CHAPITRE IL

ÉNONCÉ ET DÉHONSTRàTION DB LA. SECONDE PROPOSITION.

Étant données une source de chaleur et une source de froid (source de chaleur négative) différant entre elles de [t^ — fo)> nous pouvons, comme on a vu, toujours obtenir un travail externe F^ qui a pour valeur

Qo étant la quantité de chaleur cédée au corps qui nous sert d'intermédiaire et Q, étant la quantité rendue.

Une question très-naturelle se pose à nous. Pour deux mêmes valeurs t^ et /« , et par suite aussi pour la même difierence (/© — • ^)> est-il possible, en employant diverses espèces de corps, de faire varier Qo et par suite Q, , tout en obtenant le même travail F^? En d'autres termes, pouvons-nous avoir

Qo-Qi=AF

q;-q', = af

ou

et par suite

(Qo-QO = (Q'o-Q'J QoXQ'o^QiOQ'n

les corps employés rendant toujours, bien entendu, le travail maximum?

Avant de chercher la réponse réelle, faisons bien ressortir la singularité des conséquences, si cette réponse était afl&rmative.

Reprenons Tezemple <le noire machine à vapeur parfaite citée d'abord ; mais, au lieo de fournir du calorique à Teau à /» du cylindre soumise à la charge P« du piston, n'ajoutons rien, et diminuons de suite graduellement cette charge jusqu'à ce qu'elle soit devenue P, . Il est clair que notre liquide va bouillir en vertu de sa chaleur propre ; il se refinoidira en même temps que sa vapeur déjà produite, et cela par suite du travail interne et externe qui s'engendre.

Lorsque la pression sera tombée à P,, fl est visible que nous aurons produit un travaU F; juste égal au travail F, que nous avions dépensé pour comprimer et amener de /, à /« notre mélange final d'eau et de vapeur dans la quatrième période de notre première expérience. Sans changer la chaîne P du piston, foiunissons maintenant à l'eau une quantité de chaleur Q ^ juste égale à la quantité Q, que nous avons soustraite dans cette même expérience. Notre eau va s'évaporer en partie et nous donner im travail ¥\ juste égal au travail F^ que nous avait coûté la condensation à pression constante P, .

Sans ajouter ni retrancher de chaleur, chargeons le piston peu à peu jusqu'à ce que sa charge soit redevenue P^. Toute notre masse sera dès lors en vapeur à t^j comme elle rétait à la fol de V évaporation sous la charge Pq. La compression nous aura coûté un travail F , = Ff.

Sans changer la charge Po, soustrayons une quantité de chaleur Q', qui sera naturellement égale à Qo : toute la vapeur va se condenser, et nous aurons finalement notre masse primitive d'eau sous la charge Po et à la température f o •

En procédant ainsi, il est visible que nous n'avons fait absolument que renverser d'un bout à l'autre notre première manière d'opérer. Nous avons pris à la source de froid une quantité de chaleur Q,, nous avons dépensé un travail F^ égal à celui que nous avions obtenu par la première mé-

thode, et nous avons donné à la source de chaleur une quantité de chaleur Qo égale à celle qu'elle nous avait cédée. Nous avons, comme la première fois, décrit un cycle fermé dans les conditions d'un rendement maximum; mais c'est le travail qui cette fois a été dépensé à produire une quantité

de chaleur j-^ et à l'ajouter à Qi , de façon à donner AF -+- Q,

à la source de chaleur.

Il est évident qu'en unissant deux machines supposées parfaites comme celles que nous venons de décrire, mais identiques sous tous les rapports, travaillant entre deux mêmes températures t^ et /, et avec le même liquide, il y aurait équilibre continu entre le travail produit par Tune et le travail dépensé par l'autre, et l'une rendrait continuellement à la source de chaleur ce que l'autre lui aurait pris. Ces deux machines, toujours supposées parfaites, ne marcheraient qu'en vertu d'une impulsion que nous aurions donnée au volant.

Je n'ai pas besoin d'ajouter qu'au point de vue expérimental je n'ai décrit ici quune/icùon. Supposons cependant que l'hypothèse

Qo-Q.=Q'o-Q'i, QoXQ'o, Q.OQ'i

soit juste et que nous puissions avoir, par exemple,

Q'i = ioQ.,

* selon que nous soumettons à l'action alternative de la chaleur et du froid de Veau ou un liquide X. Employons la machine à vapeur d'eau à nous donner du travail et la machine à liquide X à en dépenser. Il est clair qu'avec une dépense de travail juste égale à celle que produit la machine à vapeur d'eau, la machine à liquide X portera continuellement à la

source de chaleur (loQ, -+- AF^) = Q'^, et nous aurons assez de chaleur pour £ûre marcher continuellement neuf machines A vapeur d'eau donnant chacune F« sans dépense aucune de combustible. De Tordre des fictions nous serons descendus dans celui des réaUtés, car, avec notre quantité disponible loQi, nous aurions de quoi surmonter les frottements et les résistances de tous genres des plus mauvaises machines à vapeur.

