SS

dsds' dsdi' r*

Or, nous avons trouvé précédemment

dV* . dr dr r — — 4- — • — ^~- ces • , dsds'^ds ds* '

d*r , (s — f'cosOfs' — sco8«)

effectuant la multiplication et remplaçant s* + y* par sa valeur tirée de

r* = a* + »• + 1^ — 3 < s' co 8 1, on obtient, en réduisant,

d*r , <«' sin* t -4- a* C08 1 ? + rï =0.

d<d< d'où

«s' I / dV a*co8«\

r» ""~ iîn^ \dsd? "•■ ~H~/ '

d«l Substituant cette valeur ainsi que celle de ssf -p4n dans l'expression

du moment de rotation de l'élément, il devient

> • » • j j » r d V û* C08 » / d*r , a* cos t\ 1

-t«'8m«d«ds' --^, — . (r— r-,H T—l

= - tt dsdf' ( sm t —2-; cot t -r-— ; : -j )

a \ d«d« r* dsds 8m i r'/

■ -vj j '/ . d*j ^ dV 1 a*\

a \ d«d« did«' 8m t r'/

et intégrant par rapport à 5 et s', on a pour le moment total

i .^/ . . à* rr d$d!f\

-,. (,8.n.-rcot.-^jJ-j3-);

le calcul se ramène donc, comme précédemment, à trouver la valeur

de l'intégrale double // — j— .

Si les courants sont dans un même plan, on a a=o, et le moment se réduit à

- ti'lg sin t — r cot i), a

résultai qui coïncide avec celui que nous avons obtenu en traitant directement deux courants situés dans un même plan. Car 9 n'étant

autre chose que *— , et r devenant MP, on a Msin» MPAO

el nous avions trouvé par l'autre f

~iï-{p — rcott);

p désignant la perpendiculaire AQ : les deux résultats sont donc identiques. L'intégration faite entre les limites donne

si l'angle t est droit, ce moment se réduit à iiV'(p;~p';— p; 4-p'j.

Lorsque « = -, mais que a n'est pas nul, le moment ci-dessus devient

L'intégrale qu'il s'agit de calculer dans ce cas est

qu'il faut intégrer de nouveau par rapport à /; il vient J (o' + i')Vo'+." + .'~j {a' + «■<■• + »■!■ + .-i") </a'+,- + ••

Soit M la valeur du moment de rotation lorsque les deux courants électriques, dont les longueurs sont $ et $\ partent des points où leurs directions rencontrent la droite qui en mesure la plus courte distance, on aura

M = -tï'(jr — aarctang-j,

expression qui se réduit, quand a = o, à M = - ii'Çj ce qui s'accorde

avec la valeur M = -ii'p que nous avons déjà trouvée pour ce cas,

parce qu'alors q devient la perpendiculaire que nous avions désignée par j9. Si Ton suppose a infini, M devient nul, comme cela doit être, puisqu'il en résulte

a a arc tang - = 9.

Si l'on nomme z l'angle dont la tangente est

il viendra

a *\ tangV

c'est la valeur du moment de rotation qui serait produit par une force égale à

a \ tang z/

agissant suivant la droite qui joint les deux extrémités des conducteurs opposées à celles où ils sont rencontrés par la droite qui en mesure la plus courte distance. .

Il suffit de quadrupler ces expressions pour avoir le moment de rotation produit par l'action mutuelle de deux conducteurs dont Tun serait mobile autour de la droite qui mesure leur plus courte distance, dans le cas où cette droite rencontre les deux conducteurs à

DBS PHÉNOMÈNES ÉLBCTRO-DTNAMIQUBS 67

leurs milieux, et où leurs longueurs sont respectivement représentées par %set %fl.

n est, au reste, aisé de voir que si, au lieu de supposer que les deux courants partent du point où ils rencontrent la droite, on avait fait le calcul pour des limites quelconques* on aurait trouvé une valeur de M composée de quatre termes de la forme de celui que nous avons obtenu dans ce cas particulier, deux de ces termes étant positifs et les deux autres négatifs.

Considérons maintenant deux courants rectilignes A'S', MV (8g. 27), non situés dans un même plan et dont les directions fassent un angle droit.

Soit A'A leur commune perpendiculaire, et cherchons l'action de MM' pour faire tourner A'S' autour d'une parallèle OV à MM menée à la distance A'O = & de A.

