CALCUL DE D

Log 78,158= 1,89297

Log — = 1,20182

LogD =1,09479

D'après cela, si Ton donne 2r = i,5o3, on pourra changer la substance du fil et en accroître la densité, mais pas au-delà de 22,44 y car alors l'équilibre deviendrait impossible. L'angle a aura dans ce cas pour valeur loo*".

% Si Pon adopte au contraire pour densité invariable i2,44; la vtiéfiir la plus grande qu'on pourra donner au diamètre du

ACTIONS MOLÉCULAIRES (sUITE). 317

fil sans rendre Téquilibre impossible sera i ,5o3, et l'angle a sera toujours de loo®.

» On résout ainsi les deux questions simultanément. Voici les résultats obtenus par suite de deux autres calculs analogues à celui qui précède :

a=io2o 2=5,921 2r=i,85 D= 8,955 a=io2»3o/ z=Sfi46 2r=i,94 D = 8,326.

En admettant la proportionnalité des différences dans cet intervalle, on en déduit, pour D = 8,48 employé dans une série d'expériences sur un laiton,

Au reste, j'ai dressé un tableau dans lequel on trouve les valeurs de z, 2r, D, a?, y, p correspondant aux diverses valeurs de a, et j'ai construit les courbes qui lient ces quantités entre elles. On montre aisément que Tabscisse minimum de la surface capillaire {fig. 5o) possède toiyours une assez grande valeur positive quand il y a équilibre, et cela dispense d'examiner, comme dans certaines questions étudiées précédemment, si, même alors queFéquation (365) est satisfaite, la rencontre des parties saillantes des surfaces capillaires opposées ne vient pas rendre impossible un équilibre calculé en faisant abstraction de cette circonstance.

B Dans les expériences de ce genre, les observateurs ont trouvé un obstacle au succès dans les actions aux deux extrémités du fil; nous avons supprimé cet obstacle en faisant usage d'anneaux ayant la forme de tores construits avec soin {*). Le diamètre est assez grand pour que la seconde courbure soit négligeable; on fait varier la densité en changeant la sub-

(*) J*ai fait les expériences ateé mon frère Paul, à qui est due l'idée de remplacer les fils par des anueaux de grand diamètre.

di8 CnAPlTRE IX.

stance,en remplaçant, par exemple, le fer et le cuivre par l'or, l'argent, Taluminium et d'autres substances méiilliquesou non. Quand le liquide, qu^on fait varier aussi en construisant un autre tableau, ^mouille Tanneau trop facilement^ on l'enduit par les procédés de la galvanoplastie, ou autrement, d'une couche mince d'ime substance convenablement choisie. Le temps nous a manqué pour finir nos vérifications; elles seront publiées plus tard en même temps que Tétude des causes d'erreurs. »

TENSION DANS l'iNTÉRIEUR DES GOUTTES.

Lorsqu'une goutte ABG {fig. 5i) se trouve en équilibre, si Ton y fait une section horizontale s ayant pour contour une circonférence c, puis qu'on appelle a l'angle de la tangente à

Fig. 51.

la méridienne avec l'horizon, et h ladifférence de niveau enlrc cette section et la surface liquide dans un grand vase avec lequel la goutte communique, la condition d'équilibre du segment A séparé de la sorte est facile à exprimer.

p Ce segment de volume v tend à tomber en vertu deson poids r A.

2<> H supporte de haut en bas la pression sh \.

3° La force contractile de la couche superficielle s'exerce sur

le je

ACTIONS MOLÉCULAIRES (SUITë). 319

e pourtour c^ et. la somme de ses composantes verticales a pour valeur cF sin a ou c/*A« sin a.

Cette dernière force devant faire équilibre aux deux autres, on a réquation

(369) cf^siaoL = sh'\-v.

L^angle a devient droit pour la section maximum B et pour la section minimum G, c'est-à-dire pour le cercle de gorge; on a alors

[870) cf\ = h-hv.

Dans le cas des petites gouttes^ 2R désignant le diamètre de La section B, on peut^ sans erreur appréciable, remplacer le

rolume du segment par celui de la demi-sphère, ô''^R%6tU rient en simplifiant

371) 2f^ = K(h+^Ky

Si maintenant nous appliquons (317) au cercle de gorge le diamètre 2 R^ et [si nous appelons p le rayon de coubure légatif , ce qui permet d'exprimer la pression

Dous trouvons pour poids de la goutte C373) Q = «à = irRÎF^i-+iV

Ainsi:

Le poids d^une goutte en équilibre limitée au cercle de gorge ^gale la pression capillaire interne qui serait exercée sur ce Cercle si la courbure principale négative était changée de sens.

