CORPS AGISSENT

Tension d'une goutte liquide contenue dans un liquide différent. Supposons le liquide extérieur contenu dans un vase cylindrique de rayon R, mouillé par lui, et soient

froUement est indépendant de la distance ; il en est encore h iorl peu près indépendant aux distances qui ne sont pas beaucoup inférieures à ce rayon. Il en est de même du travail et de la force de séparation dans le cas où le solide sort mouillé.

Si la vitesse de la lame augmente, ce qui fait croître très-vite la force de frottement, plusieurs couches liquides minces glissent les unes sur les autres parallèlement à la surface avec des vitesses relatives d*autant moindres que leur nombre est plus grand, et cette circonstance amoindrit le travail de frottement ainsi que la force nécessaire pour le produire. On pourrait obtenir une limite du rayon de la sphère d'attraction sensible en pesant la lame d'abord sèche, et ensuite après Tavoir retirée verticalement du liquide en lui imprimant une vitesse uniforme et connue; raccroissement de poids donnerait, par un calcul facile, Tépaisseur moyenne de la couche liquide entraînée. Une série d'expériences du même genre, dans lesquelles on ferait varier convenablement la vitesse, étant représent<fe par une foi mule empirique ou par une courbe, ferait enfin connaître Tépaisseur correspondante à une vitesse nulle, c'est-à-dire la limite cherchée. Ces détails font bien comprendre l'utilité de la précaution que nous avons toujours prise, dans la recherche des forces de réunion par les pesées ou par les ascensions dans les tubes, de mouiller le solide un peu au-dessus du liquide un instant avant d* opérer la mesure.

ACTIONS MOLÉC0LAIBB8 (SUITE^. 369

F la force de réunion du liquide de la goutte, r le rayon de cette goutte sensiblement sphérique^ Fj la forme de réunion du liquide extérieur, F^ la force de réunion du premier liquide avec le second^ ^ la distance du centre de la goutte à la surface horizontale du liquide extérieur de densité A.

La goutte^ communiquant par un point de la surface avec un appareil manométrique ^ peut perdre une partie de sa substance^ ou recevoir du liquide semblable à celui qui la compose; l'appareil fournit la mesure de la pression intérieure z.

Appliquons le principe des vitesses virtuelles^ qui n'est ici qu'un cas particulier de celui de l'équivalence. L'équilibre existant, ajoutons au système des forces infiniment petites négligeables, ainsi que les travaux qu'elles produisent, et donnons-leur un sens tel que le rayon de la goutte croisse de dr; puis calculons les divers travaux effectués; leur somme sera nulle, car les forces du système sont en chaque point deux à deux égales et contraires. '

i"* La surface sphérique croit de STcrdr, et il en résulte pour le liquide de la goutte un travail de séparation SizFrdr. Pour le second liquide, c'est SwF^rdr, et si l'on compare les deux liquides ensemble, leur surface commune s'est accrue, ce qui a causé un travail de réunion lÔTzF'rdr. En tout on a

Sizrdr (F+F,— 2FO,

2» Pour lin élément (ù appartenant à la surface sphérique^ le travail dû à la force z est (ùzdr; pour la surface entière, cela donne, en tenant compte du signe,

— 4T^r^zdr.

3* En grossissant, la goutte soulève une certaine quantité de liquide qui vient s'étaler à la surface. Pour apprécier le

370 GHAPITUIX.

travail correspondant^ 6oit

réquation de la méridiémie en prenant pour axe des y comptées positivement de haut en bas la verticale du centre, et pour axe des x une perpendiculaire contenue dans 1^ surface libre. Entre deux plans horizontaux menés à'dasiMXh fondeurs y et y-hdy, <l.e liquide soulevé a pour vfdome

2xa? dr ^i-f-y/% et le travail élémentaire a pour expression

2r:\xydr v^i-f-y'*. L'intégrale depuis y=p— r jusqu'à y=P+r a pour valeur

4'Kr*^\dr.

4° Dans le vase dont je suppose les bords mouillés d'avance,

le liquide soulevé occupe une hauteur -— dr, puisque le volume de la couche sphérique est 4'^r^dr; le travail de réunion a pour, valeur

— 2wRx~idr><:Ft ou g

La somme algébrique de ces quantités étant nulle, on arriTe, après réductions, à la formule

(4.3) ,=a˱^iiiLO HAp-.f.

Quand le rayon du vase est très-grand et que la goutte trèspetite est fort près de la surface, les deux derniers termes sont négligeables, et Ton retoioGibe sur la formule (3 19), à cela près que la force de contraction F doit être remplacée par

toutes les fois que la couche superficielle d'épaisseur e, au lieu d'être en contact avec le vide, est en contact avec un autre Uquide.