Soient M,M' deux éléments quelconques de ces courants; Texpression générale de la composante de leur action parallèle à la perpendiculaire commune AA', devient, en faisant t =-,

son moment par rapport au point 0 est donc, en prenant A' pour origine des /, égal à

en intégrant par rapport à 5, il vient

ia,r(,'6)j;dir; a d«

et en appelant r^ et r' les distances Mli\ WM de IT aux points L', L', et intégrant entre ces limites Taction de LTi', pour faire tourner Télément If, est

expression qu'il faut intégrer par rapport à 5'. Or

et il est d'ailleurs aisé de voir qu'en nommant c la valeur AL'' de 5 qui correspond à r"^ et gui est une constante dans l'intégration actuelle,

on a A'L"' = ^5^+7, d'où il suit que

sin p" ' ^ * '^ ' sm" p*^

^nsi

/•d*; Ç dp- Ungip;.

J T^'^J sinf$"-^Ungiip';'

le second terme s'intégrera de la môme manière, et l'on aura enfin pour le moment de rotation cherché

(s\ — b f[,—b s'^---b 8\ — b tang}p;taDg^p;\ \ rî ,^; r^, "^ 7\ ''tangiP';tanRiP'J-

Dans le cas où Taxe de rotation parallèle à la droite L'L'^ où s passe par le point d'intersection A' des droites a et 5', on a 6 = 0; et si l'on suppose, en outre, que le courant qui parcourt sf part de ce point d'intersection, on aura de plus

»i=0| P'i=-' K = Tt

en sorte que la valeur du moment de rotation se réduira à

a \r; f^, tangip.;-

Je vais maintenant chercher l'action d'un fil conducteur plié suivant le périmètre d'un rectangle K%''L''L' pour faire tourner un conducteur rectiligne A'S' = ^, perpendiculaire sur le plan de ce rectangle, et mobile autour d'un de ses côtés K'K^ qu'il rencontre au point A' : le moment produit par l'action de ce côté K'K'' étant alors évidenunent nul, il faudra à celui qui est dû à l'action de L'L'' et dont nous venons

DES PHÉNOMÈNES ÉLECTRO-DTNAICf QUES 69

de calculer la valeur, ajouter le momenl produit par K'L' dans le môme sens que celui de L'L', et en ôter celui qui Test par R'L' dont l'action tend à faire tourner A'S' en sens contraire ; or, d'après les calculs précédents, en nommant ^ et A les plus courtes distances A'K', A'K"', de AS' aux droites K'L\ K'^L' qui sont toutes deux égales à a, on a pour les valeurs absolues de ces moments

i ,r (q' — gf^ Ung2.j , 1 II Iq' ^ A arc tang ^\ , en faisant

celle du moment total est donc

t ...A ,9' . * f tanpAS;\

-ti ( A arc tang \ — a arc tang - — aL z-^ ] .

a V ^h ^ °y tangiP,/

Telle est la valeur du moment de rotation résultant de l'action d'un conducteur ayant pour forme le périmètre d'un rectangle, et agissant sur un conducteur mobile autour d'un des côtés du rectangle, lorsque la direction de ce conducteur est perpendiculaire au plan du rectangle, quelle que soit d'ailleurs sa distance aux autres côtés du rectangle et les dimensions de celui-ci. En déterminant par Texpérience l'instant où le conducteur mobile est en équilibre entre les actions opposées de deux rectangles situés dans le même plan, mais de grandeurs différentes et à des distances différentes du conducteur mobile, on a un moyen bien simple de se procurer des vérifications de ma formule susceptible d'une grande précision ; c'est ce qu'on peut faire aisément à l'aide d'un instrument dont il est trop facile de concevoir la construction pour qu'il soit nécessaire de l'expliquer ici.

Intégrons maintenant l'expression j j — ^^ dans l'étendue de deux

courants rectilignes non situés dan f« un nnôme plan, et faisant entre eux un angle quelconque c, dans le cas où ces courants commencent à la perpendiculaire commune; les autres cas s'en déduisant immédiatement.

Soient A (fig. 28) le point où la commune perpendiculaire rencontre

la direotion Ail du courant 5, kti! une parallèle menée par ce point au courant y, et mm' la projection sur le plan MAM' de la droite qui joint les deux éléments d5, d$'.

Menons par k une ligne An parallèle et égale à mm\ et formons en n un petit parallélogramme nn\ ayant ses côtés parallèles aux droites MAN, AM', et égaux à ds, dsf.

