POUR UN CHANGEMENT D'ÉTAT
33. Conclusion des chapitres pr^c^dents. — Nous nous sommes attaché à résumer les résultats de la physique expérimentale. Nous avons vu que la physique ne considère qu'un état particulier des corps : celui où la pression est normale et uniforme sur leur surface et où la température est uniforme dans leur masse, cette température et cette pression pouvant d'ailleurs varier avec le temps. Tout incomplètes que soient les études, même à ce point de vue restreint, nous avons pu en conclure que l'état d'un corps est caractérisé par une fonction de la température de sa maase, de la pression normale à sa surface et du volume de l'unité de poids de ce corps. Nous représenterons cette fonction par
On a pu voir encore que les gaz naturels et même les vapeurs diffèrent peu de ce que nous avons appelé les gaz parfaits, pour lesquels la fonction précédente devient
Enfin nous avons été amené à dire que des phénomènes thermiques équivalent à dos phénomènes mécaniques. Ces idées ont dans la science toute la précision désirable et il est bon désormais de s'habituer aux raisonnements qui les rendront fécondes ; mais, comme méthode, il est utile de montrer que, sans faire d'hypothèses sur la nature de la chaleur, on peut, par l'analyse, calculer la quantité de chaleur nécessaire pour un changement d'état déterminé.
34. Capacitiê CALORIFIQUE A VOLUME constant. — Supposous que le volume spécifique v est invariable et donnons à f un accroissement Af , il en résxUte, à cause de l'équation F (^, |>, v) = 0, un accroissement
Ap pour p. Nous dirons que le corps a passé de Pétat {tjPjv) à Tétat [t + iityp + àpjv). Soit AQ la quantité de chaleur qu'il faut donner au corps pour qu'il subisse ce changement d'état. Si A Q est négatif, c'est qu'au lieu de donner de la chaleur au corps il faut lui en prendre.
— est la quantité de chaleur moyenne pour un degré d'élévation do
température de t kt + At^ le volume ne variant pas; c'est la chaleur spécifique moyenne à volume constant entre l'état (^je?, t;)ct {t + At^p+àp^v).
AQ JQ
At "" de
lim. t^,= ^ = C,
est la chaleur spécifique à volume constant pour l'état (^,p, v).
^dtzzC^dt at
est la quantité de chaleur qu'il faut donner au corps pour passer de l'état (f,^,r) à l'état (<+d^,|>+<ip, v); elle est évaluée en prenant t pour variable indépendante.
35. Chalbur latente de dilatation. — Supposons que la température est invariable, et donnons à t; un accroissement Av. Il en résulte, à cause de l'équation F(^,p, v)r=Oy un accroissement Ap pour p. Nous dirons que le corps passe de l'état {t^p^v) à l'état {tjp+Ap^v+Av). Soit AQ la quantité de chaleur qu'il faut donner au
corps pour qu'il subisse ce changement d'état, -r-^ est la quantité de
chaleur moyenne pour une augmentation de volume égale à l'unité depuis V jusqu'à v+dv. Puisque la température ne varie pas, AQ passe à
l'état latent. ^ est la chaleur latente moyenne de dilatation entre les
états ( ^, l>, V ) et{typ+ApyV+Av),
r ^Q rfQ , lim. -r^ = -—î = Z
av dv est la chaleur latente de dilatation pour l'état (^,jt?, v).
-p- dv = Idv dv
est la quantité de chaleur qu'il faut donner au corps pour passer de l'état («,l>, v) à l'état (*, ^+rfp, v+rfv) ; elle est évaluée en prenant v pour variable indépendante.
36. Chalbtjb sp]éoifiqub a pression constante. — Soit rfQ la quan-
tité de chaleur quUl faut donner au corps pour qu'il passe de l'état (îjPjv) à l'état ( t + dtjPi v+dv). Prenons t pour variable indépendante.
est la chaleur spécifique à pression constante .
G,dt
est la chaleur nécessaire à la transformation.
37. Chaleur latente relative a la varla^tion de pression. — Soit dQ la quantité de chaleur qu'il faut donner au corps pour qu'il passe de l'état ( *, p, t? ) à l'état {tiP + dp^v+dv). Prenons p pour variable indépendante.
dp
est la chaleur latente relative à la variation de pression.
hde
est la chaleur nécessaire à la transformation.
38. — Reprenons la transformation du n^ 34. On peut exprimer d'une autre manière la quantité de chaleur nécessaire à cette transformation. Prenons |>) au lieu de e, pour variable indépendante, et po* sons
dp ' '
La quantité de chaleur nécessaire au passage de l'état {t^p^ i?) à l'état {t+dt^p + dp^ v) peut s'écrire
^dp = Ydp. -
39. — Reprenons la transformation du n^ 35 en prenant v, au lieu de py pour variable indépendante. Posons
dv
La quantité de chaleur nécessaire au passage de l'état {t^p^v) à l'état [t^p + dpyV + dv) peut s'écrire
-T- dv = Xdv.
dv
40. QUANTirtf DX OHiXXUR idklXSSAIBX POUB UN CHANOEMINT D*iTAT INFINIMKNT PETIT QUELCONQUE.
1^ Prenons t et v pour variables indépendantes.
Faisons varier t et laissons v constant ; p prendra, en vertu de l'équation f {t^p^ v) =, la variation ^ <ft, quand t variera de dt. En eflet, p peut être considéré comme une fonction dos variables t et t?, et -£ dt est la variation de p correspondante à celle de t^ v restant constant.
Si Ton fait varier v, laissant t constant, la variation de|> est ^ dv.