ACTIONS MOLÉCULAIRES (SUITE). 37i

L'assimilation du trinôme (4i4) à F peut être jaatiflée d'une autre manière. Considérons des masses des deux liquides terminées par des faces planes parallèles de i millimètre cane chacune^ et supposons d'abord dans ces faces une contraction linéaire infiniment petite^; des travaux élémentaires 2F} et âF^^ s'effectueront. Opérons maintenant la réunion, il en résultera un travail 2F' (i — 2J). En nommant F, la force de contraction des deux surfaces en contact et changeant Tordre dés opérations^ au lieu de la somme des trois quantités précédentes^ on aurait eu 2F^ + 2F,J. Le résultat devant être le même^ on trouve bien comme précédemment

(4i5) F,-zFh-F,— 2F^

Si les deux liipiides sont identiques^ ou si l'on a seulement 2F=F-hF,, il vient

Fj=o.

Lorsque le liquide de la goutte est remplacé par un gaz, FetF^ sont négligeables; on obtient^ en supprimant Tindice de Fj devenu inutile^

(4l6) ^=:^+AP-^.

Si c'est au contraire le liquide extérieur qu'on remplace par un gaz, Fi, F' et Àp sont négligeables; il vient

Enfin, si les deux liquides ont la même densité, comme dans une partie des belles expériences de M. Plateau, on peut obtenir la pression intérieure x, atetection faite des pressions hydrostatiques : sans supposer le ftyon de la goutte très-petit, on trouve

OU simplement

,4,9, ,^iE±L^}

si le vase est très-grand.

Dtjfustoh.— Lorsque deux liquides ou deux gaz sont en contact^ leur différence de densité tend à empêcher le mélange; elle tend aussi à les séparer^ s'ils ont été d'avance mêlés par des moyens mécaniques. Mais cette cause bien connue est rarement seule en jeu dans ces circonstances, et Tétude des forces de réunion peut éclaircir en partie ce qu'il y a d'obscur dans les phénomènes observés. Désignons toujours par F, Fj, FMes forces de réunion du premier fluide avec lui-même, du second fluide avec lui-même^ du premier fluide avec le second, et considérons d^abord ce qui se passe quand une masse du premier fluide se trouve complètement environnée par le second.

Si Ton conçoit que la surface commune croisse de fù, un travail de réunion 2¥(à sera produit. En même temps la surface totale de chacun des deux fluides croîtra aussi de (o, ce qui suppose un travail de séparation (F-hF,) w. Ainsi un travail

(2F — F — F,)w sera accompli^ et sa valeur sera positive si la condition (420) 2F>F-^Fl

est remplie. Comme, en Tabsence de force vive, il ne peut exister de travail sans force, il est certain que, dans ce cas, le mélange s'effectuera de lui-même en produisant une quantité de chaleur équivalente au travail opéré, et Ton est en droit d'affirmer que :

La diffusion a lieu toutes les fois que la force de réunion des deux fluides Vun avec Vautre surpasse la moyenne arithmétique entre leurs forces de réunion respectives.

Du moins elle tend à se produire, et la différence de densité est la seule cause qui pourrait Tempécher.

Tant qu'une parcelle de Tun des fluides possède des dimensions supérieures à e, son expansion dans Tautre fluide continue, puisque les forces de réunion demeurent les mêmes; mais, pour des dimensions moindres^ ces forces varient suivant des lois encore inconnues, et Ton ne peut dire ce qui arrive. Toutefois, en s'arrêtant à e, on obtient facilement une limite inférieure de la quantité de chaleur qui accompagne la diffusion. Elle est très-notable dans certains cas, et il en résulte qu'une variation de température ne peut servir à prouver l'existence d'une combinaison chimique.

Lorsque l'inégalité (420) est remplacée par Téquation

(421) 2F = F+Fi,

il ne reste point de force autre que la différence de densité, du moins si l'on ne considère point les actions entre des quantités de matières extrêmement petites et rapprochées, comme les actions chimiques, par exemple.

