SUR LA THÉORIE MATHEMATIQUE

L'époque que les travaux de Newlon ont marquée dans l'histoire des sciences n'est pas seulement celle de la plus importante des découvertes que riiomme ait faites sur les causes des grands phénomènes de la nature, c'est aussi l'époque oii l'esprit humain s'est ouvert une nouvelle route dans les sciences qui ont pour objet l'étude de ces phénomènes.

Jusqu'alors on en avait presque exclusivement cherché les causes dans l'impulsion d'un fluide inconnu qui entraînait les particules matérielles suivant la direction de ses propres particules; et partout où Ton voyait un mouvement révolutif.on imaginait un tourbillon dans le même sens.

Newton nous a appris que cette sorte de mouvement doit, comme tous ceux que nous offre la nature, être ramenée par le calcul à des forces agissant toujours entre deux particules matérielles suivant la droite qui les joint, de manière que l'action exercée par l'une d'elles sur l'autre soit égale et opposée à celle que cette dernière exerce en même temps sur la première, et qu'il ne puisse, par conséquent, lorsqu'on suppose ces deux particules liées invariablement entre elles,

résulter aucun mouvement de leur action mutuelle. C'est cette loi confirmée aujourd'hui par toutes les observations, par tous les calculs, qu'il exprima dans le dernier des trois axiomes qu'il plaça au commencement des Philosophiœ naturalis principia mathematica. Mais il ne suffisait pas de s'être élevé à cette haute conception, il fallait trouver suivant quelle loi ces forces varient avec la situation respective des particules entre lesquelles elles s'exercent, ou, ce qui revient au même, en exprimer la valeur par une formule.

Newton fut loin de penser qu'une telle loi pût être inventée en partant de considérations abstraites plus ou moins plausibles. 11 établit qu'elle devait être déduite des faits observés, ou plutôt de ces lois empiriques qui, comme celles de Kepler, ne sont que les résultats généralisés d'un grand nombre de faits.

Observer d'abord les faits, en varier les circonstances autant qu'il est possible, accompagner ce premier travail de mesures précises pour en déduire des lois générales, uniquement fondées sur Texpérience, et déduire de ces lois, indépendamment de toute hypothèse sur la nature des forces qui produisent les phénomènes, la valeur mathématique de ces forces, c'est-à-dire la formule qui les représente, telle est la marche qu'a suivie Newton. Elle a été, en général, adoptée en France par les savants auxquels la physique doit les immenses progrès qu'elle a faits dans ces derniers temps, et c'est elle qui m'a servi de guide dans toutes mes recherches sur les phénomènes électrodynamiques. J'ai consulté uniquement l'expérience pour établir les lois de ces phénomènes, et j'en ai déduit la formule qui peut seule représenter les forces auxquelles ils sont dus; je n'ai fait aucune recherche sur la cause même qu'on peut assigner à ces forces, bien convaincu que toute recherche de ce genre doit être précédée de la connaissance purement expérimentale des lois, et de la détermination, uniquement déduite de ces lois, de la valeur des forces élémentaires dont la direction est nécessairement celle de la droite menée par les points matériels entre lesquels elles s'exercent. C'est pour cela que j'ai évité de parler des idées que je pouvais avoir sur la nature de la cause de celles qui émanent des conducteurs voltaïques, si ce n'est dans les notes qui accompagnent VExposé sommaire des nouvelles expériences électro-magnétiques faites par plusieurs p/iysiciens depuis le mois de mars 1821, que j'ai lu dans la séance publique de l'Académie des Sciences, le 8 avril 1822 ; on peut voir ce que j'en

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ai dit dans ces notes à la page 215 de mon Recueil d Ohsemaliom électro-dynamigues. Il ne paraît pas que cette marche, la seule qui puisse conduire à des résultats indépendants de toute hypothèse, soit préférée parles physit-iens du reste de l'Europe, comme elle l'est par les Français; et le savant illustre qui a vu le premier les pôles d'un aimant transportés par l'action d'un Ql conducteur dans des directions perpendiculaires à celles de ce fil, en a conclu que la matière électrique tournait autour de lui, et poussait ces pôles dans le sens de son mouvement, précisément comme Descartos faisait tourner la matière de ses tourbillons dans le sens des révolutions planétaires. Guidé par les principes de la philosophie newtonienne, j'ai ramené le phénomène observé par M. Oerstedl, comme on l'a fait à l'égard de tous ceux du même genre que nous ofTre la nature, à des forces agissant toujours suivant la droite qui joint les deux particules entre lesquelles elles s'exercent ; et si j'ai établi que la même disposition ou le même mouvement de l'électricité qui existe dans le fil conducteur a lieu aussi autour des particules des aimants, ce n'est certainement pas pour les faire agir par impulsion à la manière d'un tourbillon, mais pour cjilculer, d'après ma formule, les forces qui en résultent entre ces particules et celles d'un conducteur ou d'un autre aimant, suivant les droites qui joignent deux à deux les particules dont on considère l'action mutuelle, et pour montrerque les résultats du calcul sont complètement vérifies : 1° par les expériences que j'ai faites et par celles qu'on doit à M. Pouillet sur la détermination précise des situations où il faut que se trouve un conducteur mobile, pour qu'il reste en équilibre lorsqu'il est soumis à l'action, soil d'un autre conducteur, soit d'un aimantj 2° par Tacconi de ces résultats avec les loisque Coulomb et M. Biot ont déduites de leurs expériences, le premier relativement à l'action mutuelle de deux aimants, le second h celle d'un aimant et d'un Ql conducteur.

Le principal avantage des formules qui sont ainsi conclues immédiatement de quelques faits généraux donnés par un nombre suffisant d'observations pour que la certitude n'en puisse être cinlestée, est de rester indépendantes, tant des hypothèses dont leurs auteurs ont pu s'aider dans ta recherche de ces formules, que de celles qui" peuvent leur être substituées dans la suite. L'expression de l'attraction universelle déduite des lois de Kepler ne dépend point des hypothèses que quelques auteurs ont essayé de faire sur une cause méca-

nique qu'ils voulaient lui assigner. La théorie de la chaleur repose réellement sur des faits généraux donnés immédiatement par l'observation ; et l'équation déduite de ces faits se trouvant confirmée par l'accord des résultats qu'on en tire et de ceux que donne l'expérience, doit être également reçue comme exprimant les vraies lois de la propagation de la chaleur, et par ceux qui l'attribuent à un rayonnement de molécules calorifiques, et par ceux qui recourent pour expliquer le même phénomène aux vibrations d'un fluide répandu dans l'espace ; seulement il faut que les premiers montrent comment l'équation dont il s'agit résulte de leur manière de voir, et que les seconds la déduisent des formules générales des mouvements vibratoires ; non pour rien ajouter à la certitude de cette équation, mais pour que leurs hypothèses respectives puissent subsister. Le physicien qui n'a point pris de parti à cet égard admet cette équation comme la représentation exacte des faits, sans s'inquiéter de la manière dont elle peut résulter de l'une ou de l'autre des explications dont nous parlons ; et si de nouveaux phénomènes et de nouveaux calculs viennent à démontrer que les effets de la chaleur ne peuvent être réellement expliqués que dans le système des vibrations, le grand physicien qui a le premier donné cette équation, et qui a créé pour l'appliquer à l'objet de ses recherches de nouveaux moyens d'intégration, n'en serait pas moins l'auteur de la théorie mathématique de la chaleur, comme Newton est celui de la théorie des mouvements planétaires, quoique cette dernière ne fût pas aussi complètement démontrée par ses travaux qu'elle l'a été depuis par ceux de ses successeurs.

