A GAZ
97. GÉNiRALiTiês. Rendement d'une machine. — On appelle co^ciént économique OU rendement d'une machine à feu le rapport de la quantité de chaleur transformée en travail à la quantité de chaleur prise aux sources de chaleur.
Considérons une machine à feu fonctionnant suivant un cycle do Camot (fig. 2, n" 86). La machine prend à la source à la plus haute température f^, une quantité Qs de chaleur; elle abandonne à la source à la température la plus basse t^^ une quantité de chaleur Q^. La quanité de chaleur transformée en travail est Qa — Q,. Si S représente l'aire positive ABCD, on a
Si toute la quantité Qs était transformée en travail, on aiu*ait pour le travail de la machine l'expression EQ2. Le rendement peut donc s'exprimer au moyen des quantités de chaleur, comme nous l'avons dit ; c'est
Q2 — Qi
Cette expression prend une forme remarquable pour le cycle de Camot. En effet, d'après l'équation (27) on a Q% = T2{vé^ — [*,), Q, = T, ([Aj — [X,), ce qui donne
Q2 — Q( T2 — Tf ^2 — ^1
Lé rendement d'une machine fonctionnant suivant un cych de Carfiof, dépend uniquement des températures extrêmes entre lesquelles fonctionne la machin^. Si ^3= 150**, si ^1 = 27", le rendement est égal à 0,29... On voit par là qu'il est avantageux d'avoir des valeurs élevées pour tj.
98. Considérons maintenant une machine fonctionnant suivant un cycle quelconque. Pour concevoir une telle machine, il faut supposer que le corps se transforme en contact avec une source à température variable, qui donne au corps de la chaleiu: pendant une partie de la transformation, et avec une source servant de réfrigérant, à laquelle le corps abandonne de la chaleur pendant le reste de la transformation. Soit abcd un cycle quelconque. Circonscrivons-lui deux courbes isothermes ^3 et f 1 , puis deux courbes adiabatiques (JI3 et \hi ; ce qui
donne un cycle de Carnet, ABCD circonscrit au proposé. Supposons que le corps, qui se transforme dans le sens direct, soit dans les conditions du n** 82 ; tt désigne la température la plus élevée et ^1 la température la moins élevée de celles qui sont réalisées dans le cycle; le corps absorbe de la chaleur suivant la transformation dab^ parce que chaque élément de cette transformation est au-dessus de la ligne adiabatique qui passe par l'origine de cet élément. Pour la raison contraire, le corps dégage do la chaleur pendant le reste de la transformation, représenté, par bcd. Entre les lignes adiabatiques (ai, (j, menons*on d'autres qui soient infiniment voisines. Elles divisent le cycle abcd en éléments pour chacun desquels répond ou une absorption de chaleur ou un dégagement de chaleur de la forme dQ = Td[A. L'absorption répondra a une valeur de d{A et, par suite, de dQ positive; le dégagement répondra au contraire à d\)» négatif. Dans chaque différentielle dQ positive, remplaçons T par la température absolue la plus grande a + f2==Ta, on aura
dQ
ou
dQ Q2
car Ts étant constante dans la mcondo intégrale, mi valeur est la somme des quantités de chaleur dQ absorbées, somme que nouH représenterons par Q9. Dans chaque difTércntielle négative rcmplaçonB T par la température absolue minimum Ti, nous aurons
en représentant par Qi la quantité absolue do chaleur dégagée par le corps.
Mais, pour une transformation qui s'accomplit suivant un cycle entier, on a nécessairement
puisque les limites de Tintégrale donnent les mrnies valeurs do la fonction |x. Distinguons les deux sommes que nous venons d'effectuer parles signes + ou — mis au bas du signe de rintcgration, nous aurons pour le cycle complet abcd
rdQ rdQ
d^où Ton déduit
ce qui donne
La première partie est le rendement do la machine fonctionnant suivant un cycle quelconque entre les températures extrêmes T2 et Ti ; la seconde est le rendement d'une machine fonctionnant entre les mêmes températures, mais suivant un cycle do Carnet. Le premier rendement est plus petit que le second. Le cycle de Carnot répond donc au coefficient économique maximum.
99. R^aiNiÈRATEURS DE CHALEUR. — Lo cyclo de Carnot est d'une réalisation impossible ; aussi on a cherché à élever le rendement des machines au moyen de tégénérateuta de chaleur.