L'application de (378) au cercle horizontal de rayon R, sur

la circonférence duquel Tune des courbures est nulle donne

(374) Q = 27rR.Fsina-7rRÎF^ = 7rR.Fsina,

et Ton voit que :

La résultante des forces de contraction sur la circonférenct de ce cercle égale le double du poids de la goutte qu'il limite.

Les gouttes peuvent être posées sur un support horizontal au lieu d'être suspendues comme dans le cas précédent ; la formule (369) est encore applicable et se démontre de la même manière^ mais le volume prend un signe contraire ; si Ton met ce signe en évidence^ on c^rive à la relation

(SyS) V = sh — cf\ sin a,

que H. Bertrand a obtenue le premier par un artifice d'analyse très-ingénieux. 11 n'est pas seulement permis de l'appliquer au volume total de la goutte et à sa base comme le fait ce savant , elle est vraie pour une section horizontale quelconque et le volume du segment qu'elle porte. Dans le second membre^ sh est le volume de liquide qu'il faudrait placer sur la section s pour annuler la différence de niveau et le deuxième terme c/* A sin a est le volume abaissé dans le cas où la section considérée est au-dessus de la section maximum ; dans le cas contraire, il exprime Texcès du volume nécessaire pour compléter le cylindre sh sur la partie de la goutte extérieure à ce cylindre. Lorsque le support est sans action appréciable et qu'on applique la formule à la base, on a a=o, ce qui conduit au théorème suivant:

5t, sur la base de la goutte, on élève un cylindre vertical terminé au niveau M (Gg. 52), la portion extérieure de la goutte sera précisément convenable pour achever de le remplir.

Vérifications expérimentales. — La fig. 52 représente une portion de la coupe verticale de Tappareil que nous avons fait construire par M. Deleuil pour étudier expérimentalement le théorème de M« Bertrand. Une masse de mercure MH^H'^ rem-

plit un syphon en verre et en fer, dont le diamètre en M est assez grand pour que la capillarité soit sans influence appréciable. Et ce syphon se termine par une plaque d'acier qu'un

Fig. 52.

fWvVWVW^^^:;^^^

y\vwv^^'^\

peu de suif fait adhérer suffisamment et qui présente une très-petite ouverture conique. R est un robinet au moyen duquel on fait agir ou l'on supprime à volonté la pression due à la différence de niveau Mo = ft,.

Pour produire une goutte G, on ferme le robinet, puis on fait avancer la vis v, et le mercure sort en prenant à fort peu près la forme sphérique tant que son volume est très-petit; il est facile d'amener la section horizontale maximum de la goutte à prendre un diamètre 2R =2HE assigné d'avance ; il suffit de faire marcher lentement la vis dans un sens ou dans l'autre.

Un même pied porte cette partie de l'instrument et un petit catliétomètre dont la lunette à fort grossissement contient un micromètre au moyen duquel on peut lire les dimensions de la

goutte à — de millimètre près.

Pour faire une expérience on mesure d'abord la différence de niveau HO = hi, puis on produit une goutte trop petite pour laquelle on note le diamètre 2R ; l'ouverture du robinet suffit pour la faire rentrer aussitôt malgré la pression qui s'y oppose. On recommence en augmentant 2R jusqu'à ce que

l'ouverture du robiuet soit suivie au contraire d'un accroissï; ment rapide de la goutte ou plutôt d'un véritable écoulemenl. Si l'ou arrive de la sorte à constater que, pour 3ll=o,83,la goutte est avalée, tandis que, pour sR = o,85, elle grossit; on en conclut que l'équilibre instable qu'il s'agit d'étudier a lieu

quand aR =0,84 à moins de — de millimètre. Dans l'une

de nos expériences ce chiffre a été obtenu avec h^ = 16,54.

Lorsqu'on est arrivé à ce point, on reproduit la goutte de diamètre 2R = 0,84 et on achève l'expérience en mesurant à l'aide du micromètre :

i" La hauteur AB = a;

2° Le diamètre de la base 2BC=2r.

Ces deux déterminations sont rendues plus faciles par U nature du support, qui, étantbien poli, sert de miroir, de sorle qu'on aperçoit deux gouttes coïncidant par leurs bases et faisant, là où elles se coupent, un angle 2 i double de l'angle de raccordement qui sera étudié plus loin et dont la conslaocu sera démontrée.