Il en est de même de la formule par laquelle j'ai représenté l'action électro-dynamique. Quelle que soit la cause physique à laquelle on veuille rapporter les phénomènes produits par cette action, la formule que j'ai obtenue restera toujours l'expression des faits. Si l'on parvient à la déduire d'une des considérations par lesquelles on a expliqué tant d'autres phénomènes, telles que les attractions en raison inverse du carré de la distance, celles qui deviennent insensibles à toute distance appréciable des particules entre lesquelles elles s'exercent, les vibrations d'un fluide répandu dans l'espace, etc., on fera un pas de plus dans cette partie de la physique; mais cette recherche, dont je ne me suis point encore occupé, quoique j'en reconnaisse toute l'importance, ne changera rien aux résultats de mon travail, puisque pour s'accorder avec les faits, il faudra toujours que

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l'hypothèse adoptée s'accorde avec la formule qui les représente si complètement.

Dès que j'eus reconnu que deux conducteurs volttdques agissent Tun sur Tautre, tantôt en s'attirant, tantôt en se repoussant, que j*eus distingué et décrit les actions qu'ils exercent dans les différentes situations où ils peuvent se trouver l'un à Tégard de l'autre, et que j'eus constaté l'égalité de l'action qui est exercée par un conducteur rectiligne, et de celle qui l'est par un conducteur sinueux, lorsque celui-ci ne s'éloigne qu'à des distances extrêmement petites de la direction du premier, et se termine, de part et d'autre, aux mêmes points ; je cherchai à exprimer par une formule la valeur de la force attractive ou répulsive de deux de leurs éléments, ou parties infiniment petites, afin de pouvoir en déduire, par les méthodes connues d'intégration, l'action qui a lieu entre deux portions de conducteurs données de forme et de situation.

L'impossibilité de soumettre directement à l'expérience des portions infiniment petites du circuit voltaique, oblige nécessairement à partir d'observations faites sur des fils conducteurs de grandeur finie, et il faut satisfaire à ces deux conditions, que les observations soient susceptibles d'une grande précision, et qu'elles soient propres à déterminer la valeur de l'action mutuelle de doux portions infiniment petites de ces fils. C'est ce qu'on peut obtenir de deux manières : Tune consiste à mesurer d'abord avec la plus grande exactitude des valeurs de l'action mutuelle de deux portions d'une grandeur finie, en les plaçant successivement, l'une par rapport à l'autre, à diffé« rentes distances et dans différentes positions, car il est évident qu'ici l'action ne dépend pas seulement de la distance; il faut ensuite faire une hypothèse sur la valeur de l'action mutuelle de deux portions infiniment petites, en conclure celle de l'action qui doit en résulter pour les conducteurs de grandeur finie sur lesquels on a opéré, et modifier l'hypothèse jusqu'à ce que les résultats du calcul s'accordent avec ceux de l'observation. C'est ce procédé que je m'étais d'abord proposé de suivre, comme je l'ai expliqué en détail dans un Mémoire lu à l'Académie des Sciences, le 9 octobre 1820 (1); et quoiqu'il ne nous

(1 ) Ce mémoire n'a pas été publié à part, mais les principaux résultais en ont été insérés dans celui que j*ai publié en 1820, dans le tome XV des Amnalet de ekimiê et de physique.

conduise à la vérité que par la voie indirecte des hypothèses, il n'en est pas moins précieux, puisqu'il est souvent le seul qui puisse être employé dans les recherches de ce genre. Un des membres de cette Académie, dont les travaux ont embrassé toutes les parties de la physique, l'a parfaitement décrit dans la Notice sur V aimantation imprimée aux métaux par f électricité en mouvement^ qu'il nous a lue le 2 avril 1821, en l'appelant un travail en quelque sorte de divination, qui est la fin de presque toutes les recherches physiques (I).

Mais il existe une autre manière d'atteindre plus directement le même but; c'est celle que j'ai suivie depuis, et qui m'a conduit au résultat que je désirais : elle consiste à constater, par l'expérience, qu'un conducteur mobile reste exactement en équilibre entre des forces égales, ou des moments de rotation égaux, ces forces et ces moments étant produits par des portions de conducteurs fixes dont les formes ou les grandeurs peuvent varier d'une manière quelconque, sous des conditions que l'expérience détermine, sans que l'équilibre soit troublé, et d'en conclure directement par le calcul quelle doit être la valeur de l'action mutuelle de deux portions infiniment petites, pour que l'équilibre soit en effet indépendant de tous les changements de forme ou de grandeur compatibles avec ces conditions.

Ce dernier procédé ne peut être employé que quand la nature de l'action qu'on étudie donne lieu à des cas d'équilibre indépendants de la forme des corps ; il est, par conséquent, beaucoup plus restreint dans ces applications que celui dont j'ai parlé tout à l'heure : mais puisque les conducteurs voltaïques présentent des circonstances où cette sorte d'équilibre a lieu, il est naturel de le préférer à tout autre, comme plus direct, plus simple, et susceptible d'une plus grande exactitude quand les expériences sont faitesavec les précautions convenables. Il y a d'ailleurs, à l'égard de l'action exercée par ces conducteurs, un motif bien plus décisif encore de le suivre dans les recherches relatives à la détermination des forces qui la produisent : c'est l'extrême difficulté des expériences où l'on se proposerait, par exemple, de mesurer ces forces par le nombre des oscillations d'un corps soumis à leurs actions. Cette difficulté vient de ce que quand on fait agir un

(1) Voyez le Journal des savants, avril 1821, p. 233.

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conducteur fixe sur une portioa mobile du circuit voltalque, les parties de l'appareil Qécessalre pour la mettre en communicatioD avec la pile, agissent sur cette portion mobile en même temps que le conducteur fixe, et altèrent ainsi les résultats des expériences. Je crois cependant être parvenu à la surmonter dans un appareil propre ii mesurer l'action mutuelle de deux conducteurs, l'un fixe et l'autre mobile, par le nombre des oscillations de ce dernier, et en faisant varier la forme du conducteur fixe. Je décrirai cet appareil dans la suite de ce Mémoire.

Il est vrai qu'on ne rencontre pas les mêmes obstacles quand ou mesure de la même manière l'action d'un fil conducteur sur un aimant ; oiaiâ ce moyen ne peut être employé quand il s'agit de la détermination des forces que deux conducteurs voltaïques exercent l'un sur l'autre, détermination qui doit être le premier objet de nos recherches dans l'étude des nouveaux phénomènes. Il est évident, en effet, que si l'action d'un fil conducteur sur uu aimant était due à une autre cause que celle qui a lieu entre deux conducteurs, les expériences faites sur la première ne pourraient rien apprendre relativemeul à la seconde ; et que si les aimants ne doivent leurs propriétés qu'à des courants électriques, entourant chacune de leurs particules, il faudrait, pour pouvoir en tirer des conséquences certaines relativement à l'action qu'exerce sur ces courants celui du fil conducteur, que l'on sût d'avance s'ils ont la même intensité près de la surface de l'aimant et dans son intérieur, ou suivant quelle loi varie cette intensité ; si les plans de ces courants sont partout perpendiculaires à l'axe du barreau aimanté, comme je l'avais d'abord supposé, ou si l'action mutuelle des courants d'un même aimant leur donne une situation d'autant plus inclinée à cet axe qu'ils en sont k une plus grande distance et qu'ils s'écartent davantage de son milieu, comme je l'ai conclu depuis de la différence qu'on remarque entre la situation des pôles d'un aimant, et celles des points qui jouissent des mômes propriétés dans un fil conducteur roulé en hélice (!}.

(1] Je crois devoir insérer ici la note suivaDte, qui est eilraile de l'analyse des travBui de l'Académie pendant l'aDoée 1821, publiée le 8 avril I8S2. (Voyei U partie nialbi^matique de celte «nalyse, p. ii el 23.)

<t La principale différence entre la manière d'agir d'un aimant et d'un con- I' ducteur voUaïque dont une partie est roulée en bélice autour de l'autre.

