INFLUENCE DE LA PRESSION SUR LES FORCES DE RÉUNION
Considérons maintenant unemasse liquide à la température qu'on maintiendra constante au moyen d'un réservoir indéli destiné à fournir de la chaleur à certains moments et à en cevoir dans d'autres.
1» La pression externe exprimée en atmosphères étant dV )rd p, diminuons de i la surface S+i et emmagasinons, dans Tolant d'une machine parfaite^ le travail produit
e réservoir gagnera en même temps une quantité de chaleur
((uiTalente à la somme
t, -f- ft,
^^ travail interne et du travail externe produits par le passage ^u volume I X I X e en pleine matière.
2* Abaissons la pression externe de p, à p^; le changement
de densité modifiera la valeur A de ratlrafclion au contact en milligrammes par millimètre carré, de sorte qu'en pleine ma-
A tière, la pression évaluée en atmosphères passera de — ôW+P«
3o Augmentons la surface de i ; le volant perdra
Fi, et le réservoir perdra la chaleur équivalente à
4* Repassons de la pression externe p^ àp, ou, en pleine
matière, de — ^-f-Pi à — ^+Pt; cette opération est Tin-
verse de la seconde et, de leur ensemble, il ne résulterait pour le volant et le réservoir ni perte ni gain si nous n'avions actuellement un volume e de plus à la surface et de moins en pleine matière. Pour évaluer les différences qui en proviennent et que les équations doivent contenir, entrons dans les détails en faisant abstraction des quantités communes.
Dans la seconde opération, le volume s est en pleine matière, le coefficient de compressibilité ordinaire p est applicable (*)•
{*) On csl à torl dans i^usage de considérer ce coeftlcieni trouvé par les expériences connues, comme se rapportant à la pression externe p établie
sur le liquide du piézomètre; il est relatif à la pression — hp»quaoiiié
très-considérable (aaSoo atmosphères pour Teau). Les changements qu'on peut faire subir à la pression externe sont si faibles en comparaison à premier terme, qu'on doit s'attendre à n'obtenir pour p que des varialiois difBciles k distinguer des erreurs commises dans les corrections de capacité du piézomètre. Ce n'est qu'en changeant la température qu'on peut modi-
fier notablement la densité, et par suite — r^; le coefficient de compres-
sibiiité éprouve alors une variation due à deux causes agissant à la fois»
ACTIONS MOLÉCULAIRES (SUITK). 277
ns le passage de — ^ -H P» à — qW^ 4- Pi , ce volume €
oduit un travail externe
io333
P^PÎ-PÎ),
l'on emmagasine dans le volant et qui est le produit de la
ession moyenne sur l'unité de surface (Pi+Pi) par
variation de volume Pe(p,— pj.
Le réservoir perd la chaleur correspondant à la somme de travail externe et du travail interne. Pour une variation de lutne égale à celle que produit dans un milligramme un logement de température d'un degré, le travail interne
ait, comme on l'a vu plus haut, looo E{& -^c) -r — ;
jr la dilatation actuelle, on a
r , , , , io333 a^l Pe (p, — p,) ^ I ioooE(c/ — c) — ^J ' ■ ^/ ^'' '
valeur en fonctioa des attractions au contact s'obtient en iplaçant looo E (& ~ c) par aa^ ^ ou par -^; elle est
(A — io333) P 8 (p, — Pj).
>ans la quatrième opération, on obtient deux résultats tout-
lit analogues ; ils ne diffèrent qu'en ce que le coefficient
jfen de compressibilité à la surface Pi pendant le passage de
p, est autre que p et en ce que le volume est e 4- 8.
n définitive, l'ensemble de ces deux opérations fait gagner
rolant
io333
u réservoir
(PÎ-PÎ) [(£+*) Pi -sPL
-(Pl-PÎH(Î+^) P.- eP] +(A- io333)(p.-p.)[(€-H*)P.-ep).