Voici le tableau des résultats obtenus :

NDKi.».

swrâo.

dw

ar

iR'

.bi«iir<.

■Jo

s,iî

il')

fi,8e

fi

iS.Ti

La seconde colonne de ce tableau contient le numéro del'objectiL Deux lentillesontétéemployées ensemble ou séparément et ont fourni trois grossissements. Lorsqu'on employait le n-'t-

ACTIONS MOLECULAIRES (SUITE). 3^3

il fallait vingt divisions du micromètre divisé en cinquantièmes de millimètre pour couvrir un millimètre d'une échelle substituée à la goutte ; avec le n» 2, il en fallait vingtneuf, et cinquante avec le n° 3.

Dans la septième colonne se trouve le diamètre AD d^un cercle situé entièrement à l'intérieur de la méridienne et déterminé géométriquement par la construction de l'angle droit ACD. Sa valeur est

(376) 2R' = AD = AB + 80 = a + -;

il montre si le défaut de sphéricité est négligeable.

La neuvième colonne renferme les valeurs des angles de raccordement du mercure et du fer trouvés au moven de la relation

(377) sinf = ^,

que l'inspection de la figure rend évidente. Leur constance se montre peu approchée, même quand on fait abstraction des expériences 6 et 7 dans lesquelles le diamètre de base 2r approche trop du diamètre du trou, qui, aux dentelures près, s'est montré de o,56 quand on a cherché à le lire à l'aide de la lunette micrométrique. Une couche d'air tantôt plus, tantôt moins épaisse, quoique très-mince, suffit pour altérer les résultats (*).

Enfin, la huitième colonne contient la valeur de la force de réunion qui résulte de chaque expérience calculée au moyen de la formule (375) modifiée. 11 est facile, à Taide des nombres contenus dans la première ligne du tableau, de s'assurer que le volume v, qui forme le premier membre de Téquation, est beaucoup plus faible (environ sept fois dans la première ex-

(♦) Voir le mémoire de M. Quincke, Annales de Chimie et de Physique, 3*^ série, i. LV, p. 227.

périence) que le terme sft ; si Ton remarque en outre que le terme suivant ne pourrait que dans le vide être déterminé avec une précision peut-être encore insuffisante, il deviendra évident que le volume v est difficile à distinguer des erreurs d'observation ou au moins à obtenir avec une faible erreur relative. Pour mettre en évidence la loi physique utile qui résulte de réquation de M. Bertrand^ il vaut mieux^ dans une première approximation, considérer comme égaux les deux termes du second membre et, dans une deuxième approximation, remplacer le volume de la goutte par son expression approchée au moyen des longueurs observées. Toutefois, la difficulté que présente la détermination de l'angle i, que la couche d'air adhérente peut altérer beaucoup, rend préférable l'application à la coupe horizontale maximum; alors sina=i, 5 = xR*, c = 2irR. On peut d'ailleurs, sans erreur sensible, remplacer

V par ^ttR' et h par /ij-f-R — a, du moins pour les petites

gouttes, et on arrive à soumettre aux vérifications expérimentales la formule

R(Ai,+ ^~a) (378) f= ^ ,/ ^-

C'est en l'employant que l'on a calculé les nombres contenus dans la huitième colonne. Leur moyenne 0,227 (*) ^st inférieure à la force de réunion 0,267 trouvée par des procédés

plus sûrs: la différence est d'environ - de la vraie valeur:

(*) Mon fils Paul a fait du ai au 29 mai 1868 une. nouvelle série de sii expériences, qui Tonl conduit à une valeur moyenne qui ne diffère de celleci que dans le chiffre des millièmes. Mais, ayanl ensuite changé le mode dVckiirage, il a obtenu le nombre 0,264, qui rentre dans la loi générale, à une différence négligeable près.

quoique assez considérable, elle paraîtra peu surprenante si Ton réfléchit aux difflcultés de cette série d'expériences.

Lorsque le diamètre 2R devient assez grand pour qu'il y ait lieu de négliger la seconde courbure principale et à ne tenir compte que de Celle de la méridienne, on trouve, en intégrant une première fois l'équation de cette courbe, et prenant l'axe de révolution pour axe des y et la section du support horizontal pour axe des x.

gy — y* = 2/'A| cost-4--- — ^ — Y

le «igné + devant être employé quand j^ est négatif et le signe — quand il est positif.