Au premier abord, il semble que nous avons obtenu le mouvement perpétuel et que ceci seul suffit pour réduire à Vabsurde l'hypothèse d'où nous sommes partis. Il n'en est rien pourtant. Le travail en excès que nous obtiendrions ainsi, en effet, coûterait de la chaleur, mais une quantité AFe seulement, et non AF plus une quantité Q|, qui, pour n'avoir pas disparu, n'en est pas moins devenue une pure perte au point de vue dynamique.

La supposition de la possibilité

QoXQ'o, QiOQ'i

conduit en un mot à des conséquences bizarres, mais non à une absurdité évidente. Pour montrer que, étant donnés /09 ^1 et F^, on a nécessairement pour tous les corps imaginables

Qo = Q'o et Qo = Q'„

il faut donc recourir à une démonstration spéciale. On voit au premier abord qu'elle aura un caractère très-différent de celle de la première proposition. Elle ne peut en aucune façon être tentée par une voie expérimentale directe, car il serait de toute impossibilité de placer l'un quelconque de nos moteurs thermiques dans les conditions du maximum de rendement, telles que nous les avons établies. Dans nos machines à vapeur, par exemple, comme je l'ai déjà fait remar-

So et S, étant le travail total, interne et externe, produit pendant que le corps se détend à la température constante T^ ou est comprimé à T, constant. Il en résulte :

Second corollaire.

Si T| J».» Sfl Si

c'est-à-dire que le travail total que peut rendre un corps est exclusivement proportionnel à la température absolue où s'opère ce travail.

Tel est l'énoncé de la prqposition II de la Thermodynamique sous sa forme la plus simple, la plus claire et la plus frappante.

Je vais essayer de démontrer son exactitude et sa généralité sous deux formes distinctes, en nous plaçant surtout au point de vue de la réalité physique des choses, et puis en raisonnant surtout au point de vue de la Mécanique pure. Un examen préalable toutefois est nécessaire quant à la manière selon laquelle se produit un travail continu.

Conditions générales du cycle fermé , quelle que soit r espèce

de corps qui le subit.

Commençons par admettre un corps : i^ dans lequel l'attraction moléculaire et par suite le travail interne soient absolument nuls ; 2® dont la capacité calorifique soit absolument constante ; 3^ enfin qui procède rigoureusement selon les lois de Mariotte et de Gay-Lussac quant aux relations des

pressions, volume et température. Un tel corps ne saurait exister et ne constitue qu'un être idéal ; mais nous verrons quelles modifications s'introduisent dans les conséquences, lorsque de l'ordre idéal et fictif nous descendrons dans la réalité.

Reprenons encore notre cylindre vertical tel qu'il a été défini plus haut (p. iSg) et supposons qu'il se trouve dans ce cylindre un poids M du corps idéal dont la pression et le volume soient ?« et Y 9 au zéro ordinaire de nos thermomètres et dont la température soit t^. Pour faire équilibre à la pression du corps (exprimée en kilogrammes par mètre carré), il faudra que la charge du piston (de un mètre carré) soit

/> = Po(i -f- a/o) = aPo (^ -+- ^0) = aPoTo,

si le volume est maintenu à Vo ; pour tout autre volume ç, nous aurons, comme chacun sait,

en posant T = - -t- /.

Faisons maintenant décrire à notre corps le cycle fermé de rendement maximum.

i« Diminuons graduellement la charge du piston de manière à le faire descendre de P^ à P4 ; mais ajoutons de la chaleur de façon à rendre t^ et par suite T© rigoureusement constants. Le gaz va se détendre suivant la loi de Mariotte; lorsque la pression sera devenue P| , son volume sera

Le travail externe rendu sera, comme tout le monde sait,

F« = aP«V„T

•or'î^'=«PoT,v,iog(|iV

Comme la capacité calorifique est absolument constante par hypothèse et comme T© ne varie pas, la quantité de chaleur Qo qu'il aura fallu fournir pour maintenir T© constant sera rigoureusement

Q, = AFo =

2? Cessons d'ajouter de la chaleur, mais diminuons encore graduellement la charge du piston de façon à la faire descendre à P2. Pour un moment quelconque de cette nouvelle détente, la pression p aura pour valeur

le volume étant v et la température étant T = - + /. Le travail rendu à chaque instant étant fj l'abaissement de température pendant cette détente sans addition de chaleur sera exactement proportionnel à fj puisque le travail se fait exclusivement aux dépens de la chaleur C du corps. On a donc

df= - 425MRrfr,

et comme nous avons aussi

il vient

rf/=«P.VoT^%

-/..5MKx;'?=«p,y.x;*?=«Pov.iog(^)

Nous n'avons ici pas même besoin, comme nous allons \oir, d achever l'intégration, très-simple d'ailleurs, du premier terme.