Enfin si l'on a

les fluides tendent à se séparer avec élévation de température lorsqu'ils ont été d'avance mélangés par des moyens mécaniques qui, dans ce cas, ont causé un refroidissement, abstraction faite de la chaleur correspondante au travail externe. Ici F"" peut être moindre que F ou Fi; mais il peut arriver aussi que F^ surpasse F ou Fi. Alors, quoique la diffusion capillaire soit impossible, l'un des deux fluides peut quelquefois pénétrer dans l'autre avec production d'un travail positif; en voici un exemple :

Supposons deux gouttes très-petites de rayons R et R^ d'abord séparées, puis pénétrant la seconde dans la première. La sur-

face 4^^! ^ 1^ seconde demeure invariable, et sa réunion avec le liquide de la première donne un trayail 8 ^ R} F^ La première ne change pas de volume et prend, par conséquent, un rayon J/RÎ-i-R'. Sa surface crotl de 4x[(Rî+R')»+Rî— R*], ce qui occasionne une dépense de travail égale à cet accroissement muliplié par F. Le travail final a donc pour valeur

(423) SttRÎF— 4^F[(RÎ-l-R»)T+RΗ R«], et il est positif quand a lieu Tinégalité

(424) 2RÎF/> [(RÎ-|-R»)I-|-RΗ R^.

SiRi=R, il reste

Cette condition est remplie lorsque F' surpasse F; toutefois, il ne faut pas perdre de vue que le travail total peut être positif sans qu^il en soit ainsi sans cesse pour le travail élémentaire peadant que le phénomène se produit. Au début se présente d'ailleurs un autre obstacle depuis longtemps indiqué par H. Plateau et d'autres observateurs : quand deux sphères liquides ou gazeuses s'avancent Tune vers Tautre jusqu'à se choquer, on les voit souvent ne pas crever et se réunir, même alorar quekur nature chimique ne diffère nullement; elles se déforment^ puis se repoussent comme des corps élastiques* iiMsqn'cUés ne sont plus séparées que par une mince couche du fluide qui les entoure, l'adhérence de ce fluide aux deux iphères,. dans certains cas, rend considérables les frottements de aes molécules, et cela suffit pour empêcher la réunion. QiMÉl à réhsticité, elle s'explique par la tendance à la forme sphéiifue due à la force contractile des couches superficielles.

La diffusion d'un fluide, et en particulier d'un liquide» ne s'eftesÊue p» toujours dans un autre fluide; elle peut se faire à la iBorface d'as liquide ou d'un solide, quelquefois même en sur-

montant la pesanteur. Prenons pour exemple un solide dont la surface -horizontale est à une hauteur h au-dessus de celle du liquide, un tube amorcé allant de Tune de ces surfaces à Tautre^ Si Ton suppoise que le liquide s'avance sur le solide et couvre une étendue o» d'une couche ayant pour épaisseur ^, un travail 2 (F' — F) (ù sera produit^ F désignant la force de réunion du liquide et F' celle du liquide avec le solide. Le travail contraire dû à la pesanteur a pour exprc^ion 8h<A\; la dissémination s'opérera donc si

2(F'— F)co>*AcdA, ou si l'on a

La hauteur d'élévation possible sera d'autant plus grande que la différence des forces de réunion F^ et F sera plus considérable. Elle dépendra en outre de ^ et croîtra quand le liquide, manquant de viscosité, pourra s'étendre en couche plus mince. On peut facilement faire monter de la sorte du naphte sur du verre à plus de 8 millimètres. Si la hauteur h est nulle sensiblement^ la condition (425) se réduit à

Elle s'applique au cas bien connu de certaines huiles s'étendant sur l'eau en couches très-minces qui apparaissent avec de brillantes couleurs.

Un éminent chimiste^ H. Chevreuil a constaté qu'un liquide qui mouille un solide peut quelquefois être déplacé par un autre liquide; c'est ce qui arrive^ par exemple, si Ton met en contact avec l'eau du kaolin imbibé d'huile ou en contact avec rhuile de la céruse imbibée d'eau. Ce genre de phénomènes s'explique encore par les forces de réunion.

Au lieu de poussière, considérons, pour plus de facilité^ une lame solide de surface S mouillée d'un liquide ayant pour force

de réunion F, et avec lequel sa force de réunion est F^ Supposons-la plongée dans un autre liquide de force de réunion Fi; et qui a d'ailleurs F^i pour force de réunion avec la lame et F^t pour force de réunion avec le premier liquide. Concevons que ce premier liquide soit déplacé et évaluons les travaux perdus et gagnés.

La lame du premier liquide^ d'épaisseur très-faible et de surface totale 2 S, se sépare du solide dans une étendue S et da second liquide dans une même étendue; cela exige une dépense

de travail

En même temps, si Ton a la relation F-hFi > 2 F^ , elle prend

à peu près la forme d'une sphère de surface négligeable, ce qui

fait gagner un travail

2FS.