Par les points de contact h^id menons les lignes isothermes /A, de ; puis entre celles-ci menons*en d'autres qui soient infiniment voisines* Deux éléments correspondants tels que mni^ m'n\ déterminés sur le cycle abcd par deux lignes isothermes Infiniment voisines, sont tels
que la température de la source et celle du réfrigérant sont les mêmes, T par exemple. On peut concevoir qu'un corps extérieur, à la température T, reçoive tout ou partie de la chaleur dqi que le corps abandonne suivant la transformation tim et que ce corps extérieur restitue plus tard à la machine une certaine quantité de chaleur pour former en partie la quantité dq^ qu'elle doit absorber, à la température T, suivant l'élément mn.
Le corps extérieur qui recueille pour une phase de la transformation la chaleur dégagée dans une autre est un régénérateur de chaleur.
100. Remarquons que, malgré l'emploi d'un régénérateur, le coefficient économique est en général inférieur à celui du cycle de Carnot. En effet, plaçons-nous dans le cas le plus favorable, c'est-à-dire celui où toute la quantité de chaleur cédée au régénérateur suivant be est restituée tout entière à la machine pendant la transformation df. Dans
'intégrale I — = 0, faite pour le cycle entier, las éléments correspondant aux parties be^ df^ disparaissent comme étant égaux et de signes contraires. Si Q2 est la quantité de chaleur absorbée suivant /oJ, on aura pour cette partie
Si Qi est la quantité de chaleur cédée au réfrigérant suivant ecd (et qui est définitivement perdue, puisqu'on ne peut la recueillir utilement pour la machine), on aura pour l'intégrale correspondante à ecd
On a donc encore
Q2 — Qi T2 — Ti Q2 T2
101. Pour qu'on puisse réaliser le coefficient économique maximum, il suffit de deux conditions : 1** la quantité de chaleur dq\ doit être égale à la quantité de chaleur correspondante dqi^ et le régénérateur
doit fonctionner d'une manière parfaite ; 2** l'intégrale / — pour la
partie /a& doit être égale à nr? ce qui aura lieu pour Ï = T2, c'est-à-
dire qu'il faut que /ai soit une ligne isotherme; pour une raison analogue, il faut que ecd soit une ligne isotherme. Cette seconde condition
revient à dire que la machine doit fonctionner entre deux lignes isothermes.
Pour réaliser la première condition, traçons, entre ces lignes isothermes ABjDC, une ligne de transformation quelconque I)A, et cherchons quelle ligne BC il faut tracer entre les lignes isothermes pour fermer le cycle. La figure de ce cycle est analogue à celle du cycle de Camot, mais DA et BG ne] désignent plus des lignes adiabatiques. Pour un élément mn de la première, on a dqt = M {C^dt + Idv)^ M désignant le poids du corps qui se transforme ; pour l'élément mn de la seconde, correspondant à mn^ c'est-à-dire compris entre les deux mêmes lignes isothermes infiniment voisines, on a
dqi = U{C'^dt + rdv),
L'équation différentielle de la seconde ligne s'obtiendra en égalant dqt à dqi.
Puisque DA est arbitraire, on peut réaliser la combinaison qui nous occupe d'une infinité de manières. Un cycle qui satisfait aux conditions précédentes est aussi avantageux que celui de Carnot au point de vue du rendement, mais il demande l'emploi d'un régénérateur.
102. Machines a gaz fonctionnant suivant un cycle de Caknot. — Pour les gaz parfaits, on connaît les équations des lignes de transformation et, par conséquent, on peut calculer toutes les circonstances du mouvement d'une machine à gaz parfait. Considérons une transformation suivant un cycle de Carnot (fîg. 2).
Toute la chaleur fournie par \e^ source le long de la ligne AB est transformée en travail représenté par l'aire A'ABB'. Elle est égale à Qa = MT2 (1*3 — [Al) (équation 23), où M désigne le poids du gaz. D'après l'équation (/) n** 74, si l'on appelle j^i, ri les coordonnées du point A, on pourra écrire
<■ Ct> Cm
lAi = log;?i vi ^; si ^2) Va sont les coordonnées de B, on aura de même
i;,2 = l0gp2 V2
Par conséquent
O» , V iup
---=•■>«© te) ■
Mais le gaz se détendant suivant une ligne isotherme on a, d'après la loi de Mariette (n® 7), ^94174 =^2^2. Si on élimine le rapport^ del'équa-
— «6 tion précédente, on a
iX2 — JA, = (Cp—Cv) log ^^ .
On peut donc écrire, en tenant compte de l'équation (ft) des gaz
Q2 = MAapo t'oT, log ^.