Quand < et t; varient à la fois, p prend l'accroissement -£ dt^ correspondant à la variation de e, et l'accroissement ^ dv , correspondant à la variation de v. La somme de ces deux accroissements est l'accroissement total ou la différentielle totale de p, quand t et v varient à la fois. Si dp représente cette différentielle totde, on a
^ dt dv
Pour passer de l'état {t,p,v) (I) à l'état {t+dt,p+ '£dt, v) (2), il
faut donner au corps la quantité de chaleur, C^dt^ d'après le n® 34. Passons maintenant de ce dernier état à celui que l'on obtiendrait en y faisant varier r; alors, t et v variant à la fois, p varie de sa différentielle totale dp, d'après ce que nous venons de rappeler. Le nouvel état
est donc {t+dty p + -^ dt+ •^dv^v + dv)o\i{t+dt,p + dpyV'hdv){S)\
il représente un changement d'état infiniment petit quelconque. Pour passer de (2) à (3), on fait seulement varier vetp dans (2), comme au n** 35 ; la quantité de chaleur nécessaire pour cette transformation est donc Idv. Ici l est la chaleur latente de dilatation pour l'état (2) ; mais elle est la même que la chaleur latente pour l'état ( ^, p, v). En effet, l est fonction de e, p, Vj et, si l'on donne à t l'accroissement d^ et à p l'accroissement
■^ (ft, il ne peut en résulter pour l qu'un accroissement de premier
ordre, comme ceux de f et de p. Cet accroissement disparait devant 2, qui est une quantité finie, quand on évalue la quantité Idv. En définitive, pour passer de l'état (1) à l'état (3), il faut une quantité
de chaleur
(a) dQ = Cvdt + ldv.
C« et l correspondant à l'état (1).
41. -^ 2® Prenons t et p pour variables indépendantes. — En raisonnant comme précédemment et en nous reportant aux n^' 36 et 37, on a
(6) dQ=zCpdt + hdp.
pour la quantité de chaleur nécessaire au passage de Tétat {t^p^v) à Véiai {t+dtjp + dpyV + dv),
42. 3® Prenons p et v pour variables indépendantes. — La quantité de chaleur nécessaire pour le même changement d'état sera :
{c) dQ = Xdv + Ydp.
43. Relations xktbe les cHAiiEUBS spjfoiFiQUES et les chaleurs LATENTES. — Si dty dp y dv sont les mêmes dans les équatipns (a), (6), (c), la quantité dQ est la même dans les trois équations. Les seconds membres ne diffèrent qu'en raison du changement de variables indépendantes. Aussi les coefficients différentiels G,, 2, Çp, A, X, Y ne sontils pas indépendants les uns des autres. Cherchons les deux principales relations entre ces quantités. Poiur cela, dans l'équation (a) changeons les variables indépendantes; au lieu de t et v, prenons t etp^ comme dans la formule (&). v étant alors fonction de £ et ^, on a :
. dv . dv .
dv^rr dt-h T'dp.
dt dp ^
L'équation (a) devient
dQl = (Gv'\'l^dt + lj^dp.
En égalant les coefficients différentiels de cette équation et leurs correspondants dans l'équation (6), on a
Cp = C?+2— , dp
44. Remarque sur L'iNT]£aRATioN des formules (a), (&), [e). — dQ n'est pas une différentielle exacte des variables indépendantes.
Par exemple, considérons l'équation dQ = G^dt + Idv ; pour que dQ soit différentielle exacte de v et t^ il faudrait que l'on ait
dl dCv de"" dv '
Nous verrons plus tard que cette condition ne peut pas être remplie.
La quantité de chaleur Q, nécessaire pour une transformation finie. Le dépend doi;io pas seulement des conditions initiales et des conditions inales, à la manière des intégrales de difXérentielles exactes; cette quantité Q dépend en outre des états intermédiaires par lesquels passe .6 système.
45. FOBHULE DX LA D]£tSNTE d'UN GAZ PABFAIT QXn KX BXÇOIT XT NX
D^GAOE PAS DE CHALEUR. — Appliquons les formules de ce chapitre à la détente d'un gaz parfait qui ne reçoit et ne dégage pas de chaleur. Il suffît de placer le gaz dans une enceinte dénuée absolument de conductibilité. C'est le contraire de ce que nous avons supposé quand un gaz se détend suivant la loi de Mariette. Dans le cas qui nous occupe, la quantité de chaleur nécessaire à la transformation considérée, ne pouvant être empruntée aux corps environnants, est prise à la masse du gaz lui-même; la température subit donc des variations. Ecrivons que dQ = o, nous aurons, en prenant l'équation (a), par exemple :
Cvdt + ldv=zO.
Or, la chaleur latente l est liée aux capacités calorifiques par l'équation générale
dv Jt De l'équation
on déduit
Kjp — \jf) + t "t: .
dv ^ apoVo __ aV dt "" p ""l+a^'
en remplaçant p par sa valeur en fonction de v et de f On a donc
Z = (Cp — Ci,) : ^=(Cj) — Cv) ^^ .
Remplaçons l par sa valeur dans la première équation, elle devient
(Cp-C,)^ + C.7^ = 0.
V 1 + at
L'intégrale du premier membre est une somme de logarithmes que l'on doit égaler à une constante arbitraire.
On peut donc écrire l'intégrale générale sous la forme
logB(l + aO^'^t^^^~^^ = 0,
B étant une constante arbitraire. Remplaçons 1 4- «< par sa i on a
Le produit |)^v^ est donc constant si le gaas subit des ti mations quelconques sans absorber ni dégager de cbaleur, Ce de Poisson.
Si nous désignons par ia une constante arbitraire telle que
Po Vo
on a
log;> V '=ix.