Si Ton répèle la même construction pour tous les éléments, les parallélogrammes ainsi formés composeront le parallélogramme entier NAM'D, et, leur surface ayant pour mesure d5 ds^sine, on obtiendra Tintégrale proposé multipliée par sine, en cherchant le volume ayant pour base NAM'D, et terminé à la surface dont les ordonnées élevées aux différents points de cette base ont pour valeur

-i ; r étant la distance des deux éléments des courants, qui correspondent, d'après notre construction, à tous ces points de la surface NAMD.

Or, pour calculer ce volume, nous pourrons partager la base en triangles ayant pour sommet commun le point A.

Soient kp une droite menée à Tun quelconque des points de Taire du triangle AND, etpq^p' l'aire comprise entre les deux droites infiniment voisines A/?, A^ et les deux arcs de cercle décrits de A avec les rayons kp = u et kp' = 11 -f du : nous aurons, à cause que l'angle NAM' = ic — c et en appelant f Tangle NA/i,

dsds' rrududf

•-'fr-^-ff

Or, si a désigne la perpendiculaire commune aux directions des deux conducteurs, et s eisf les distances comptées de A sur les deux courants, on a

r = Vu* + w* > ti = V »• + s** — 25s' cos t : donc, en intégrant d'abord depuis 11 = 0 jusqu'à n = AR = 11, ,

JJ r* jjl«* + «*)î J A" VSH^/

n reste à intégrer cette dernière expression par rapport à f : pour

DIS PHÉNOM^NIS ^LBCTRO-DTNAMIQUES 71

cela nous calculerons «, en fonction de f par la proportion AN:AR::sin(f + «):8inc, ou «:«,::8in(f + ():sin«; et en substituant & a* + uî la valeur tirée de cette proportion, nous aurons à calculer

I ' " ./.. «•««»'« I ° I V*'ùn** + a**in*(f

J L V"+ii5MrRJ J

, 1 /• dcos(^+t) iF . acos(ç-4-t) , n

/ Y ""^?^ cos«(t+t) ^ ^ -■

Nommons |i et ^' les angles NAD, M'AD, et prenons l'intégrale précédente entre f s= 0 et f = ;a, elle devient alors

1 r , . a C08 (|fc + *) a cos • T

- Ifc + arcsm ^^ * ' — arctm-- L

et, à cause de |a + 1 = « — |a', elle se change en

1 r a cos u a cos t 1

• I UL — arcsm-— =i=== — arcsm , — I;

«L v^a« + ««8in«i Va« + «*sin'tJ

AK «'— «cost t— fcost

cos |fc = T-rr =:

AD yr(,',eost)« + f«sin«t ^«• + «'« — iw'cost' d*ob Ton tire pour l'intégrale l'expression suivante :

I r a(f^ — fcoss) acost "1

-1 |fc — arcsm-— — ===z=z — arc sm — L

^ L ^a* + «• sin* t ^«l+«'* — an' cos t ^a* + «" sinH J

0U| en passant du sinus à la tangente pour les deux arcs,

if , a{s — scost) ^ acott T

- 1 |ji— arc tang — : - — arc tang -==: 1 ;

«L «"'^•Va" + «* + «^ — aw'cost v^a* + »*J

et comme on trouve l'intégrale relative au triangle ITAD en changeant dans cette expression |a en a' et s en /, on a pour l'intégrale

totale, à cause que |x -f |x'=7c — e,

a(5' — 5cose) , a cott

arc tang — — arc tang

s sin e Va* + «* + * * — ^^ ces t \/a^^-7

a(s — s'cose) ^ a cott \

— arc tang - — arc tang ).

s sin e^a* +«'+«'• — as^cose ^a«-j-/«y

En calculant la tangente de la somme des deux arcs dont les valeurs contiennent s et 5^, on change cette expression en

a sin «i/a" + s" + 5'" — a ss' cose arc tang —

ss' sin* e 4- a* cost

dcott a

— arc tang —=1: — arc tang •—

et comme

« a sinc^a* + s +« — a «s cose

- — arc tang r-r-r ;

a ° ss sm"8-f-a"coss

ss'sin's + d'cose

= arc tang

asintv^a* + «"4"** — ass'cote

on a, en divisant par sin c,

rrdsds' i l . ss'sin't + a*cos8

/ / —7- = — :— ( arctang

JJ r» dsinty^ a8inev/a«4-5« + 5'* — 25«'cos»

c^oub» . UCOtc . « \

— arc tang —:=: — arc tang A « 1.

a cote . d

-:=: — arc tang — 1

expression qui, lorsqu'on suppose e=-, se réduit à

-(arctang — -V

comme nous l'avons trouvé précédemment.

