Toute différentielle

du = Xdûs + "Ydy

qui a la forme d'une différentielle totale n'est pas toujours une différentielle exacte d'une fonction des variables x et y. Ainsi

du=:da — -dy

n'est pas une différentielle exacte d'une fonction de ^ et dey; mais xdu = xdx — ydy est la différentielle exacte de la fonction

Il a suffi de multiplier du par x pour qu'il en soit ainsi. Si l'on mul-

tiplie par -r-; — s la différentielle du = ydx — xdy^ on aura

du __ ydx — xdy qui est la différentielle exacte de Z == arctang - + <?.

141. Cherchons la condition que doivent remplir les coefficients X

et Y pour que du soit une différentielle exacte d'une fonction des

variables x et y.

dz Soit z =/(.r, y) une fonction de ces deux variables, on a — = /» et

dz -, . j. d^z d^z , , . j. dfJli dfy,

-r- =/J : le dis que -7-7- = -7-7- > c'est-a-dire que -7— = -~^ (nous re-

dy ''^^ ^ ^ dxdy dydx^ ^ dy dx ^

présenterons cette dérivée seconde par /^ ).

Donnons à ^ un accroissement infiniment petit A, on peut écrire

dz f{x + h,y)—f{x,y)-j^h.

Donnons ensuite à y un accroissement infiniment petit h et observons

^dz

dz dz diX dz

que — devient égal à -r- + -j- *, car Paccroissement de — est égal à

sa dérivée par rapport à y multipliéo par la variation infiniment petite do y (135). On a donc

De cotte équation retranchons la première et divisons par A^, nous aurons

f[^+ih y + ^) — /(^, V + h) —f[x + h y) +/(^, y) , dœ

hk dy '

Si Ton avait fait varier d'abord y puis ^, on aurait trouvé pour second

.dz

d'il membre -j-j- et le premier membre n'aurait pas changé. Il en résulte

que les deux dérivées partielles du second ordre sont égales ou, ce qui revient au même, que le résultat final de plusieurs différentiations est indépendant de l'ordre de ces différentiations. Je dis plusieurs, bien que nous n'ayons parlé que de deux différentiations et que de deux variables, parce qu'il est facile de généraliser la démonstration précédente. Si nous ne considérons que deux variables, c'est que nous n'avons pas eu à nous préoccuper de fonctions de plus de deux variables.

Revenons à la différentielle Xdœ + Xdy ; pour qu'elle soit différentielle exacte d'une fonction des variables œ et y, il faut donc que

dy dx '

puisque X doit représenter /à et Y,/jJ.

142. Ajoutons que cette condition est suffisante, c'ei^à-dire qu'il sera toujours possible de trouver l'intégrale d'une différentielle qui remplira cette condition.

X représentant la dérivée de la fonction quand on y suppose y constant, si l'on intègre Xdx^ en supposant y constant, on aura une certaine fonction en x et en y^ /i (^, y), à laquelle il faudra ajouter comme constante une fonction arbitraire de y^ ç (y), et on aura

Si l'on peut déterminer ç (y), notre proposition sera établie. Or, on doit avoir/y =/i + ?' (y), mais/j) = Y; on a donc

ou

Le premier membre ne contenant pas a, le second ne doit pas le contenir et on doit avoir

dû:

ou