Enfin la réunion de la lame avec le second liquide, dont la surface ne change pas sensiblement, donne un travail

Le déplacement effectif a lieu si le travail produit remporte sur le travail dépensé, c'est-à-dire lorsque se trouve satisfaite la relation

(427) F-t-F,>F-t-FV

Les calculs qui précèdent suffisent pour bien montrer la marche à suivre dans l'application qu'on peut faire du théorème fondamental à des questions de capillarité très- variées. Dans ce qui suit^ je supprimerai quelquefois des détails que le

lecteur rétabUra sans peine; il distinguera toujours aisément aussi les cas où le passage de l'expression du travail à celle de la force est légitime.

Tendance d'un liquide à passer à la surface d^un mélange dont il fait partie. — Il est facile de calculer la condition pour que deux liquides étant mêlés, l'un d'entre eux tende, abstrac-

ACTIONS MOLÉGULAIUES (SUITE). 377

tion faite des différences de densité, à passera la surface. Dans nos expériences sur de l'eau chargée d'une faible quantité de savon; nous en avons donné un exemple remarquable. Sa force de réunion^ obtenue par les pesées ou bien par nos appareils à mesurer la tension dans l'intérieur des bulles^ était F =2,733; mais, ayant étudié ce liquide au moyen de Fappareil représenté fig.33, p. 284, la valeur de F s'est montrée la même que pour l'eau pure, dont il différait très-peu par sa composition chimique moyenne. Les diamètres des ouvertures étant tou-

2F jours les mêmes, on trouve, pour valeurs de — •

ou

suivant que l'on adopte pour F la valeur 7,5, relative à l'eau, ou celle que l'aréomètre a fournie pour l'eau de savon. Je conserverai les mêmes notations et la même disposition dans les tableaux qu'aux pages 285 et suivantes; voici nos résultats et les lignes qui les représentent :

hi

3ii

3ol

looi

378 ounnia-

Fi(. U. Fig. es.

Les lois relatives aux forces de réunion qui ont été prourées dans ce chapitre monb^ut clairement que ces quantités dé-

ACTIONS MOLÉCULAIRES (SDITE). 379

pendent de la nature chimique des corps et que le groupement moléculaire n'influe en aucune manière sur leurs valeurs, qui peuvent être calculées au moyen de la composition centésimale et sont les mêmes pour les substances isomères. Toutefois cela suppose les éléments uniformément distribués et non placés ça et là sous forme de particules^ dont les dimensions ne seraient point très-petites par rapport a e. 11 en résulte qu'une dissolution de — =- de savon dans Teau doit avoir, en supposant Tho**

mogénéité, à fort peu près la même force de réunion y^S que Teau pure. Les résultats des expériences qu'on vient de lire n'ont donc rien de surprenant. Ils viennent confirmer l'explication que j'avais donnée de la petitesse du nombre F == 2^733 trouvé par les méthodes statiques^ à cause de la tendance de Tune au moins des substances produites par la réaction du savon et de l'eau, à se porter à la surface. L'écoulement rapide ne permet point à ce triage de s'opérer, et la véritable valeur de F se trouve mise en évidence.

Diffusion de Valcool dans Vedu. — La condition (420) a été obtenue en considérant des particules liquides de dimensions supérieures à e; elle est relative à ce qu'on peut appeler la diffusion capillaire. Lorsqu'elle n'est point satisfaite, on n'est pas en droit pour cela d'affirmer que les liquides considérés ne peuvent se dissoudre mutuellement; caria diffusion peut s'opérer de manière à ce q^e les^ parties qui s'étendent et se disséminent aient des dimensioi^s moindres que e ; elles obéissent alors à des forces analogues aux forces de réunion , mais de valeurs încoAnues : c'est la diffnsion à un plus haut degré ou suprarcapUlaire. Il en est ainsi pour l'eau et l'alcool que nous av<xi8 étudiés d'une manière plus particulière. On a, pour ces deux substances^

F==7,5, F^=2,47i, F+Fj=9.97i-

Pour obtenir F' = f Aà», il faut remarquer d'abord que f est la force de réunion de Teau et de Talcool ramenés à la densité I. L'eau contient de l'hydrogène ayant pour densité i et

de l'oxygène de densité -,ralcoolcontientderhydrogène, de

Foxygène et du carbone dont les densités sont -5» -5» -5. H en résulte qu'on a

OU, en réduisant et substituant les valeurs numériques précédemment trouvées,

et par suite

(428) 2F = 7,83<F-hF,.

La diffusion capillaire serait donc impossible si Ton avait la certitude qu'une seconde approximation ne viendrait pas modifier les trois nombres qui précèdent et surtout F'.