On peut remarquer que le premier terme de la valeur que nous venons de trouver dans le cas général est l'intégrale indéfinie de

AsAff

(a« + f«+«'«— aw'cosi)!'

PHENOMENES ELECTRO-DYNAMIQUES

comme on peut le vérifier par la différenciation, et qiie les trois autres s'obtienneat en faisant successivement dans cette intégrale indéfinie :

r i'^o; a" ï = o; 3' 5* = o et m=:o.

Si les courants ne partaient pas de la commune perpendiculaire, on aurait une intégrale composée encore de quatre termes qui seraient tous de même forme que l'intégrale indéfinie.

Nous avons considéré jusqu'ici l'action mutuelle de courants électriques situés dans un même plan, et de courants rectilignes situés d'une manière quelconque dans l'espace; il nous reste à examiner l'action mutuelle des courants curvilignes qui ne seraient pas dans un même plan. Nous supposerons d'abord que ces courants décrivent des courbes planes et fermées, dont toutes les dimensions soient infiniment petites. Nous avons vu que l'action d'un courant de cette espèce dépendait de trois intégrales K, B, G, dont les valeurs

Concevons maintenant dans l'espace une ligne quelconque MmO (P. II, ûg. 29), qu'entourent des courants électriques formant de très petits circuits fermés autour de cette ligne, dans des plans infiniment rapprochés qui lui soient perpendiculaires, de manière que les aires comprises dans ces circuits soient toutes égales entre elles et représentées par "k, que leurs centres de gravité soient sur MmO, et qu'il y ait partout la même dislance, mesurée sur cette ligne, entre deux plans consécutifs. En appelant g cette distance que nous regarderons comme infiniment petite, le nombre des courants qui se

trouveront répondre à un élément de d* de la ligne MmO, sera — ; et

il faudra multiplier par ce nombre les valeurs de A, B, C que nous venons de trouver pour un seul circuit, afin d'avoir celles qui se rap-

portent aux circuits de rélément d$\ en intégrant ensuite, depuis Tune des extrémités L' de Tare 5, jusqu'à l'autre extrémité L" de cet arc, on aura les valeurs de A, B, G relatives à l'assemblage de tous les circuits qui l'entourent, assemblage auquel j'ai donné le nom de solénoîde électro-dynamique^ du mot grec mûXi^vosifii^c, dont la signification exprime précisément ce qui a la forme d'un canal, c'est-à-dire la surface de cette forme sur laquelle se trouvent tous les circuits. On a ainsi, pour tout le solénoîde,

X /*/cosÇd» ^xAi'

r/cosKds 3qxds\

X /7cosijds 3qyds'

/yco8i)d< 3^ds\

X /'/cosÇdi 3qzds

Or, la direction de la ligne ^, perpendiculaire au plan de X, étant parallèle à la tangente à la courbe 5, on a

dx dy ^ dz

cosç=-T-, C0S1J = -T^, cosÇ = --. as as as

De plus, q est évidemment égale à la somme des projections des trois coordonnées x, y, z, sur sa direction ; ainsi

xdx + ydy-\' zdz Idl

*■" dl ■" dl'

puisqu'on a /" = x* -|- y" -|- z*. Substituant ces valeurs dans celle que nous venons de trouver pour G, elle devient

Nommant a/, y', js*, /' et a/', y", z^, f, les valeurs de a:, y, «, /, relatives aux deux extrémités L', L" du solénoîde, on a

En opérant de la même manière, pour les de^x autres intégrales A, B,

on trouve des expressions semblables pour les représenter, et les valeurs des trois quantités que nous bous sommes proposé de calculer pour le solénoîde entier sont

g\r Pi'

Si le solénoîde avait pour directrice une courbe fermée, on aurMt x' = 3f, y" = t/, z'=:^, f = l, et, par conséquent, A, = o, B = o, C = o; s'il s'étendait à l'infini dans les deux sens, tous les termes des valeurs de A, B, G seraient nuls séparément, et il est évident que dans ces deux cas l'action exercée par le solénoîde se réduit à zéro. Si l'on suppose qu'il ne s'étende à l'infini que d'un seul côté, ce que j'exprimerai en lui donnant alors le nom de solénoîde indéfini dans un seul sens, on n'aura à considérer que l'extrémité dont les coordonnées a;', y*, z' ont des valeurs finies, car l'autre extrémité étant supposée à une distance infinie, les premiers termes de celles que nous venons de trouver pour A, B, G, sont nécessairement nuls; on a ainsi

Jf"

donc A : B :C:: .x':;/; z'; d'où il suit que la normale au plan directeur, qui passe par l'origine et forme avec les axes des angles dont les cosinus sont

en faisant toujours D = •JK* -|- B' + G*, passe aussi par l'extrémité du solénoîde dont les coordonnées sont x', ^ , s*.