Les divers cas d'équilibre que j'ai constatés par des expériences précises, donnent immédiatement autant de lois qui conduisent

« consiste en ce que les pôles du premier sont situés plus près du milieu de

< Taimant que ses extrémités, tandis que les points qui présentent les mômes « propriétés dans Thélice sont exactement placés aux extrémités de cette « hélice : c'est ce qui doit arriver quand l'intensité des courants de Taimant va « en diminuant de son milieu vers ses extrémités. Mais M. Ampère a reconnu « depuis une autre cause qui peut aussi déterminer cet effet. Après avoir « conclu de ses nouvelles expériences, que les courants électriques d'un aimant « existent autour de chacune de ses particules, il lui a été aisé de voir qu'il

< n'est pas nécessaire de supposer, comme il l'avait fait d'abord, que les plans « de ces courants sont partout perpendiculaires à l'axe de l'aimant; leur action « mutuelle doit tendre à donner à ces plans une situation inclinée à Taxe, sur- « tout vers ses extrémités, en sorte que les pôles, au lieu d'y être exactement « situés, comme ils devraient l'être, d*après les calculs déduits des formules u données par M. Ampère, lorsqu'on suppose tous les courants de même inten- « site et dans des plans perpendiculaires à l'axe, doivent se rapprocher du mi* « lieu de Taimant d'une partie de sa longueur d'autant plus grande que les « plans d'un plus grand nombre de courants sont ainsi inclinés, et qu'ils le sont

< davantage, c'est-à-dire d'autant plus que l'aimant est plus épais relativement € à sa longueur, ce qui est conforme k l'expérience. Dans les fils conducteurs « plies en hélice, et dont une partie revient par l'axe pour détruire l'effet de la « partie des courants de chaque spire qui agit comme s'ils étaient parallèles à « cet axe, les deux circonstances qui, d'après ce que nous venons de dire, n'ont « pas nécessairement lieu dans les aimants, existent au contraire nécessai- « rement dans ces fils ; aussi observe-t-on que les hélices ont des pôles sem- « blables à ceux des aimants, mais placés exactement k leurs extrémités comme « le donne le calcul. »

On voit par cette note que, dès l'année 1821, j'avais conclu des phénomènes que présentent les aimants : 1* qu'en considérant chaque particule d'un barreau aimanté comme un aimant, les axes de ces aimants élémentaires doivent être, non pas parallèles à l'axe de l'aimant total comme on le supposait alors, mais situés dans des directions inclinées à cet axe et dans des directions déterminées par leur action mutuelle ; 2* que cette disposition est une des causes pour lesquelles les pôles de l'aimant total ne sont pas situés à ses extrémités, mais entre les extrémités et le milieu de l'aimant. L'une et l'autre de ses assertions se trouvent aujourd'hui complètement démontrées par les résultats que M. Poisson a déduits des formules par lesquelles il a représenté la distribution, dansles aimants, des forces qui émanent de chacune de leurs particules. Ces formules sont fondées sur la loi de Coulomb, et il n'y a, par conséquent, rien à y changer quand on adopte la manière dont j'ai expliqué les phénomènes magnétiques, puisque cette loi est une conséquence de ma formule, comme on le verra dans la suite de ce Mémoire.

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directement à Texpression mathématique de la force que deux éléments de conducteurs voltaïques exercent l'un sur l'autre, d'abord en faisant connaître la forme de cette expression, ensuite en déterminant les nombres constants, mais d'abord inconnus, qu'elle renferme, précisément comme les lois de Kepler démontrent d'abord que la force qui retient les planètes dans leurs orbites tend constamment au centre du soleil, puisqu'elle change pour une même planète en raison inverse du carré de sa distance à ce centre, enfin que le coefficient constant qui en représente Tiotensité a la même valeur pour toutes les planètes. Ces cas d'équilibre sont au nombre de quatre : le premier démontre l'égalité des valeurs absolues de l'attraction et de la répulsion qu'on produit en faisant passer alternativement, en deux sens opposés, le même courant dans un conducteur fixe dont on ne change ni la situation ni la distance au corps sur lequel il agit. Cette égalité résulte de la simple observation que deux portions égales d'un même fil conducteur recouvertes de soie pour en empêcher la communication, et toutes deux rectilignes ou tordues ensemble de manière à former l'une autour de l'autre deux hélices dont toutes les parties sont égales, et qui sont parcourues par un même courant électrique. Tune dans un sens et l'autre en sens contraire, n'exercent aucune action, soit sur un conducteur mobile, soit sur un aimant; on peut aussi la constater à l'aide du conducteur mobile qu'on voit dans la figure 9 de la planche I'* du tome XVIII des Annales de chimie et de physique, relative à la description d'un de mes appareils électro-dynamiques, et qui est représenté ici (PI. I, fig. 1). On place pour cela un peu au-dessous de la partie inférieure deéd de |ce conducteur, et dans une direction quelconque, un conducteur rectiligne horizontal plusieurs fois redoublé AB, de manière que le milieu de sa longueur et de son épaisseur soit dans la verticale qui passe par les pointes x, y, autour desquelles tourne librement le conducteur mobile. On voit alors que ce conducteur reste dans la situation où on le place ; ce qui prouve qu'il y a équilibre entre les actions exercées par le conducteur fixe sur les deux portions égales et opposées de circuit voltaîque bcde^ Vc'de\ qui ne diSerent que parce que^daus l'une, le courant électrique va en s'approchant du conducteur fixe AB, et dans l'autre, en s'en éloignant, quel que soit d'ailleurs Tangle formé par la direction de ce dernier conducteur avec le plan du conducteur mobile : or, ai l'on considère d'abord les deux actions

exercées entre chacune de ces portions de circuit voltaïque et la moitié du conducteur AB dont elle est la plus voisine, et ensuite les deux actions entre chacune d'elles et la moitié du même conducteur dont elle est la plus éloignée, on verra aisément : !• que l'équilibre dont nous venons de parler ne peut avoir lieu pour toutes les valeurs de cet angle, qu autant qu'il y a séparément équilibre entre les deux premières actions et les deux dernières; 2* que si Tune des deux premières est attractive, parce que les côtés de l'angle aigu formé par les portions de conducteurs entre lesquelles elle a lieu, sont parcourus dans le même sens par le courant électrique, l'autre sera répulsive parce qu'elle aura lieu entre les deux côtés de l'angle égal opposé au sommet, qui sont parcourus en sens contraires par le même courant, en sorte qu'il faudra d'abord, pour qu'il y ait équilibre entre elles, que ces deux premières actions qui tendent à faire tourner le conducteur mobile, l'une dans un sens, l'autre dans le sens opposé, soient égales entre elles ; et ensuite que les deux dernières actions, l'une attractive et l'autre répulsive, qui s'exercent entre les côtés des deux angles obtus opposés au sommet et suppléments de ceux dont nous venons de parler, soient aussi égales entre elles. Il est inutile de remarquer que ces actions sont réellement les sommes des produits des forces qui agissent sur chaque portion infiniment petite du conducteur mobile, multipliées par leur distance à la verticale autour de laquelle il peut librement tourner; mais comme les distances à cette verticale des portions infiniment petites correspondantes des deux branches bcde^ b'c'cte' sont toujours égales entre elles, l'égalité des moments rend nécessaire celle des forces.

Le second des trois cas généraux d'équilibre, est celui que j'ai remarqué à la fin de l'année Ï820 ; il consiste dans l'égalité des actions exercées sur un conducteur rectiligne mobile, par deux conducteurs fixes situés à égales distances du premier, et dont l'un est rectiligne, l'autre plié et contourné d'une manière quelconque, quelles que soient d'ailleurs les sinuosités que forme ce dernier. Voici la description de l'appareil avec lequel j'ai vérifié l'égalité des deux actions par des expériences susceptibles d'une grande précision, et dont j'ai communiqué les résultats à l'Académie, dans la séance du 26 décembre 1820.

Les deux règles verticales en bois, PQ, RS (fig. 2), portent, dans des rainures pratiquées sur celles de leurs faces qui se trouvent en

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regard, la première un fil rectiligne bc^ la seconde un fil A:/ formant, dans toute sa longueur et dans un plan perpendiculaire au plan qui joindrait les deux axes des règles, des contours et des replis tels que ceux qu'on voit dans la figure le long de la règle RS, de manière que ce fil ne s'éloigne, en aucun de ses points, que très peu du milieu de la rainure.