Toute la chaleur en jeu dans ces opérations^ qui ramènent la masse liquide exactement à son état primitif, est à la température t^ ; le rendement de la machine est donc nul et le volant ne peut avoir finalement ni perdu ni gagné de la force \ive; cette remarque conduit à une première équation. On en obtient une seconde en exprimant que le réservoir à t^ n'a luimême fait ni perte ni gain ; cela donne
(308) F.-F, = i^(p|-pî)[(6+â)P.-8p],
(309) t.-». +A,-A. + i^ (PÎ-PÎ) [fe+*) p.-6p]
+(A-io333) (p,p.)[(e+^)P.^£P]=o,
ou, en passant aux limites pour obtenir des résultats rigoureux, (3io) ^ = io333p[(e+^)p.-sp],
(^") ^+|^-Hio333p[(£+S)p.-£p]
(A — io333) [(e + 8) p, — s p] = o.
L'équation générale (23o) donne d'ailleurs ,o X dF dh .^d\
et, comme on a par définition B= 3-=--7-» il vient
^ ^ udp \dp
De ces diverses relations on tire encore
/Q /x ^* /'At . A — io333 I dF
^ dp ' io333 p dp
Le manque de données expérimentales s'oppose à toute application numérique de cette théorie de l'influence des changements de pression sur les valeurs des forces de réunion.
IPHÉNOMËNES CAPILLAIRES.
re$sion normale en un point d'une surface liquide en équi- !. — Lorsque la surface d'un liquide en équilibre présente portion plane^ la force de contraction de la couche super- [le ne produit aucune pression normale. Dans tout autre son effet dans cette direction en un point H quelconque 3i) est facile à calculer. De ce point comme centre, avec
Fig.3I.
ur rayon^ traçons une circonférence sur la surface ou t une courbe sphérique^ menons par la normale n plans
ngés faisant entre eux des angles infiniment petits -
[ et désignons par z la valeur par unité de surface de la ion normale cherchée. Pour le cercle de rayon ds, la on sera 17 ds' 2. En A et en B^ dans deux dièdres opposés^ idance à la contraction donne deux forces égales entre [ui s'exercent perpendiculairement à l'arc de circonférence
ont chacune pour valeur F. Elle se coupent sur la
2 ds lie sous un angle — , p étant le rayon de courbure de
ion normale considérée. Leur résultante a pour valeur
np
joutant à la résultante des deux forces contenues daus le \ dièdre perpendiculaire; on obtient pour somme
27rFd5*/i
et, d'après le théorème d'Euler, on n'altérera point ce résultat si l'on regarde désormais p et p, comme les deux rayoDS de courbure principaux. L'action normale totale s'obtient en multi-
pliant par -; en l'égalant à izds*z et réduisant, on arrive a
la formule
qui est très-générale et sera invoquée fréquemment dans la suite.
Il est bon de l'appliquer en particulier à plusieurs cas importants :
I* Dans le cas d'une surface engendrée par la révolution d'une ligne donnée autour de Taxe vertical des y, on a
(3i8) z = \y = F\ — ^^-{ ==fl;
2* Pour' un ombilic,
3" Si Fune des courbures principales est nulle, il reste
Les deux courbures peuvent changer de sens ensemble ou séparément; et il est nécessaire d'accorder aux signes une grande attention.
Ces formules sont depuis longtemps connues ; on en trouve une démcmstration simplifiée dans un Mémoire de M. Bertrand sur la capillarité {Journal de Math, pures et appliquées^ t.XIII); ce Mémoire remarquable renferme aussi plusieurs théorèuies intéressants dont il sera question plus loin. La démonstration qui précède offre l'avantage d'être intimement liée avec ma
ACTIONS MOLÉCULAIRES (SUITE). 28i
manière d'expliquer les phénomènes de la capillarité, omènes sont très-nombreux et difficiles à classer: minerons d'abord ceux dans lesquels un seul corps ui-même^ et nous étudierons ensuite les cas dans lessieurs corps différents agissent les uns sur les autres.
