre une conséquence ri'marquable des résultats obtenus dans ce Mémoire, et non pour en déduire quelques probabilités en faveur de la supposition que les couranls élec- Iriques des aimants forment des circuits fermés autour de leurs axes. Après avoir d'abord hésité entre celte supposition et i'Hulre manière de concevoir ces courants, en les considérant comme entourant les pnrltcules des aimants; j'ai reconnu, depuis longtemps, que cette dernière était la plus conforme & Kensemble des faits, et je n'ai point changé d'opinion à cet égard.

Cette conséquence est d'ailleurs utile en ce qu'elle rend la similitude des actions produites, d'une part par une hélice électro-dynamique, de l'autre par un aimant, aussi complète, sous le point de vue de la théorie, qu'on la trouve quand on consulte! expérience, et en ce qu'elle jusliSe les explications ou l'on substitue, comme je l'ai fait dans celle que j'ai donnée plus haut du mouvement de révolution d'un aim'int flottant, un seul circuit fermé à l'aimant que l'on coniidëre.

quement proportionnelles aux carrés des distances» tous les phénomènes de Télectricité ordinaire.

3* Quand les mêmes molécules sont en mouvement dans les fils conducteurs, qu'elles s'y réunissent en fluide neutre et s'y séparent à chaque instant, il résulte de leur action mutuelle des forces qui dépendent d'abord de la durée des périodes extrêmement courtes comprises entre deux réunions ou deux séparations consécutives, ensuite des directions suivant lesquelles s'opèrent ces compositions et décompositions alternatives du fluide neutre. Lies forces ainsi produites sont constantes dès que cet état dynamique des fluides électriques dans les fils conducteurs est devenu permanent; ce sont elles qui produisent tous les phénomènes d'attraction et de répulsion que j'ai découverts entre deux de ces fils.

4* L'action dont j'ai reconnu l'existence, entre la terre et les conducteurs voltsûquest ne permet guère de douter qu'il existe des courants, semblables à ceux des fils conducteurs, dans l'intérieur de notre globe. On peut présumer que ces courants sont la cause de la chaleur qui lui est propre ; qu'ils ont lieu principalement là ou la couche oxydée qui l'entoure de toute part repose sur un noyau métallique, conformément à l'explication que sir H. Davy a donnée des volcans, et que ce sont eux qui aimantent les minerais magnétiques et les corps exposés dans des circonstances convenables à l'action électro-dynamique de la terre. Il n'existe cependant, et ne peut exister, d'après l'identité d'efiets expliquée dans la note précédente, aucune preuve sans réplique que les courants terrestres ne sont pas seulement établis autour des particules du globe.

5* Le même état électro-dynamique permanent consistant dans une série de décompositions et de recompositions du fluide neutre qui a lieu dans les fils conducteurs, existe autour des particules des corps aimantés, et y produit des actions semblables à celles qu'exercent ces fils.

6* En calculant ces actions d'après la formule qui représente celle de deux éléments de courants voltaîques, on trouve précisément, pour les forces qui en résultent, soit quand un aimant agit sur un fil conducteur, soit lorsque deux aimants agissent l'un sur l'autre, les valeurs que donnent les dernières expériences de M. Biot dans le premier cas, et celles de Coulomb dans le second.

7* Cette identité, purement mathématique, confirme de la manière la plus complète l'opinion, fondée d'ailleurs sur l'ensemble de tous

les faits, que les propriétés des aimants sont réellement dues au mouvement continuel des deux tluides électriques autour de leurs particules.

8* Quand l'action d'un aimant, ou celle d'un fll conducteur, établit ce mouvement autour des particules d'un corps, les molécules d'électricité positive et d'électricité négative, i[ui doîvptit se constituer dans l'état électro-dynamique permanent d'uù résultent les actions qu'il exerce alors, soit sur un fil conducteur, soit sur uu corps aimanté, ne peuvent arriver à cet état qu'après un temps toujours très court, mais qui n'est jamais nul, et dont la durée dépend en général de la résistance que le corps oppose au déplacement des fluides électriques qu'il renferme. Pendant ce déplacement, soit avant d'arriver à un état de mouvement permanent, soit quand cet état cesse, elles doivent exercer des forces qui produisent probablement les singuliers effets que M. Arago a découverts. Cette explication n'est, au reste, que celle de H. Poisson, appliquée i ma théorie, car uu courant électrique formant un très petit circuit fermé agissant précisément comme deux molécules, l'une do fluide austral, l'autre de fluide boréal, situées sur son axe, de part et d'autre du plan du petit courant, à des distances de ces plans égales entre elles, et d'autant plus grandes que le courant électrique a plus d'intensité, on doit uécessairement trouver les mêmes valeurs pour les forces qui se développent, soit lorsqu'on suppose que le courant s'établit ou cesse d'exister graduellement, soit quand on conçoit que les molécules magnétiques, d'abord réunies en fluide neutre, se séparent, en s'él^iignant sticcessivement à des distances de plus en plus grandes, et se rapprochent ensuite pour se réunir do nouveau.

Je crois devoir observer en finissant ce Mémoire, que je n'ai pas encore eu le temps de faire construire les instruments représentés dans la ligure 4 de la planche première et dans la figure 20 de la seconde planche. Les expériences auxquelles ils sont destinés n'ont donc pas encore été faites; mais, comme ces expériences ont seulement pour objet de vérifier des résultats obtenus autrement, et qu'il serait d'ailleurs utile de les faire comme une contre-épreuve de celles qui ont fourni ces résultats, je n'ai pas cru devoir eu supprimer la description.