Ces deux fils sont destinés à servir de conducteurs à deux portions d'un même courant, que l'on fait agir par répulsion sur la partie GH d'un conducteur mobile, composé do deux circuits rectangulaires presque fermés et égaux BCDE, FGHI, qui sont parcourus en sens contraires par le courant électrique, afin que les actions que la terre exerce sur ces deux circuits se détruisent mutuellement. Aux deux extrémités de ce conducteur mobile, sont deux pointes A et K qui plongent dans les coupes M et N, pleines de mercure, et soudées aux extrémités des deux branches de cuivre ^M, AN. Ces branches sont en communication, par les bottes de cuivre g et A, la première avec un fil de cuivre gfey plié en hélice autour du tube de verre hgf^ l'autre avec un fil rectiligne Ai qui passe dans Tintérieur du môme tube, et se termine dans l'auge /n, creusée dans une pièce de bois vw qu'on fixe à la hauteur que l'on veut, contre le montant z, avec la vis de pression o. D'après l'expérience dont j'ai parlé plus haut, cette portion du circuit composée de l'hélice gfel du fil rectiligne At, ne peut exercer aucune action sur le conducteur mobile. Pour que le courant électrique passe dans les conducteurs fixes bc et ^/, les fils dont ces conducteurs sont formés se prolongent en cd^, /nm, dans deux tubes de verre (1) attachés à la traverse ory, et viennent se terminer, le premier dans la coupe f , et le second dans la coupe n. Tout étant ainsi disposé, on met du mercure dans toutes les coupes et dans les deux auges ba^ At, et l'on plonge le rhéophore positif /mi dans l'auge ba qui est aussi creusée dans la pièce de bois t^tc, et le rhéophore négatif gn dans la coupe n. Le courant parcourt tous les conducteurs de l'appareil dans l'ordre suivant pabcdefg MABGDEFGHIKN hiklmnq;

(1) L*u8age de ce8 tubes est d*empècher la flexion des fils qui y sont renfermés, en les maintenant à des distances égales des deux conducteurs et, kU afin que leurs actions sur GH qui diminuent celle de ces deux conducteurs, les diminuent également

d'où il résulte qu'il est ascendant dans les deux conducteurs fixes, et descendant dans la partie GH du conducteur mobile qui est soumise à leur action, et qui se trouve au milieu de l'intervalle des deux conducteurs fixes dans le plan qui passe par leurs axes. Cette partie GH est donc repoussée par bc et kl: d'où il suit que si l'action de ces deux conducteurs est la même à égales distances, GH doit s'arrêter au milieu de l'intervalle qui les sépare ; c'est ce qui arrive en effet. Il est bon de remarquer : 1 • que les deux axes des conducteurs fixes étant à égales distances de GH, on ne peut pas dire rigoureusement que la distance est la même pour tous les points du conducteur A/, à cause des contours et des replis que forme ce conducteur. Mais comme ces contours et ces replis sont dans un plan perpendiculaire au plan qui passe par GH et par les axes des conducteurs fixes, il est évident que la différence de distance qui en résulte, est la plus petite possible, et d'autant moindre que la moitié de la largeur de la rainure RS, que cette moitié est moindre que l'intervalle des deux règles, puisque cette différence, dans le cas où elle est la plus grande possible, est égale à celle qui se trouve entre le rayon et la sécante d'un arc dont la tangente est égale à la moitié de la largeur de la rainure, et qui appartient à un cercle dont le diamètre est l'intervalle des deux règles ; 2' que si l'on décompose chaque portion infiniment petite du conducteur A/, comme on décomposerait une force en deux autres petites portions qui en soient les projections, l'une sur l'axe vertical de ce conducteur, l'autre sur des lignes horizontales menées par tous ses points dans le plan où se trouvent les replis et les contours qu'il forme, la somme des premières, en prenant négativement celles qui, ayant une direction opposée à la direction des autres, doivent produire une action en sens contraire, sera égale à la longueur de cet axe ; en sorte que l'action totale, résultant de toutes ces projections, sera la même que celle d'un conducteur rectiligne égal à l'axe, c'est-à-dire à celle du conducteur bc situé de l'autre côté à la môme distance de GH, tandis que l'action des secondes sera nulle sur le même conducteur mobile GH, puisque les plans élevés perpendiculairement sur le milieu de chacune d'elles passeront sensiblement par la direction de GH. La réunion de ces deux séries de projections produit donc nécessairement sur GH une action égale à celle de bc; et comme l'expérience prouve que le conducteur sinueux kl produit aussi une action égale à celle de de, quels que soient les

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replis et les contours qu'il forme, il s'ensuit qu'il agit, dans tous les cas, comme la réunion des deux séries de projections, ce qui ne peut avoir lieu, indépendamment de la manière dont il est plié et contourné, à moins que chacune des parties de ce conducteur n'agisse séparément comme la réunion de ses deux projections.

Pour que cette expérience ait toute l'exactitude désirable, il est nécessaire que les deux règles soient exactement verticales, et qu'elles soient précisément à la même distance du conducteur mobile. Pour remplir ces conditions, on adapte une division a^ à la traverse xy, et l'on fixe les règles avec deux crampons t| et 0, et deux vis de pression X, |A, ce qui permet de les écarter ou de les rapprocher à volonté, en les maintenant toujours à égale distance du milieu y de la division 0^. L'appareil est construit de manière que les deux règles sont perpendiculaires à la traverse xy, et on rend celle-ci horizontale c^ l'aide des vis que l'on voit aux quatre coins du pied de l'instrument, et du fil à plomb XY qui répond exactement au point Z, déterminé convenablement sur ce pied, quand la traverse xy est parfaitement de niveau.

Pour rendre le conducteur ABGDEFGHIK mobile autour d'une ligne verticale, située à égale distance des deux cx)nducteurs 6c, kl^ ce conducteur est suspendu à un fil métallique très fin attaché au centre d'un bouton T, qui peut tourner sur lui-même sans changer de distance à ces deux conducteurs; C4^ bouton est au centre d'un petit cadran 0, sur lequel Tindice L sert à marquer l'endroit où il faut l'arrêter pour que la partie GH du conducteur mobile réponde, sans que le fil soit tordu, au milieu de l'intervalle des deux conducteurs fixes dr, A/, «afin de pouvoir remettre immédiatement l'aiguille dans la direction où il faut qu'elle soit pour cela, toutes les fois qu'on veut répéter Texpérience. On reconnaît que GH est en effet à égale distance de hc et de ^/, au moyen d'un autre fil à plomb '^cd attaché à une branche de cuivre yI^ portée comme le cadran 0 par le support UVO, dans lequel cette branche Ytji P^^^ tourner autour de Taxe du bouton f qui la termine, ce qui donne la facilité de faire répondre la pointe de l'aplomb ^ sur la ligne yS milieu de la division 01^. Quand le conducteur est dans la position convenable, les trois verticales <|^, GH et CD se trouvent dans le même plan, et l'on s'en assure aisément en plaçant l'œil dans ce plan en avant de^.

Le conducteur mobile se trouve ainsi placé d'avance dans la situation où il doit y avoir équilibre, entre les répulsions des deux conducteurs fixes, si ces répulsions sont exactement égales : on les produit alors en plongeant dans le mercure de l'auge ba et de la coupe n les fils ajo, nq^ qui communiquent avec les deux extrémités de la pile, et Ton voit le conducteur GH rester dans cette situation malgré la grande mobilité de ce genre de suspension, tandis que si l'on déplace^ même très peu, l'indice L, ce qui amène GH dans une situation où il n'est plus à égales distances des conducteurs fixes ôc, A/, on le voit se mouvoir à l'instant où l'on établit les communications avec la pile, en s'éloignant de celui des conducteurs dont il se trouve le plus près. C'est ainsi que j'ai constaté, dans le temps où j'ai fait construire cet instrument, l'égalité des actions des deux conducteurs fixes, par des expériences répétées plusieurs fois avec toutes les précautions nécessaires pour qu'il ne pût rester aucun doute sur leur résultat.

