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Y =/j,' et, par conséquent, — = /;i ; do plus, /ï^= ^ï^ (141) et

fi =X; par conséquent /l' =/x«; on retombe donc sur la condition nécessaire. Il en résulte que Y — /î est indépendante de œ et que son

intégrale est la constante 9 [y] qu'il faut ajouter à 1 Xdx.

Comme exemple, proposons-nous d'intégrer la différentielle totale

ydœ — ady

X=— ^— Y -^ ~^ et — = — .

rfr est donc une différentielle exacte. Cherchons une intégrale

yda

+ 9(3/) = arctang- + ? (y)

9' (3/) = Y— /i =-^^^,— — arctg- =zO

et, par conséquent,

= arctg- + c.

On aurait pu trouver ce résultat d'une manière plus rapide, en remarquant que^^ ■„ — ^ est la différentielle totale de - .

Alors, on aurait pu écrire

ydx — œdy x

dz = ^ ^ = — ^ = arctg- + c.

Du facteur par lequel il faut multiplier une différentielle pour qu'elle

devienne différentielle exacte.

143. — L'équation Xd^ + Ydy = admet toujours une intégrale, que Ton puisse ou non séparer les variables. En effet, partant d'une valeur de x et d'une valeur de y arbitraire , on peut déterminer le

rapport -^ correspondant, et puis, de proche en proche, calculer les

variations dey correspondantes à celles de œ\ soit wzsc, l'intégrale de cette équation, quand on a résolu cette intégrale par rapport à la constante qu'elle renferme. De cette dernière équation wrzc, on tire :

du

du ^ . du , ^ dy dx

-r-da?+-=-dy = ou-f = — — .

ax dy dx du

dy On a donc :

du

du~Y' dy

Cette équation doit être identique; autrement, elle établirait une relation entre â; et y, où il n'y aurait pas de constante arbitraire, tandis que d'après l'équation u:=^c^y dépend de x et de c. On peut donc écrire

du du

d'où l'on déduit

et

^W ^ Y du ^y.

du:^v f^dx + Ydy).

Il y a donc toujours un facteur r, fonction de œ et de y, propre à rendre différentielle exacte le premier membre d'une équation différentielle.

La détermination de ce facteur n'est pas une opération facile en général, mais il importe de constater que ce facteur existe. Ajoutons enfin qu'il y a une infinité de facteurs qui peuvent jouer le même rôle. Ainsi :

vo {il) (Xilv-{-Ydi/) = <f{u)du rz d I <p(w)rfw.

Le premier membre de l'équation sera donc une différentielle exacte, puisqu'une expression telle que ç (w) du a une intégrale , et les facteurs propres à rendre différentielle exacte le premier membre d'une équation différentielle sont de la forme