FILS FLOTTANTS

îpuis très-longtemps on sait que des fils métalliques^ des es à coudre par exemple^ peuvent flotter sur l'eau quoieaucoup plus denses. Simon s'est encore occupé de ce mène^ et, en employantlelaiton, il n'a pu réussir avec un Ire supérieur à i'"'"^25; il a aussi fait usage du platine mercure. Beaucoup plus récemment, M. Van der Hensbe a étudié ce sujet de nouveau; cependant il reste eneaucoup à faire.

1 ne peut établir la tbéorie de ces phénomènes sans les iv complètement^ et sans remarquer d'abord qu'un soouillé coule de suite lorsqu'on le pose sur un Jiquide dense; ce n'est donc qu'à cause de l'adhérence d'une 3 d'air qui ne disparaîl point complètement^ même soua ipient de la machine pneumatique, que Tacier et le ïu^i*

ton, substances que Teau mouille, peuvent flotter. Plusieurs cas se présentent à Tesprit :

» 10 On peut concevoir Tabsence complète de tout gaz et un solide que le liquide ne mouille point.

» 20 La couche gazeuse peut être assez mince pour que Taction du solide sur le liquide ne soit pas entièrement négligeable.

» 3° L'épaisseur de cette couche peut suffire pour empêcher toute action appréciable du solide sur le liquide; alors Taction du gaz sur le liquide est elle-même trop faible pour qu'il y ail lieu à en tenir compte.

» Ce dernier cas sera d'abord examiné ici, parce qu'il est le seul qu'on puisse réaliser approximativement dans les expériences avec quelque facilité. Le fil sera supposé homogène et parfaitement cylindrique, creux ou massif, et de densité moyenne ou uniforme D; nous étudierons d'abord l'équilibre dans un cas quelconque, représenté fig, 49.

Fig.

La section droite du fil et celle de la surface capillaire sont tangentes en M; nous prendrons pour axe des x l'asymptote horizontale de la courbe capillaire, et pour axe des y Taxe vertical de symétrie;nous conserverons d^allleursles notations précédentes

et nous compterons les y positivement de haiit en bâS. L3

point H {x, y) appartenant encore à là courbe capillaire^ on en conclut que la relation (342) est applicable :

(862) y == 2 sfT^' Sin - a,

et l'inspection de la figure donné d'ailleurs ^ en posant 0Q= — p et en nommant r le rayon,

(363) a?=rsina,

(364) y— P=rcosa.

Pour trouver l'équation d^équilibre, la seule qui manque encore, il suffit de]considérer une unité de longueur horizontalement, et d'égaler le poids tc r'D du solide, qui est la seule force verticale agissant de haut en bas, à la somme de la résultante des pressions capillaires et de la poussée hydrostatique.

» En un point quelconque de Tare ME ayant pour abscisse

a:, la pression capillaire normale a pour expression - , ce qui

Fds donne — pour un élément i Xds. La composante verticale

dûR F âx s^obtient en multipliant par j- , elle est , et la somme

que Ton obtient en intégrant de — a? à -f- a? a pour valeur

On Tobtiendrait très-facilement aussi en remarquant qu'elle égale la somme des composantes verticales des forces contractiles en M et H^, ce qui donne encore

«jFflî 2F sin a ou •

Quant à la poussée verticale, elle égale évidemmeilt le double du poids du liquide remplissant le eyiiûdre qui a pour bisa

3i4 CHAPITRE IX.

OBHE, et pour hauteur i . Or on a

OBME=ÛME-hûMA— QABO=ir»aH-iir(»— P)-hPa:

et par suite la résultante des poussées hydrostatiques est

l'équation d'équilibre est donc

= 2yA sina+r*a-haî (y-hP).

II est facile par une discussion embrassant tous les cas^ y compris celui que représente la figure 5o, de montrer que les éqaa-

Fig. 50,

tions qui précèdent sont générales. Si Ton élimine entre elles ^> y y % il vient, en posant pour abréger

(367) -^ = 2*sina + 2a-f-4js sin a sin-a— sin 2a.

Étant données ^ A, r, D, l'équation (366) donne z; puis (367I donne a; (362) donne Xy (363) donne y, et (364) donne p, sans élimination nouvelle et sans longueurs de calculs autres

[ue celles qui proviennent de la résolution de Téquaion (367).

» Pour un même liquide caractérisé par fei A, on peut:

» loFaire varierladensitéD du solide en conservant la même valeur au rayon r, et chercher la valeur maximum de D^ aulelà de laquelle l'équilibre devient impossible.

» 20 Supposer au contraire D constant et chercher la valeur naximum de r.

x» Si Ton prend pour variable indépendante a, il faut^ dans le Dremier cas, écrire la dérivée de (367) par rapport à a et à D, ^Dsidéré comme fonction de a, puis faire iy=o, ce qui rerient à supposer D constant et à dériver par rapport à a seuement. Dans le second cas, la même remarque s'applique à r ; 3e sorte que Téquation

C368) i5*-|-2j5f2 sin--|-tangacos-j-l-4sinatanga=o

convient pour résoudre les deux problèmes. Pour éviter les Longueurs, on peut attribuer diverses valeurs successives à a et Former un tableau des valeurs correspondantes de z fournies par réquation qui précède et de celles de D que donne ensuite Téquation (367). Onmontre aisément que, dans lecasdumaximum^

a surpasse - , et^ comme alors les valeurs de z sont de signes

contraires, le choix n'offre aucune difficulté, puisque z doit être positif. Voici le type d'un de ces calculs dans lequel l'angle a est supposé de 1000 ou a= 100. -^.