On peut aussi démontrer la même loi par une expérience bien simple : il suffit pour cela de prendre un fil de cuivre revêtu de soie dont une portion est rectiligne et l'autre est repliée autour d'elle de manière qu'elle forme des sinuosités quelconques sans se séparer de la première qui en est isolée par la soie qui les recouvre. On constate alors qu'une autre portion de fil conducteur est sans action sur l'assemblage de ces deux portions ; et comme elle le serait également sur l'assemblage de deux fils rectilignes parcourus en sens contraires par un même courant électrique, d'après l'expérience par laquelle on constate de la manière la plus simple le premier cas d'équilibre, il s'ensuit que l'action d'un courant sinueux est précisément égale à celle d'un courant rectiligne compris entre les mêmes extrémités, puisque ces deux actions font l'une et l'autre équilibre à l'action d'un même courant rectiligne de même longueur que ce dernier, mais dirigé en sens contraire.

Le troisième cas d'équilibre consiste en ce qu'un circuit fermé de forme quelconque, ne saurait mettre en mouvement une portion quelconque d'un fil conducteur formant un arc du cercle dont le centre est dans un axe fixe, autour duquel il peut tourner librement et qui est perpendiculaire au plan du cercle dont cet arc fait partie.

Sur un pied TT (PI. !'•, fig. 3), en forme de table, s'élèvent deux

DES PHÉKOHÎNES ELECTRO-DYNAMIQUES tS

colonnes, EF, KF, liées entre elles par deux traverses LL', EF; un axe GH est maintenu entre ces deux traverses dans une position verticale. Ses deux extrémités G, H, terminées en pointes aiguës, entrent dans deux trous coniques pratiqués, l'un dans la traverse inférieure LL', l'autre à l'extrémité d'une vis KZ portée par la traverse supérieure FF', et destinée à presser l'axe GH sans le forcer. En G est fixé invariablement à cet axe un support QO dont l'extrémité 0 présente une charnière dans laquelle est engagé par son milieu un arc de cercle A.A' formé d'un fîl métallique qui reste constamment daus une position horizontale, et qui a pour rayon la distance du point 0 à l'axe GH. Cet arc est équilibré par un contrepoids Q, afln de dimÏDuer le frottement de l'axe GH dans les trous coniques où ses extrémités sont reçues.

Au-dessous de l'arc AA' sont disposés deux augets M, M' pleins de mercure, de telle sorte que la surface du mercure, s'élevant au-dessus des bords, vienne toucher l'arc AA' en B et B'. Ces deux augets communiquent par des conducteurs métalliques, MN, M'N', avec des coupes P, F pleines de mercure. La coupe P et le conducteur MN qui la réunit à l'auget M sont fixés à un axe vertical qui s'enfonce dans la table de manière k pouvoir tourner librement. La coupe P', à laquelle est attaché le conducteur M'iV, est traversée par le même axe, autour duquel elle peut tourner aussi indépendamment de l'autre. Elle en est isolée par un tube de verre V qui enveloppe cet axe, et par une rondelle de verre U qui la sépare du conducteur de l'auget M, de manière qu'on peut disposer les conducteurs MN, M'N' sous l'angle qu'on veut.

Deux autres conducteurs IR, l'R' attachés à la table plongent respectivement dans les coupes P, P", et les font communiquer avec des cavités K, H' creusées dans la table et remplies de mercure. Enliu, une troisième cavité S pleine également de mercure se trouve entre les deux autres.

Voici la manière de faire usage de cet appareil : On fait plonger l'un des rhéophores, par exemple, le rhéophore positif dans la cavité H, et le rhéophore négatif dans la cavité S, qu'on met en communication avec la cavité R' par un conducteur curviligne d'une forme quelconque. Le courant suit le conducteur RI, passe dans la coupe P, de là dans le conducteur NM, dans l'auget M, le conducteur M'N', la coupe P", le conducteur l'R', et enfin de la cavité R' dans le cou-

ducteur curviligne qui communique avec le mercure de la cavité S où plonge le rhéophore négatif.

D'après cette disposition le circuit voltaïque total est formé :

!• De Tare BB' et des conducteurs MN, M'N';

2' D'un circuit qui se compose des parties RIP, FI'R' de l'appareil, du conducteur curviligne allant de R' en S et de la pile elle-même.

Ce dernier circuit doit agir comme un circuit fermé, puisqu'il n'est interrompu que par l'épaisseur du verre qui isole les deux coupes P, P' : il suffira donc d'observer son action sur l'arc BB' pour constater par l'expérience l'action d'un circuit fermé sur un arc dans les dififérentes positions qu'on peut donner à l'un et à l'autre.

Lorsqu'au moyen de la charnière 0 on met l'arc AA' dans une position telle que son centre soit hors de l'axe GH, cet arc prend un mouvement et glisse sur le mercure des augets M, M' en vertu de l'action du courant curviligne fermé qui va de R' en S. Si au contraire son centre est dans l'axe, il reste immobile; d'où il suit que les deux portions du circuit fermé qui tendent à le faire tourner en sens contraires autour de Taxe exercent sur cet arc des moments de rotation dont la valeur absolue e3t la même, et cela, quelle que soit la grandeur de la partie BB' déterminée par l'ouverture de l'angle des conducteurs MN, M'N'. Si donc on prend successivement deux arcs BB' qui diffèrent peu l'un de l'autre, comme le moment de rotation est nul pour chacun d'eux, il sera nul pour leur petite différence, et par conséquent pour tout élément de circonférence dont le centre est dans l'axe ; d'où il suit que la direction de l'action exercée par le circuit fermé sur l'élément passe par l'axe, et qu'elle est nécessairement perpendiculaire à l'élément.

Lorsque l'arc AA' est situé de manière que son centre soit dans l'axe, les portions de conducteur MN, M'N' exercent sur l'arc BB' des actions répulsives égales et opposées, en sorte qu'il ne peut en résulter aucun effet; et puisqu'il n'y a pas de mouvement, on est sûr qu'il n'y a pas de moment de rotation produit par le circuit fermé.

Lorsque l'arc AA' se meut dans l'autre situation où nous l'avions d'abord supposé, les actions des conducteurs MN et M'N' ne sont plus égales : on pourrait croire que le mouvement n'est dû qu'à cette différence ; mais suivant qu'on approche ou qu'on éloigne le circuit curviligne qui va de R' en S, le mouvement est augmenté ou diminué,

ce qui ne permet pas de douter que le circuit fermé ne soit pour beaucoup daus l'effet observé.

Ce résultat ayant lieu, quelle que aoit la longueur de l'axe AA', aura nécessairement lieu pour chacun des éléments dont cet arc est composé. Nous tirerons de là cette conséquence générale, que l'action d'un circuit fermé, ou d'un ensemble de circuits fermés quelconques, sur un élément infiniment petit d'un courant électrique, est perpendiculaire à cet élément.

C'est à l'aide d'un quatrième cas d'équilibre, dont il me reste à parier, qu'on peut achever de déterminer U'n cœfficients constants qui entrent dans ma formule, sans avoir recours, comme je l'avais d'abord fait, aux expériences où un aimant et un SI conilucteur agissent l'un sur l'autre. Voici l'instrument à l'aide duquel cette détennination repose uniquement sur l'observation de ce qui a lieu quand ce sont deux 81s conducteurs dont on examine l'action mutuelle.