Nous avons vu, dans le cas général, que la résultante totale est perpendiculaire sur cette normale; ainsi l'action d'un solénoîde indéfini sur un élément est perpendiculaire k la droite qui joint le milieu de cet élément à l'extrémité du solénoîde; et conune elle l'est aussi à

rélément, il s^ensuit qu'elle est perpendiculaire au plan mené par cet élément et par l'extrémité du solénoïde.

Sa direction étant déterminée, il ne reste plus qu'à en connaître la valeur : or, d'après le calcul fait dans le cas général, cette valeur est

DiV'ds'sint'

d étant l'angle de l'élément d5' avec la normale au plan directeur; et comme D = ^k} + B" + G*, on trouve aisément

ce qui donne pour la valeur de la résultante

Xtï'ds'sint

On voit donc que l'action qu'un solénoïde indéfini dont L'extrémité est en L' (fig. 29) exerce sur l'élément ab^ est normale en À au plan bkVy proportionnelle au sinus de l'angle bkh' et en raison inverse du carré de la distance AL', et qu'elle reste toujours la même, quelles que soient la forme et la direction de la courbe indéfinie llh" sur laquelle on suppose placés tous les centres de gravité des courants dont se compose le solénoïde indéfini.

Si l'on veut passer de là au cas d'un solénoïde défini dont les deux extrémités soient situées à deux points donnés L', L'', il suffira de supposer un second solénoïde indéfini commençant au point L" du premier et coïncidant avec lui depuis ce point jusqu'à l'infini, ayant ses courants de même intensité, mais dirigés en sens contraire, l'action de ce dernier sera de signe contraire à celle du premier solénoïde indéfini partant du point U, et la détruira dans toute la partie qui s'étend depuis V jusqu'à l'infini dans la direction L''0 où ils seront superposés; l'action du solénoïde L'L'' sera donc la même qu'exercerait la réunion de ces deux solénoïdes indéfinis, et se composera, par conséquent, de la force que nous venons de calculer et d'une autre force agissant en sens contraire, passant de même par le point A, per-

DBS PtlÉKOHÈNES ÉLECTRO-DTNAHIQUES 77

pendiculaire au plan bkL", et ayant pour valeur XiV'ds'siiii"

t" étant l'angle 6AL", et /' la distance AL". L'action totale du solénoide L'L" est la résultante de ces deux forces, et passe, comme elles, par le point A.

Comme l'action d'un solénoïde déâni se déduit immédiatement de celle du solénoide indéfini, nous commencerons, dans tout ce qa'iï nous reste à dire sur ce sujet, par considérer le solénoide indéfini qui offre des calculs plus simples, et dont il est toujours facile de conclure ce qui a lieu relativement à un solénoide défini.

Soient L' (Qg. 30), l'extrémité d'un solénoide indéfini; A le milieu d'un élément quelconque ba d'un courant électrique M,AM,, et L'K une droite fixe quelconque menée par le point L'; nommons 9 l'angle variable KL'A, [* l'inclinaison des plans 6.VL', AL'K, et t la distance L'A. L'action de l'élément 6a sur le solénoide étant égale et opposée à celle que ce dernier exerce sur l'élément, il faut, pour la déterminer, considérer un point situé en A, lié invariablement au solénoide, et sollicité par une force dont l'expression soit, abstraction faite du signe,

Ijï'di'sinéAL' hï'àv

en nommant dv l'aire oL'b qui est égale k f'ds'BJoftAL'

Comme cette force est normale en A au plan kVb, il faut, pour avoir ?on moment par rapport k l'axe L'K, chercher sa composante perpendiculaire h AL'K, et la multiplier par la perpendiculaire à AP abaissée du point A sur la droite L'K. [j: étant l'angle compris entre les plana AL'i, AL'K, rctte composante s'obtient en multipliant l'expression précédente par cos [*; mais du cos ^i. est la projection de l'aire dt sur le plan AL'K, d'où il suit qu'en représentant cette projection par à M, la valeur de la composante cherchée est

Xii'du

Or, la projection de Tangle aVb sur AL'K peut être considérée comme la différence infiniment petite des angles KL'a et KL'6 : ce sera donc dO, et Ton aura

/'•de

du = ;

ce qui réduit la dernière expression à

et comme AP = / sin 6, on a pour le moment cherché

— smBdô.