Si l'on fait y^=o et y=a, il vient

(38o) a= v^2/'A(n-'cos i) = 2 cos-i sff^*

y' = 00 donne pour hauteur de la section maximum

(38i) y, = a— s/2fA = (2 cos ^ » — v^) V/^-

Lorsque le volume croît de plus en plus, ces quantités tendent vers deux limites dont bientôt elles ne diffèrent pas sensiblement. La différence a — y^ est indépendante de Tangle t, ce qui était facile à prévoir.

Pour le mercure, nous avons constaté par expérience l'exactitude de ces déductions en ce qui concerne le nombre a dont la valeur est bien 3,8 lorsque le support est sans action efficace; î = 4o degrés donne 3,6. La valeur de y, est plus difficile à mesurer avec exactitude.

Si Ton substitue, dans la valeur v A du poids de la goutte, d'abord l'expression de v donnée par M. Bertrand, puis celle de a qui vient d'être obtenue, on trouve en remplaçant s et c

par irr* et 2T:r,

û = 27rr« cos^v^ï^ — 27rr F sin f,

et, quand l'action du support est négligeable, on a plus simplement

û=27rr«v'FÂ = 27rrV/^-

De là on tire la formule

(382) F^.^.^; ou f=-L^^.%

qui permet d'obtenir F ou f au moyen des données expérimentales. 2r a été mesuré au moyen d'un cathétomètre horizontal dans trois expériences qui ont conduit aux résultats suivants :

r= 3,i6, Q= 1490, F=4i,5, f=o,224; r= 7,42, Q= 8340, F = 42,75, f=o,23i; r=ii,44, 0=19820, F = 42,73, f=o,23i.

Le support était en marbre recouvert d'une mince feuille de papier, i n'était pas entièrement négligeable, et l'on voit que, malgré cela, F tend vers une limite qui n'est pas très-éloignée de la vérité. On a donc encore un nouveau procédé pour la mesure des forces de réunion ; il ne peut donner une grande exactitude, mais dans certains cas, il est difficile d'en employer un autre. C'est ce qui arrive par exeniple pour les métaux fondus que nous avons étudiés avec M. Lechartier, mon collègue à la faculté des sciences de Rennes, à qui revient la plus grande part dans cette série d'expériences.

Au fond d'un vase convenablement choisi pour chaque cas, on pressait de la terre d'os au moyen d'un pilon en fer dont l'extrémité avait exactement la forme d'un segment sphérique de 70 ou lob millimètres de rayon. On chauffait le métal environné d'hydrogène ou d'acide carbonique quand cela était utile,

ACTIONS MOLÈCULAIBES (SUITE). 337

et on obtenait de la sorte une goutte qu'on pouvait examiner après sa solidification. On mesurait le diamètre ar de la cir< conférence de contact avec le support et le poids de la goutte . De ce dernier nombre on retranchait le poids du se^^mpnt Epbérique ayant pour valeur approchée

—5— ou —, — , 280 400

et on négligeait les erreurs dues à l'attraction du support et à son défaut d'horizontalité vers la circonférence de contact, Les résultats sont réunis dans le tableau suivant:

NOMS

■raiTiNOïs,

cornuB.

Ëlain....

ag.s

i3oi6

Si, a

Aatimuine

6,7IÏ

CuiTre. . .

Argent...

354fi

35oi

Cadmium.

Bismuth. .

Or

Merûiire..

plomb...

io3

i38og

D'après la loi, les produits des nombres contenus dans la seconde colonne et dans la huitième doivent égaler ^a ou 26,6g. Ils soni contenus dans la dixième colonne, et la valeur moyenne 26,5 s'accorde très-bien avec la force de réunion de rhydrogène ; les écarts de part et d'autre sont acceptables si l'on ne perd point de vue les causes d'erreur inhérentes à cette méthode.

ÉCOULEMENT FAH GOUTTES.

Pourforcerunliquideàs'échapper sousformedegouttessuccessives, on peut adopter des dispositions extrémementvariées;

nous ne considérerons ici que des appareils de révolution par rapport à un axe vertical et donnant par suite des gouttes terminées aussi par des surfaces de révolution. L'étude se trouvera ainsi réduite à la recherche de la méridienne et des conséquences de cette forme. Au point le plus bas, en o [fig. 53), se

trouve un ombilic, et le rayon Rde courbure en ce point suffit^ avec la nature du liquide, pour déterminer entièrement la surface de la goutte^ puisqu'on rapportant la méridienne à Taxe de figure pris pour axe des y et à sa tangente au point le plus

bas pris pour axe des j?, on a (3 17)

(383) ou bien (384)

'-ï-Kh^:)