Dans la table MN fPl. 1", flg. 4), est creusée une cavité A, remplie de mercure, d'où part un conducteur fixe ABCDEFG formé d'une lame de cuivre, la portion CDE est circulaire, et les parties CBA, EFG sont isolées l'une de l'autre par la soie qui les recouvre. En G ce conducteur est soudé à un tube de cuivre GH, surmonté d'une coupe I, qui communique avec le tube par le support HI du même métal. De la coupe 1 part un conducteur mobile IKLMNPQRS, dont la portion MNP est circulaire; il est entouré de soie dans les parties MLK et PQR pour qu'elles soient isolées, et il est tenu horizontal au moyen d'un contre-poids a fixé sur une circonférence de cercle qu'un prolongement bcg de la lame dont est composé le conducteur mobile forme autour du tube GH. La coupe S est soutenue par une tige ST, ayant le même axe que GH, dont elle est isolée par une substance résineuse que l'on coule dans le tube. Le pied de la tige ST est soudé au conducteur fixe TUVXYZ.V, qui sort du tube GH par une ouverture assez grande pour que la résine l'en isole aussi complètement dans cet endroit qu'elle le fait dans le reste du tube GH, à l'égard de ST. Ce conducteur, à sa sortie du tube, est revêtu de soie pour empèrhep la portion TUV de communiquer avec YZA'. Quant à la portion VXY, elle est circulaire, et l'extrémité A' plonge dans une seconde cavité A' creusée dans la table et pleine de mercure.

Les centres 0, 0', 0" des trois portions circulaires sont en ligne droite; les rayons des cercles qu'elles forment sont en proportion

géométrique continue, et l'on place d'abord le conducteur mobile de manière que les distances 00', O'O" sont dans le même rapport que les termes consécutifs de cette proportion ; de sorte que les cercles 0 et 0' forment un système semblable à celui des cercles 0' et C. On plonge alors le rhéophore positif en A et le rhéophore négatif en A', le courant parcourt successivement les trois cercles dont les centres sont en 0, 0', O'', qui se repoussent deux à deux, parce que le courant va en sens opposés dans les parties voisines.

Le but de l'expérience qu'on fait avec cet instrument est de prouver que le conducteur mobile reste en équilibre dans la posilion où le rapport 00' à O'O" est le même que celui des rayons de deux cercles consécutifs, et que si on l'écarté de cette position il y revient en oscillant autour d'elle.

Je vais maintenant expliquer comment on déduit rigoureusement de ces cas d'équilibre la formule par laquelle j'ai représenté l'action mutuelle de deux éléments de courant voltaîque, en montrant que c'est la seule force agissant suivant la droite qui en joint les milieux qui puisse s'accorder avec ces données de l'expérience. Il est d'abord évident que l'action mutuelle de deux éléments de courants électriques est proportionnelle à leur longueur; car, en les supposant divisés en parties infiniment petites égales à leur commune mesure, toutes les attractions ou répulsions de ces parties, pouvant être considérées comme dirigées suivant une même droite, s'ajoutent nécessairement. Cette même action doit encore être proportionnelle aux intensités des deux courants. Pour exprimer en nombre l'intensité d'un courant quelconque, on concevra qu'on ait choisi un autre courant arbitraire pour terme de comparaison, qu'on ait pris deux éléments égaux dans chacun de ces courants, qu'on ait cherché le rapport des actions qu'ils exercent à la même distance sur un même élément de tout autre courant, dans la situation où il leur est parallèle et où sa direction est perpendiculaire aux droites qui joignent son milieu avec les milieux de deux autres éléments. Ce rapport sera la mesure d'une des intensités, en prenant l'autre pour unité.

Désignant donc par t et t' les rapports des intensités des deux courants donnés à l'intensité du courant pris pour unité, et par ds^ d^ les longueurs des éléments que l'on considère dans chacun d'eux ; leur action mutuelle, quand ils seront perpendiculaires à la ligne qui joint leurs milieux, parallèles entre eux et situés à l'unité de distance

DES pnXNOMÈNES tf LErmO-DYN-AMIQUES

l'un de l'autre, sera exprimée par li'dsd*'; que nous prendrons avec le signe + quand les deux courants, allant dans le même sens, s'attireront, et avec le signe — diins le cas contraire.

Si l'on voulait rapporter l'action des deux éléments à la pesanteur, on prendrait pour unité de forces le poids de l'unité de volume d'une matière convenue. Mais alors le courant pris pour unité ne serait plus arbitraire ; il devrait être tel, que l'attraction entre deux de ses éléments ds, as', situés comme nous venons de le dire, pût soutenir un poids qui fût à l'unité de poids comme dsds' est à i . Ce courant une fois déterminé, te produit ri'dsds" désignerait le rapport de l'attraction de deux éléments d'intensités quelconques, toujours dans la même situation, au poids qu'on aurait choisi pour unité de force.

Cela posé, si l'on considère deux éléments placés d'une manière quelconque ; leur action mutuelle dépendra de leurs longueurs, des intensités des courants dont ils font partie, et de leur position respective. Cette position peut se déterminer au moyen de la longueur r de la droite qui joint leurs milieux, des angles 9 et Q' que font, avec un même prolongement de cette droite, les directions des deux éléments pris dans le sens de leurs courants respectifs, et enfin de l'angle o> que font entre eux les plans menés par chacune de ces directions et par la droite qui joint les milieux des éléments.

La considération des diverses attractions ou répulsions observées dans la nature me portait à croire que la force dont je cherchais l'expression, agissait de même en raison inverse de la distance ; je la supposai, pourplusde généralité, en raison inverse de la puissance n'*"' de cette distance, n étant une constante à déterminer. Alors en représentant par p, la fonction inconnue des angles 9, 8', w, j'eus ~ — — —

pour l'expression générale de l'aclion de deux éléments d.«,ds'de deux courants ayant pour intensités i et î'. Il me restait à déterminer la fonction s, je considérai d'abord pour cela deux éléments ad, «"d* (pi. I", Ûg. 5) parallèles entre eux, perpendiculaires à la droite qui joint leurs milieux, et situés à une distance quelconque r l'un de l'autre ; leur action étant exprimée d'après ce qui précède par

, je supposai que ad restât fixe, et que i^d' fût transporté

parallèlement à lui-même, de manière que son milieu fût toujours à la môme distance de celui de ad; w étant toujours nul, la ^'aleur de

leur action mutuelle ne pouvait dépendre que des angles désignés

ci-dessus par 6, 9', et qui, dans ce cas, sont égaux ou suppléments

l'un de l'autre, selon que les courants sont dirigés dans le même sens

... ... XX 1 w'd5ds'©(8i 8')

ou en sens opposés ; je trouvai ainsi pour cette valeur ^ — -.

En nommant k la constante positive ou négative à laquelle se réduit ? (9, 9') quand l'élément a'd est en «'"rf"' dans le prolongement de ad,

niî ' d 5 d 5'

et dirigé dans le même sens, j'obtins — pour l'expression de

l'action de ad sur d 'b'"; dans cette expression la constante k représente le rapport de l'action de ad sur ad" à celle de ad sur dcC, rapport indépendant de la distance r, des intensités i, i\ et des longueurs d5, d^' des deux éléments que l'on considère.