3*^ Le volume, la pression et la température étant devenus \ 2, Pj et T,, recoDMnençons à charger le piston de manière à faire croilre p jusqu'à P, ; mais soustrayons continuellement juste ce qu'il faut de chaleur pour maintenir T, invariable. Cette compression va se faire suivant la loi de Mariotte et coûter un travail dont la valeur, facile à trouver comme cidessus, sera

V, étant le volume où nous arrêtons la compression. Mais nous avons

On a donc

F, = aP.VoT,log(l;).

Ce travail aura rendu une quantité de chaleur

4** Cessons de soustraire de la chaleur et continuons de charger lentement le piston jusqu'à ce que la pression se soit élevée de P, à P©. D'après les conditions mêmes du cycle fermé et du rendement maximum, il faut que la température T, se relève jusqu'à T© et que par suite aussi le volume passe de Vj à V^. Mais dans cette quatrième opération, comme dans la deuxième, les variations de température sont rigoureusement proportionnelles au travail produit ou dépensé. Li température est descendue d'abord de To à T, ; mainte-

nant il faut qu'elle remonte de T, à Tq ; le travail dépensé sera donc égal au travail d'abord gagné et l'on aura F, = F,. Dans cette dernière période, l'expression générale du travail est, comme ci-dessus,

^=aP,VoT- et -e^=425KMrfT,

d'où

-^.5MK(;-? = .P.y./'t=.P.V.log(^).

Il résulte de là et par conséquent

DU

La valeur de Fj

devient ainsi

F, = «P.V.T,log(|;);

comme F, = — Fj, il est évident que le travail externe gagné sera

Fo-F, = aPoVo(To-ï01og|;.

et, si nous divisons par Fq, on a

Fq — F» T, — T. T.

Mais nous avons

Qo = AFo, Q, =AF2,

d'où

Ft — F, Q^-iQ , __ Qi

et par conséquent

Ainsi donc, pour un corps gazeux idéal quelconque, Texistence de notre rapport universel se vérifie très-facilement. Je dis un corps quelconque; les propriétés particulières du corps ont en effet disparu de nos équations : capacité calorifique, densité ou poids à des volumes, pression et température donnés, etc.

Le fait saillant ici, c'est que, dans les conditions du cycle fermé et du rendement maximum, les quantités de chaleur données Qo et reprises Q, sont proportionnelles aux grandeurs de ce que nous avons déjà provisoirement appelé la iempérature absolue. Mais Tune de ces conditions de rendement maximum, c'est que, pendant l'addition Qo comme pendant la restitution Q|, toute la chaleur donnée ou reprise réponde à du travail.

Nous avons, en un mot, Qo = AF© et Q, = AFj. Il vient

donc

c'est-à-dire que c'est en réalité le travail produit et restitué qui est proportionnel à la température.

Nous venons de prendre pour exemple un corps gazeux quelconque, mais dans Yordre idéal : un corps qui n'existe et ne peut pas exister. Il semble que d'un tel corps nous ne puissions rien conclure du tout pour ce qui se passe dans Tordre réel. Prenons cependant parmi les corps réels l'exemple le plus compliqué, celui d'un corps qui change d'état, qui

de liquide devient vapeur (gaz fort imparfait par rapport ià notre type), se dilate encore plus, puis revient partiellement à l'état liquide, est comprimé et redevient complètement liquide. Nous verrons que cette complication, agrandie encore par l'application spéciale que je vais faire, ne change absolument rien à la question.

Reprenons terme par terme notre expérience première (décrite p. 21 3) sur l'eau. Supposons toujours que dans notre cylindre vertical il se trouve i kilogramme d'eau à la température To = - + ^o> et que I21 charge P© du piston (de

I mètre carré) soit telle, qu'il fasse équilibre à la tension du liquide. Dès que nous fournirons de la chaleur à ce liquide, il bouillira et soulèvera lentement le piston. Lorsque tout sera évaporé, nous aurons fourni une quantité de chaleur Qo qui, au cas particulier, aura pour valeur Tq ou la chaleur d'évaporation déterminée par les travaux de M. Regnault.

Nous aurons obtenu un travail externe /o ; mais ce ne sera pas, et même à beaucoup près, tout le travail produit. L'ébullition a eu lieu à température constante ; toute la chaleur Q© a donc été employée le plus utilement possible et à ne donner que du travail. Désignons par A© 1^ travail interne dû aux résistances moléculaires siu'montées. La somme y© -+-^0 sera le travail total réellement produit, et nous aurons

EQo = 425Qo=/o-hAo.

