ERREURS

relatives.

Tous ces résultats sont trop faibles; Simon^ par exemple, donne pour Teau 5,io au lieu de 5,48. Cette différence s'explique par une légère obliquité du disque ou une secousse, ce qui est très-difficile à éviter complètement. Ces deux causes d'erreurs se montrent, ainsi qu'on devait s'y attendre, d'autant plus à redouter, que les liquides sont plus fluides.

B Je donnerai uniquement ici, comme exemple, la courbe relative à Teau; ses dimensions étant réduites au tiers, elle donne le nombre cherché avec moins d'approximation certaine que celle qui a conduit au chiffre 5,io.

Fig. 44.

2> Dans tout ce qui vient d'être dit la largeur 2L du rectangle employé a été supposée assez considérable pour que les deux surfaces capillaires opposées ne pussent se rencontrer avant qut)

le disque ait atteint la hauteur \/~^

» Il est intéressant, étant donnée une largeur 2L suffisam* ment faible, de calculer pour quelle hauteur cette rencontre a lieu, et de déterminer aussi la largeur pour laquelle le liquide se détache du disque en même temps que les deux surfaces capillaires se rencontrent.

» Pour résoudre ces questions, il faut intégrer de nouveau

ACTIONS MOLÉGUf^lRES (SUITE). 301

l'équation (SSp). Résolue par rapport à y' y elle devient

(343) i^yMA^-^y\

et le second membre doit être pris avec le signe +, car nous ferons usage de la partie supérieure de la courbe pour laquelle y* est positif. En séparant les variables, on a

» Le premier terme de la valeur de dx a pour intégrale

— i/^r — y'; quant au second, on Tintègre en employant une des transformations connues, en posant par exemple

\J^ — y^=-\/%r-^^} ce qui donne facilement le résultat cherché :

» Prenons pour axe des y la tangente verticale à la courbe, laquelle rencontre la ligne de gorge; il faudra (338) que, pour

/2F x=:Oy on ait y = i/ — » ce qui donne pour valeur de la con-

stante

-c = \/^--\Jll[i-^^'2) = o,o3284i\/l.

n L'équation (345), dans laquelle on suppose cette valeur à c, donne, quand on y fait y=y — , la valeur maxima de L,

30â CHAPITRE IX.

pour laquelle il y a rencontre des lignes de gorge :

0 La loi indiquée par cette formule peut s'énoncer ainsi : » Pour divers liquides, la largeur de rectangle pour laquelle la séparation se fait à la fois par rencontre des lignes de gorg^ et par décollement est proportionnelle à la racine carrée du rapport de la force de réunion du liquide à sa densité. Dans le cas de Teau, on trouve 2^=2,92. Pour un autre liquide, il

suffit de multiplier ce nombre par le rapport

D Enfin, étant donnée la hauteur y^ à laquelle on veut amener un rectangle, on peut chercher quelle largeur il doit avoir pour que les deux surfaces capillaires soient alors en contact. La solution est fournie par l'équation (345), dans laquelle il faut faire 1/ = y, et a? = L, ce qui donne

» Il est clair que y^ ne peut varier qu'entre V -r- ^* V X'

c'est-à-dire, pour le cas de Teau, entre 3,873 et 5,478. Voici, pour ce liquide, un tableau de quelques valeurs correspondantes de ^1 et de 2 L :

» SECOND PROBLÈME. — Poids maximum du liquide soulevé. — Hauteur correspondante du disque au-dessus de la surface libre,

» L'équation générale (336) qui lie le poids d^eau soulevée à la hauteur est

Vi-H2/;*'

»0n peut trouver géométriquement la relation entre y, et y^ propre au maximum de g. En effets c'est le rectangle qui supporte flnaleknent tout le poids de l'eau soulevée, et ce poids est maximum en même temps que le volume; mais^ lorsqu'on élève ou abaisse (fig, 45) le rectangle de AB en A'B^ par

exemple, les surfaces capillaires se transportent horizontalement, et Ton a pour accroissement du volume

2Ldyi — 2t/iXAK.

I^our que j/» soit la valeur cherchée, il faut donc que l'on ait

2Lrfyi— 2yiXAK=:o,

théorème qui peut s'énoncer ainsi :

i>La tangente de V angle que fait la surface capillaire avec /j rectangle^ dans le cas du maximum de q, égale le rapport de Vélévation du plateau à sa demi-largeur ;

» Ou encore

I) L'angle de la surface capillaire avec le rectangle, dans k cas du maximum de q, s'obtient (Qg. 4^) en joignant le bord in

Fig. 46.

rectangle au pied de la perpendiculaire abaissée du milieu à plateau sur la surface libre du liquide, »

» Remarque. Supposons dy^ constant et A K croissant, y\ , c'està-dire ^> diminue, ce qui ne peut arriver pour celte courbe

capillaire sans que y, augmente; donc, en vertu de (349), L doit croître. Ainsi :

» Lorsqu'on prend des rectangles de largeurs variables^ l^ hauterirs propres au maximum croissent avec ces largeurs.

» Ce corollaire se verra géométriquement plus loin.

» Quant au théorème qui précède, on peut aussi l'établir au moyen de la théorie générale des maxima. Nous avons à trouver le maximum de q, c'est-à-dire (336) de la fonction

2LAy,+ 2F- ^'

sachant que yi eiy[ sont liées par l'équation (339) •

En posant yi = tang a^, ces relations prennent les formes suivantes:

(35o) qf = 2LA2/j-f-3Fsina,

(35i) A yî — 2F (i -h cosa) =0.

n égalant à zéro la dérivée de la valeur de q et celle du preder membre de (35 1), il vient

^ yi d^i +Fsinai da,= o, L A dyj-l-Fcosaidai = o.

'élimination de dy, donne immédiatement la valeur (349) trouée précédemment pour tanga ou y{.

» Relation entre les valeurs de L et de y^ propres au maximum e q. — Portons dans (SSg) la valeur de y[ tirée de (849) ; il ient

. doit toujours être positif ; sa valeur varie de o à 00 lorsque y\

roît de — à ^ . Du reste, nous pouvons représenter géomé-

riquement la variation de y^ avec L. Pour cela posons

j/î = Y et L*=X;

Inéquation (352), élevée au carré, devient, par Tinlroduction de ces nouvelles variables,

•353) XY-hY^— ^X — ^Y+^=o.

Jous cette forme elle représente une hyperbole dont le centre , pour coordonnées

.a direction des axes est fournie par

tang2a= — i.

►onc

Enfin les axes ont pour longueurs