Ces valeurs de l'action électro-dynamique, dans les deux cas les plus simples, suflBsent pour trouver la forme générale de la fonction p, en partant de l'expérience qui montre que l'attraction d'un élément rectiligne infiniment petit est la même que celle d'un autre élément sinueux quelconque, terminé aux deux extrémités du premier, et de ce théorème que je vais établir, savoir : qu'une portion infiniment petite de courant électrique n'exerce aucune action sur une autre portion infiniment petite d'un courant situé dans un plan qui passe par son milieu, et qui est perpendiculaire à sa direction. En effet, les deux moitiés du premier élément produisent sur le second des actions égales, l'une attractive et l'autre répulsive, parce que dans Tune de ces moitiés le courant va en s'approchant et dans l'autre en s'éloignant de la perpendiculaire commune. Or, ces deux forces égales font un angle qui tend vers deux angles droits à mesure que l'élément tend vers zéro. Leur résultante est donc infiniment petite par rapport à ces forces, et doit par conséquent être négligée dans le calcul. Cela posé, soient Mm(fig. 6) = d5 et M'm = d5', deux éléments de courants électriques, dont les milieux soient aux points A et A' ; faisons passer le plan MA'm par la droite AA' qui les joint, et par l'élément Mm. Substituons à la portion de courant ds qui parcourt cet élément, sa projection Nn = d5cos0 sur la droite AA', et sa projection Pjo = d 5 sin 9 sur la perpendiculaire élevée en A cette droite dans le plan MA' m; substituons ensuite à la portion de courant ds' qui parcourt M' m' sa projection N'n' = d5' cos 9 sur la droite AA' et sa projection Fy = d5' sin, 9' sur la perpendiculaire à

AA' menée par le point A' sur AA' dans le plan M'Âm' ; remplaçons enfin celle dernière par sa projection Tf' = ds* sin V cos u sur le plan MA'm et par sa projection D'u'=ds'sin d'sinw sur la perpendiculaire à ce plan menée par le point A' ; d'après la loi établie ci-dessus, l'action des doux éléments ds et ds' sera la même que celle de l'assemblage des deux portions de courants ds cos 8 et ds sin 8 sur celui des trois portions ds'cosff, ds'sînO'cosu, ds'sind'sinu; cette dernière ayant son milieu dans le plan MAm auquel elle est perpendiculaire, il n'y aura aucune action entre elle et les deux portions ds cos 9, as sin 6,qui sont dans ce plan. 11 ne pourra non plus, par la môme raison, y eu avoir aucune entre les portions ds cos 0, ds'sinV cos. I», ni entre les portions ds sin 6, ds" cos ff, puisqu'on concevant par la droite AA' un plan perpendiculaire au plan MA'm, ds cos 6 et ds'cos 6' se trouvent dans ce plan, et que les portions ds'sinQ' cos w et dssin 6 lui sont perpendiculaires et ont leurs milieux dans Cô même plan. L'action des deux éléments ds et ds' se réduit donc à la réunion des deux actions restantes, savoir : l'action mutuelle de ds sin 8 et de ds'sin ff cos w et à celle de ds cos 8 et de ds" cos V, ces deux actions étant toutes deux dirigées suivant la droite AA' qui joint les milieux des portions de courants entre lesquelles elles s'exercent, il suffit de les ajouter pour avoir Tactiou mutuelle des deux éléments ds et ds'. Or les portions dssin 6 et ds'sinS'cosw sont dans un même plan, et toutes deux perpendiculaires & la droite AA' ; leur action mutuelle suivant cette droite est doue, d'après ce que nous venons de voir, égale à

lï'dids'sinBsinS'costd

et celle des deux portions ds cos 8 et ds' cûsd* dirigée suivant la même droite AA', a pour valeur

AiV'dïdï'cosftcosft

et par conséquent l'action des deux éléments ds, dy l'un sur l'autre est nécessairement exprimée par

- (sin e sin Vcosa + k cos 6 cos 6).

On simplifie cette formule en y introduisant l'angle e des deux éléments au lieu de ci> ; car en considérant le triangle sphérique dont les côtés seraient B, 0", c, on a

ces s = ces 6 ces 6' -(- sin 6 sin V ces w ; d'où

sin 6 sin V ces u» = ces t «- ces 0 ces 6' ,

substituant dans la formule précédente et faisant A: — i = A, elle devient

— -- — (co8« + *co80cos6;,

et il est bon de remarquer qu'elle change de signe quand un seul des courants, par exemple celui de l'élément ds, prend une direction diamétralement opposée à celle qu'il avait, car alors cos 6 et cos t changent de signe, et cos 6' reste le môme. Cette valeur de l'action mutuelle de deux éléments n'a été déduite que de la substitution des projections d'un élément à cet élément môme; mais il est facile de s'assurer qu'elle exprime qu'on peut substituer à un élément un contour polygonal quelconque, et par suite un arc quelconque de courbe terminé aux mômes extrémités, pourvu que toutes les dimensions de ce polygone ou de cette courbe soient infiniment petites.

Soient, en eflfet, ds^, ds„... ds« les différents côtés du polygone infiniment petit substitué à ds; la direction AA' pourra toujours ôtre considérée comme celle des lignes qui joignent les milieux respectifs de ces côtés avec A'.

Soient 6,, 6,... 6« les angles qu'ils font respectivement avec AA'; et *i)<tf*^^u^ Qu'ils font avec M" m', en désignant, suivant l'usage, par 2 une somme de termes de môme forme, la somme des actions des côtés ds^ d5„... ds» sur ds', sera

— — (Sd«j cose, -|- Acos 01Id«j 008 Oj).

OrSds^cose, est la projection du contour polygonal sur la direction de dsf et est par conséquent égal à la projection de ds sur la môme direction, c'est-à-dire à d^cosc; de môme 2d«, cosO^ est égal à la projection de ds sur AA' qui est ds cos B; l'action exercée sur d^

DBS PHRNOHÈNES ÉLRCTRO-DVNAMIQUES 23

par le contour polygonal terminé aux extrémités de ds a donc pour expression

- (dl COS e -|- ^'^î C08 9 cos 6')

et est la même que celle de ds sur ds".

Cette conséquence étant indépendante du nombre des côtés d*, ds„... ds., aura lieu pour un arc infiniment petit d'une courbe quelconque.

On prouverait semblablement que l'action de ds* sur ds, peut être remplacée par celle qu'une courbe infinimeot petite quelconque, dont les extrémités seraient les mêmes que celles de d/, exercerait sur cbacun des éléments de la petite courbe que nous avons déjà substituée à ds, et par conséquent sur cette petite courbe elle-même. Ainsi la formule que nous avons trouvée exprime qu'un élément curviligne quelconque produit le môme effet que la portion infiniment petite de courant rectiligne terminée aux mêmes extrémités, quelles que soient d'ailleurs les constantes net A. L'expérience par laquelle on constate ce résultat ne peut donc servir ea rien à déterminer ces constantes.

Nous aurons alors recours aux deux autres cas d'équilibre dont nous avons déjà parlé. Mais auparavant nous transformerons l'expression précédente de l'action de deux éléments de courants voltalques, en y introduisant les différentielles partielles de la distance de ces deux éléments.

Soient x, y, z, les coordonnées du premier point, et ^, y", s* celles du secoDCl, il viendra

r' = (i - xy + (y —y)' + (i — ly, d'où, en prenant successivement les coefficients différentiels partiels

par rapport à 5 et 5',

dr , .X dar , , ^v dy , , ,. dz

ainsi

. dr ., dr

co8 0 = T-t cose= — T-.

ds ds

Pour avoir la valeur de cose, nous observerons que

dx ûy dz d^ dy' dz'

dF' dl' ïï«' d?' d7' d?

sont les cosinus des angles que ds et dsf forment avec les trois axes, et nous en conclurons

dx dx , dy dy' . dz dz' ds ds ds ds ds ds

Or, en différentiant par rapport à sf l'équation précédente qui donne r T— , on trouve

d*r , dr dr dx dx dy dy' dz dz'

dsds^ ds ds' ds ds' ds ds' ds ds'

Si l'on substitue, dans la formule qui représente l'action mutuelle des deux éléments d5, ds^, au lieu de cose, cosO', cose, les valeurs que nous venons d'obtenir, cette formule deviendra, en remplaçant i + h par son égal A;,

lï'dsds' / d'r . , dr dr

/ dV , . dr dr\ V dsds'+ ds'd?/'

qu'on peut mettre sous la forme

dr

lï'dsds' i ^V ds)

ds'

OU enfin

ds

On pourrait encore lui donner la forme suivante :

Jl, h- ^1^ d,d,'.

Examinons maintenant ce qui résulte du troisième cas d'équilibre dont nous avons parlé, et qui démontre que la composante de Taction d'un circuit fermé quelconque sur un élément, suivant la direction de cet élément, est toujours nulle, quelle que soit la forme du circuit. En désignant par ds' l'élément en question, l'action d'un élément ds du circuit fermé sur ds^ sera, d'après ce qui précède.