Suivant la ligne adiabatique BC, il y a diminution de Ténergie int rieure qui se transforme en travail extérieur sans communication < chaleur avec l'extérieur. D'après l'équation (c) des gaz, cette variatic d'énergie correspond à une quantité de chaleur telle que
Ma(T2 — Ti).
Le long de la ligne isotherme CD, le gaz dégage une quantité < chaleur égale à
Q^ = M Aa/>o Vo T^ log -^
en appelant v^ et v^ les abscisses des points C et D.
Enfin le long de la ligne adiabatique DA, l'énergie intérieure au. mente d'une quantité qui équivaut à la quantité de. chaleur
Ma(T2 — T,).
Cette dernière expression prouve que le travail effectué par la déten suivant la ligne adiabatique BC est égal au travail dépensé pour fai fonctionner la machine pendant la seconde période de compression Di La quantité de chaleur disparue est donc la différence des quantit de chaleur répondant aux deux autres périodes.
D'après la loi de Mariette, on a
D'après la loi de Poisson, on a
P\ ^< =Pi ^'4 e* P^ ^'a =Pz ^'3 •
L'élimination des pressions conduit à -^ = --^^ De sorte qu'on a
Q, — Q, = MAapoi'o{T2 — T,) log ^^ .
Le travail représenté par l'aire curviligne ABCD est donc
MapotJo(Ta — TJlog^.
On pourrait d'ailleurs lo chorchcr diroctcmont.
103. Dss BjfGiNiBATXUBS POUB LES OAZ. — Les machines à gaz ne pouvant être construites suivant le cycle de Carnot, on emploie des régénérateurs, et pour cela on cherche a satisfaire à la condition dqi = dqt (n"" 101). Or G^* est constant pour les gaz et l=Ap (équa^ tion (d) des gaz), on a donc
La condition à remplir est donc p dv = p'dt/ . Mais les points (/>, r), (p'j v') étant sur une même ligne isotherme mm (lig. 3) on a, d'après
la loi de Mariette, pv =pv\ La condition à remplir est donc — = -7-
ou v=zkv\ ce qui donne />' = ip.
Si donc on se donne une ligne de transformation quelconque }(p, v) = entre deux lignes isothermes, la ligne de tranformation correspondante sera
t(to',^) = 0.
104. Machinb de Stirlinq. — Dans la machine de Stirling, on prend pour 4» l'équation v = i\, La courbe correspondante est kv' = r^ Le cycle se compose donc do deux lignes isothermes et de deux lignes parallèles à l'axe op.
Suivant AB, ligne isotherme à la température T^, le foyer fournit au gaz de la chaleur qui se transforme en travail extérieur. Soit ra le
volume en B ; la ligne BC a pour équation kv2 = v^ ou v^ = •^. De B
en G le gaz se refroidit à volume constant et cède de la chaleur au régénérateur. Suivant la ligne isotherme GD, à la température Ti, le gaz est ramené à son volume primitif r^ qu'il avait en A ; le travail extérieur est employé à cette compression du gaz, en même temps que celui-ci cède au réfrigérant une quantité de chaleur qui est perdue pour le jeu de la machine. De D en A le gaz est mis en contact avec le régénérateur qui l'échauffé à volume constant jusqu'à ce que sa pression et sa température soient redevenues ce qu'elles sont en A, et une nouvelle période recommence.
105. Machine d'Ericsson. — Dans cette machine on prend pour ^ l'équation 2> =2>4- La courbe correspondante esty = ip^ =Pr Le cycle se compose donc de deux lignes isothermes et de deux lignes parallèles à l'axe ov.
La réalisation des machines à gaz est très*imparfaite, du moins
pour los fortes puissances , où la plus grande difficulté consiste à avoir un foyer qui chauffe d'une manière bien régulière, et à avoir une alimentation d'air ^constante. Les machines à air chaud se composent en général d'un récipient placé sur le foyer et où l'air est chauffé. Ce récipient est alimenté par le fonctionnement d'un piston dans le récipient lui-même ou dans un cylindre distinct. L'air chaud agit ensuite sur un piston qui fait mouvoir l'arbre de la machine.
En combinant les mouvements des deux pistons, on obtient à peu près l'une ou l'autre des deux dispositions que nous venons d'indiquer. Dans le circuit de l'air se trouve le régénérateur composé de toiles métalliques.
Les machines a explosion de gaz ont reçu des applications plus nombreuses que les machines à air chaud, qui n'ont surtout été employées que pour de petites industries. Leur théorie peut s'établir à l'aide des formules démontrées précédemment. Nous ne pouvons nous étendre davantage sur ces engins.