Cessons d'ajouter de la chaleur et diminuons graduellement la charge P jusqu'à P, . Le piston va s'élever lentement, par suite de l'expansion du gaz aqueux; la température tombera de Tn à T< = - 4- /, . Le travail externe du à la détente

sera/< ; mais ce n'est pas non plus à beaucoup près le seul

qui s'opère. J'ai déjà dit que dans ces conditions une partie notable du gaz aqueux se condense en eau qui a sans cesse la température de la vapeur restante ; cette vapeur rend donc toute l'énergie qu*elle représentait entre T© et T| ; en même temps les molécules du gaz s'écartent et produisent un travail qui coûte de la chaleur. Désignons par A, la somme de travail représentée par tous les termes positifs et négatifs de travail interne. I^a somme /, -+- A, sera le véritable travail produit par la détente.

Mettons maintenant le bas du cylindre en rapport avec une source de/roid, de façon à condenser une quantité m de vapeur sous la pression constante P, . La source de froid va recevoir une quantité de chaleur Qi , qui au cas particulier aura pour valeur

Q, =/7îr,,

Ti étant la chaleur d'évaporation du liquide répondant à la température T,.

Comme la condensation a lieu sans changement de température, toute la chaleur Qi sera due au travail externe et interne que j'appellerai (/j -+- ^a)- Cessons de soustraire de la chaleur et faisons passer la charge du piston de P, à Pq. Ainsi que je l'ai dit, la température de toute la masse va s'accroître; quand elle sera devenue T©, toute la vapeur devra être condensée. Une remarque importante est à faire ici. Nous pouvons, comme il nous plait, évaporer la totalité ou une partie seulement de l'eau, sous la pression P©; nous pouvons ensuite détendre en donnant telle valeur finale qui nous plaît à P| ; mais, une fois P| et T, choisis, les deux opérations suivantes ne dépendent plus de notre volonté. Pour chaque valeur arbitraire que nous adoptons quant à P,, il n'y a qu'une seule valeur de m et par suite qu'une seule

valeur de Q, qui nous permette de n'avoir plus que de Teau à To quand nous comprimons la vapeur mêlée d'eau et quand la pression est redevenue P©. Entre les deux premières opérations, il existe en un mot une relation, nécessaire au rendement maximum, qui élimine tout arbitraire dans la marche du cycle fermé. Nous allons l'établir très-aisément.

Appelons F<. le travail externe que nous avons gagné par nos quatre opérations. Il vient tout d'abord

Mais nous avons vu ailleurs déjà que, quelles que soient les opérations et les transformations que nous faisons subir à un corps, la somme de travail interne qui se dépense pour les accomplir est toujours et totalement restituée quand le corps revient à son état initial . Nous avons donc aussi

Mais le travail externe gagné est égal à la différence des chaleurs dépensées et retrouvées, multipliée par E ou 425. Nous arrivons ainsi à cinq équations très-simples :

(2) h^ -\- h^ — Aj — A3 = o.

(3) E (Q. - Q.) = Fe.

(4) E(Q.-Q,)=/o + Ao-/,-A«-

Si nous ajoutons l'une à l'autre (i) et (2) et si nous retranchons (5), il vient

Ainsi, absolument comme nous l'avions trouvé pour notre

corps idéal, il faut que le travail total des deux détentes contraires, sans addition ni soustraction de chaleur, soit nul; ces deux opérations ne servent, la première qu'à abaisser la température de la masse de Tq à T, , la seconde (détente négative ou compression) qu'à ramener la température de T, à T«. Elles ne servent, en un mot, qu^à nous permettre d'user de la différence To — T, dont nous disposons.

Nous voyons clairement que, étant une fois donnée une dépense Qo et par suite étant accompli un travail total (yi -^- f^%)j c'est la grandeur (/, 4- A,) ou l'étendue de la détente sans addition de chaleur qui détermine la grandeur de son égale (^ -h A, ) ou compression sans soustraction de chaleur; et c'est la grandeur de celle-ci qui, par contre-coup, détermine la valeur que nous devons donner à/a -^h^onk Q, ou au cas particulier à m, puisque Qi = mr^).

Il est visible que/i •+- h^ est une fonction de^^ -f- A, ou de /i -H A|, et, comme l'abaissement de température est directement proportionnel à /, -i- A, , il est tout aussi visible que /a 4- Aj est fonction de T. La question est de savoir quelle est l'espèce de ces fonctions. Nous pouvons discuter cette question comme physiciens, au point de vue de la température, ou comme mécaniciens, au point de vue du travail, et cette double discussion va nous conduire au même résultat.

su-

Démonstration de la proposition II au point de vue

de la Physique.

Plaçons-nous d'abord au premier point de vue. Si nous considérons le rapport général

F, T. Fo -JF, F, T. -J,