Cette expression, intégrée dans toute l'étendue de la courbe M,AlM„ donne le moment de ce courant pour faire tourner le solénoïde autour de L'R : or, si le courant est fermé, l'intégrale, qui est en général

Xtï'cos6 ^9

s'évanouit entre les limites, et le moment est nul par rapport à une droite quelconque L'K passant par le point L'.

Il suit de là que dans l'action d'un circuit fermé, ou d'un système quelconque de circuits fermés sur un solénoïde indéfini, toutes les forces appliquées aux divers éléments du système donnent, autour d'un axe quelconque, les mêmes moments que si elles Tétaient à l'extrémité môme du solénoïde ; que leur résultante passe par cette extrémité, et que ces forces ne peuvent, dans aucun cas, tendre à imprimer au solénoïde un mouvement de rotation autour d'une droite menée par son extrémité, ce qui est conforme aux résultats des expériences. Si le courant représenté par la courbe M^AM, n'était pas fermé, son moment pour faire tourner le solénoïde autour de L'K, en appelant 61 et % les valeurs extrêmes de 0 relatives au point L' et aux extrémités M^, M, de la courbe M,ÂM,, serait

— (cos8', — cosB').

DES PHÉNOMÈNES ÉLECTHO-DTSA MIQUES

Considérons maintenant un solénoîde déSnï L'L" (fig. 31) qui ne puisse que tourner autour d'un axo passant par ses deux extrémités. Nous pourrons lui substituer, comme précédemment, deux solénoides indéfinis; et la somme des actions du courant M,AM, sur chacun d'eux sera son action sur L'L". Nous venons de trouver le moment de la première, et en appelant BJ', fij les angles correspondants à %, Oî, mais relatifs h l'extrémité L", on aura pour celui de la seconde

\ii'

- (cos e*, -

le moment total produit par l'action de M,ÀM„ pour faire tourner le solénoîde autour de son axe L'L", sera donc

Ce moment est indépendant de la ferme du conducteur M,AJ!d„ de sa grandeur et de sa distance au solénoîde L'L", et reste le môme quand elles varient de manière que les quatre angles 8,', ej, bJ, 8ï ne changent pas de valeurs ; il est nul non seulement quand le courant M,M, forme un circuit fermé, mais encore quand on suppose que ce courant s'étend à l'inûni dans les deux sens, parce qu'alors ses deux extrémités étant à une distance inÛnie de celles du solénoîde, l'angle s; devient égal à O;, et l'angle %k^t.

Tous les moments de rotation autour des droites menées par Tex- Irémité d'un solénoîde indéfini étant nuls, cette extrémité est le point d'application de la résultante des forces exercées sur le solénoîde par un circuit électrique fermé ou par un système de courants formant des circuits fermés; on peut donc supposer que toutes ses forces y sont transportées, et la prendre pour l'origine A (fig. 32) des coordonnées : soit alors BM une portion d'un des courants qui agissent sur le solénoîde; la force due à un élément quelconque Mm de BM est, d'après ce qui précède, normale au plan AMm et exprimée par

dv étant l'aire AMm, et r la distance variable AM.

Pour avoir la composante de cette action suivant AX, on doit la multiplier par le cosinus de l'angle qu'elle fait avec AX, lequel est le même que l'angle des plans AMm, ZAY; mais dv multiplié par ce cosinus est la projection de AMm sur ZAY, qui est égale à

ydx — zdy a

si donc on veut avoir l'action suivant AX exercée par un nombre quelconque de courants formant des circuits fermés, il faudra prendre dans toute l'étendue de ces courants l'intégrale

Xiï' rydz — zdy Xw'A — / ' i — ^ qui est ,

A désignant toujours la même quantité que précédemment dans laquelle on a remplacé n par sa valeur 3; on trouvera semblablement que l'action suivant AY est exprimée par

XîV'B

et celle qui a Ueu suivant AZ, par

Xirc

La résultante de ces trois forces, qui est l'action totale exercée par un nombre quelconque de circuits fermés sur le solénoide indéfini, est donc égale à

XîV'D

en désignant toujours v^ A* + B* + G' par D ; et les cosinus des angles qu'elle fait avec les axes des x, des y et des jc, ont pour valeurs