cos 6 4. sin e
=r-att (cos 6 — sm 6) ( -r^ - — 1— . ,J — —]
a ' \sm 0 cos 6 sm* 6 cos' 0 /
=— i au (cos e — sin 6) (-r-r^ rr + -:— r^ r + 1 ) dS.
a ^ '\sm*6cos*0 sm6cos6 ' /
Mais l'action de l'arc L,L, sur le diamètre VL' est égale et opposée à celle que ce diamètre exerce sur l'arc pour le faire tourner autour de son centre; le moment de celte action, d'après ce que nous venons de voir, est donc égal à
de
(-— -J -)de = -att (cos e — sm e) ( -r-r r + i)d6;
\sm6 cos6/ a ^VsmOcosO ' /
1 •..Vcos'S sm*6 -ait
en l'ajoutant au précédent, on a pour celui qui résulte de l'action du secteur infiniment petit sur le diamètre VU
an (cos 0 — sin 6) —
a sm 0 cos 6
Cette valeur ne diffère que par le signe de celle que nous avons déjà trouvée pour le même moment, différence qui vient évidemment de ce que nous avons tiré cette dernière de la formule relative à Faction d'un très petit circuit fermé sur un élément où nous avions changé le signe de G pour la rendre positive.
Examinons maintenant Faction que deux courants rectilignes, qui ne sont pas dans un môme plan, exercent Tun sur l'autre , soit pour se mouvoir parallèlement à leur commune perpendiculaire , soit pour tourner autour de cette droite.
Soient les deux courants AU, A'U' (Qg. 26) ; AA' = a, leur commune
perpendiculaire; AY une parallèle à A'U' : Faction de deux éléments
situés en M et M', lorsqu'on fait n= a et A = A — 1 = — dans la for-
mule générale
devient
— -- — (cos » + A cos 6 cos 6*).
tt'dsds (aco8» + 3-r- • -r-J 1 \ ai ûs/
à cause de
1^ ^^ i.' dr
CO8 0=:-r-, cos6=— -—r; ds df^
mais en faisant AM = 5, A'BT = s\ YAU = e, on a
d'où
dr dr , dV . dr dr
r ---:=: s — s cos», r '•r^, =z S — scost, r - ^ , -^ - . -— = — cost; ds ds dsds ds ds
et comme
1 dr ^. I dV ^dr dr . ^ dr dr
r ds r dsds ds ds ds ds
ds^~'r^' dsds'"" "i^ "" H '
la valeur de Faction des deux, éléments devient
Pour avoir la composante parallèle à AA', il faut multiplier cette expression par le cosinus de l'angle MM'P que fait MM' avec MT parallèle à AA', c'est-à-dire par tjttj , ou -, ce qui donne
et en intégrant dans toute l'étendue des deux courants, on trouve pour l'action totale
Si les deux courants font entre eux un angle droit, on a co3e=o, et l'action parallèle à ÂÂ' se réduit, en prenant Tintégrale entre les limites convenables, et en employant les mêmes notations que d-dessus, à
\ ...fa a a . a\
Celte expression est proportionnelle à la plus courte distance des courants, et devient par conséquent nulle quand ils sopt dans un môme plan, comme cela doit être évidemment Si les courants sont parallèles, on a c = o et
r» = a* + (.-«•)», d'où
c'est-à-dire entre les limites des intégrations,
DES PHÉNOMàNES ÉLECTRO-DYNAMIQUES 63
et comme cos e = 1 , l'action totale devient
Nous verrons plus tard comment se fait l'intégration dans le cas où
l'angle e est quelconque.
Cherchons maintenant le moment de rotation autour de la commune
perpendiculaire : pour cela il faut connaître d'abord la composante
suivant MP, et la multiplier par la perpendiculaire AQ abaissée de A
MP sur MP, ce qui revient à multiplier la force suivant MM' P^ri^ . AQ,
«y sin e ou par ; on aura ainsi
1 .., . ^ A A ' t ,costd«d«' I - tt smtl ss T-T-î d«ds +$$ -= I ;
posant — = 9, on aura
ss'd^ d?«' , :
ds""?"^ ds ' et
d«i d'y __ I 9' dr s dr , r
d«d«' r r* d$ r* ds dsds
i «'(s' — s ces ») + *(* — *' cos 0 1^
r» ' dsdf"
et en réduisant,
d'QÙ l'on tirera