— n is ' r*-*-* r d«,

as

dr ou, en remplaçant -p par — cos O',

u dsr'-*-* — i-^ ' ds:

ds

la composante de cette action suivant ds^ s'obtiendra en multipliant cette expression par cosO', et sera

it dsr'-*-*cos6 -^— T 'as.

ds

Cette différentielle intégrée dans toute l'étendue du circuit s donnera la composante tangente totale, et devra être nulle, quelle que soit la forme de ce circuit. En l'intégrant par partie, après l'avoir écrite ainsi

u ds'r'-^^'VcosO ^ ds,

ds

nous aurous

- it'd*' r*-*cos V — (i — n — a*) /r"* cos* 6'dr L

Le premier tenner*-"cos"6' s'évanouit aux limites. Quant à l'intégrale /r-^cos" 6'dr, il est très facile de concevoir un circuit fermé pour

lequel elle ne se réduise pas à zéro. En effet, si on coupe ce circuit par des surfaces sphériques très rapprochées ayant pour centre le milieu de l'élément d 5', les deux points où chacune de ces sphères coupera le circuit donneront la même valeur pour r et des valeurs égales et de signes contraires pour dr; mais les valeurs de cos*0' pourront être différentes, et il y aura une infinité de manières de faire en sorte que les carrés de tous les cosinus relatifs aux points situés d'un môme côté entre les points extrêmes du circuit soient moindres que ceux relatifs aux points correspondants de l'autre côté ; OTf dans ce cas, l'intégrale ne s'évanouira pas ; et comme l'expression ci-dessus doit ôtre nulle, quelle que soit la forme du circuit, il faut donc que le coefficient 1 — n — 9A; de cette intégrale soit nul, ce qui donne entre n et A: cette première relation 1 — n — «A = 0.

Avant de chercher une seconde équation pour déterminer ces deux constantes, nous commencerons par prouver que k est négatif, et, par conséquent, que n = 1 — s A; est plus grand que 1 ; nous aurons recours pour cela à un fait bien facile à constater par l'expérience, savoir qu'un conducteur rectiligne indéfini attire un circuit fermé, quand le courant électrique de ce circuit va dans le môme sens que celui du conducteur dans la partie qui en est la plus voisine, el qu'il le repousse dans le cas contraire.

Soit UV (fig. 7) le conducteur rectiligne indéfini ; supposons pour plus de simplicité que le circuit fermé THKTK^H' soit dans le môme plan que le fil conducteur UV, et cherchons l'action exercée par un élément quelconque MM' de ce dernier. Pour cela tirons du milieu A de cet élément des rayons vecteurs à tous ces points du circuit, et cherchons l'action perpendiculaire à UV exercée par cet élément sur le circuit.

La composante perpendiculaire à UV de l'action exercée par MM' = dy sur un élément EH = ds s'obtiendra en multipliant l'ex-

pression de cette action pur ainô"; elle sera donc, on observant que I — n — sA = 0,

-lï'diUngd'

d(r"co5*8')

expression qui doit être intégrée dans toute retendue du circuit. L'intégration par parties donnera

I lï'd jYr" sin 6' C08 9 — rr»dfl') .

Le premier terme s'évanouissant aux limites, il reste seulement

Considérant maintenant les deux éléments KH, K'H' compris entre les deux mêmes rayons consécutifs, dtf est le même de part et d'autre, mais doit être pris avec un signe contraire, en sorte qu'en faisant AH = r, AH' = r', on a pour l'action réunie <" menta

( deux élé-

-iiïdiTj(r'"— r")d6'l,

oâ nous supposons que r' est plus grand que r. Le terme de cette intégrale qui résulte de l'action de la partie THT' convexe vers UV l'emportera sur celui qui est produit par l'action de la partie concave TOT si k est négatif; le contraire aura lieu si k est positif, et il n'y aura pas d'action si k est nul. Les mêmes conséquences ayant lieu pour tous les éléments deUV, il s'ensuit que la partie convexe vers DV aura plus d'influence sur le mouvement du circuit que la partie concave, si A<o, autant si A=o, et moins si A >o. Or l'expérience prouve qu'elle en a davantage. On a donc i<o, et par suite n> i, puisque rt = 1 — ai.

On déduit de là cette conséquence remarquable , que les parties

d'un même courant rectiligne se repoussent; car si l'on fait 0=o, B'=:o, la formule qui donne l'attraction de deux éléments, devient

— -jj — ; et comme elle est négative , puisque k Test, il y a répulsion.

C'est ce que j'ai vérifié par l'expérience que je vais décrire. On prend un vase de verre PQ (fig. 8) séparé par la cloison MN en deux compartiments égaux et remplis de mercure, on y place un fil de cuivre recouvert de soie ÂBCDE, dont les branches ÂB, ED, situées parai* ièlement à la cloison MN, flottent sur le mercure avec lequel communiquent les extrémités nues A et E de ces branches. En mettant les rhéophores dans les capsules S et T, dont le mercure communique avec celui du vase PQ par les portions du conducteur AH, A;K, on établit deux courants, dont chacun a pour conducteur une partie de mercure et une partie solide : quelle que soit la direction du courant, on voit toujours les deux fils AB, ED marcher parallèlement à la cloison MN en s'éloignant des points H et E, ce qui indique une répulsion pour chaque fil entre le courant établi d,ans le mercure et son prolongement dans le fil lui-môme. Suivant le sens du courant, le mouvement du fil de cuivre est plus ou moins facile, parce que, dans un cas, l'action exercée par le globe sur la portion BCD de ce fil, s'ajoute à l'effet obtenu, et que dans l'autre, au contraire, elle le diminue et doit en être retranchée.

Examinons maintenant l'action qu'exerce un courant électrique formant un circuit fermé , ou un système de courants formant aussi des circuits fermés, sur un élément de courant électrique.

Prenons l'origine des coordonnées au milieu A (fig. 9) de l'élément proposé M'N', et nommons X, [x, v, les angles qu'il fait avec les trois axes. Soit MN un élément quelconque du courant formant un circuit fermé, ou d'un des courants formant également des circuits fermés dont se compose le système de courants que l'on considère, en nommant dsfetds les éléments M'N', MN, r la distance AA' de leurs milieux et V l'angle du courant M'N' avec A A', la formule que nous avons trouvée précédemment pour exprimer l'action mutuelle des deux éléments deviendra , en y remplaçant t- par — cos V,

as

Les angles que AA' fait avec les trois axes ayant pour cosinus -, ^, -,

on a

ces • = - C08 A -|- i C08 |A + " COS ^;

en substituant cette valeur à cosB, et en multipliant par—, nous trouverons pour l'expression de la composante suivant Taxe des x,

ird«'r*"*xd(r*~* jf cos X -J- r^'^jf ces |& -|- ^^^ cos v),

le signe d se rapportant seulement, excepté dans le facteur às\ aux difTérentielles prises en ne faisant varier que 5, cetle expression peut s'écrire ainsi

= lï'dsfcos Xr*-»a?d(r*-«^) + ^^^liî r*-«yd(r*-«y) + ^^^ r*-««d(r»-»«)l

= i lï'dsf cosXd(r«*-'x») + - ces |id(r'*-«y*) + î cos vd(r"-«z»)l

' .., , T, ar'cosX-f wco8|i + xzcosv y'cosix x «'cosv.jfl = " " ds d — n ^^1 d — r— d -

a L ^ ^'^ y ^ yJ

= . Il d« l^d -j^ + ^^J C08 fi — ces V J ,

en remplaçant «A — a par sa valeur — n — i .

Si Ton représente par r^ , a:^ , ^i, et r, , a:, , fti, les valeurs de r, a:, V, aux deux extrémités de Tare s et par X la résultante suivant Taxe des X de toutes les forces exercées par les éléments de cet arc sur d^, on aura