La première approximation rend probable que les particules de Tun des deux liquides au moins ne possèdent plus, après le mélange, que des dimensions inférieures àe; mais, en admettant cela et supposant les chiffres exacts, on aurait tort d'en conclure que ces dimensions sont négligeables par rapport à e, et, dans l'exemple actuel, le contraire serait vrai. Nous avons pu nous en assurer en déterminant, au moyen de raréomètre et de l'ascension dans les tubes capillaires, les forces de réunion de mélanges d'eau et d'alcool en proportions variées et en les calculant d'autre part dans l'hypothèse de l'homogénéité àTaide des

forces de réunion fournies par Fétude des composés d'oxy gène^ bydrc^ne et carbone. Voici nos résultats et une fifçnre qui les représente :

TKMPé^lA- TURES.

POIDS D* ALCOOL pour 100

de mélange.

i calculé.

\ obserré.

DIFFÉRENCE relaUre.

ao

4/ïi

Fig. 67.

L'inspection du tableau et de la /îj. 67 montre clairement que

la dissolution d'alcool dans Teau constitueun mâaiige qui n'est pas assez intime pour que les dimensions des particules soient très-petites par rapport à e : il en est ainsi au moins dans la couche superficielle, puisque les forces de réunion calculées surpassent notablement les forces de réunion observées, ce qui ne pourrait a^oir lieu dans l'hypothèse.

Endosmose. — Si l'on remplit totalement d'alcool un petit ballon et qu'ensuite on ferme son ouverture par un morceau de vessie solidement ficelée, puis qu'on le fasse séjourner dans de Teau, on voit la vessie prendre une forme convexe qui montre qu'une certaine quantité de ce^liquide a passé dans le ballon. Cette expérience est ancienne ; mais c'est à M. Dutrochet que la science doit la première étude sérieuse des phénomènes auxquels il a donné le nom d'endosmose. On peut en essayer l'explication en considérant ce qui se passe dans l'un des pores de la membrane assimilé à un tube de peu de longueur et de trèspetit diamètre; la fig. 68 représente un appareil dans lequel

Fi9. 68.

nous avons imité cette disposition. Un premier réservoir Â, à grande section, contient un liquide que je désignerai par la même lettre ; un autre liquide Â^ remplit partiellement un second réservoir ; ils s'avancent l'un et l'autre dans un très-petil tube de rayon r jusqu'en B où ils se touchent. En général, les forces de réunion exigent, pour qu'il y ait équilibre en B, des pressions inégales que je vais calculer. Soient

h et h^ les hauteurs des colonnes, de densité A, A^, des liquides A, Ai, qui exercent leurs pressions en B,

ACTIONS HÔLéGULAinS (SUITR). 383

F et F^ leurs forces de réunion^

F^ la force de réunion de A avec A^,

F\ celle de A avec la paroi solide A« du tube,

F\ celjp de A^ avec A,.

Supposons un mouvement infiniinent petit (o^ vers A, de la surface B suivant laquelle les deux liquides coïncident, et évaluons les travaux positifs et négatifs accomplis pendant ce mouvement :

i"* Le liquide A^ exerce une pression irr'A^fti qui produit un travail 7rr« Al ftiw;

2® Le liquide A donne de même te travail — im A A&> ;

3"* La surface du liquide Accroît de2irr(o, ce qui, d'après le théorème fondamental, donne pour valeur du travail —2 xr &>F^ ;

4"" En supposant d'abord le solide non mouillé, la surface de contact de Ai avec A, augmente de la même quantité^ et de cette réunion résulte un travail 4^^<>>F^,;

5"" Pour A les deux quantités analogues sont 2xr(oF et — Tzr(ù¥\. Si la somme des travaux positifs l'emporte sur celle des travaux négatifs^ c'est-à-dire si Ton a (429) r\h, + 2¥+4F\>rMi + 2¥,+4V\,

le mouvement vers le réservoir A se produira de lui-même. 11 aura lieu vers A^ si l'inégalité est de sens contraire^ et, enfin^ F^alité est la condition nécessaire et suffisante pour qu'il y ait équilibre.

Quand le tube de communication est d'avance mouillé dans toute son étendue par le liquide A^ le calcul précédent est encore applicable pourvu qu'on remi^ce F', par F' et F^ par F. Alors on a, pour condition du mouvement vers A,

t43o) Aift,— AA>^(F + F,— 2FO;

pour condition du mouvement vers À.,

(43i) AA— Aft <?(F+F,— 2FO;

et pour condition d'équilibre

(432) A,ft,-lft=?(F + F,-2F/).

Nous avons pris pour objets d'une série d'expérîenceB, de l'eau placée en Ai et de Talcool purifié par M. Lechartier et placé en A. Le diamètre du tube de verre était 0,48; c'est-à-dire qa*on avait r=o,24.

Pour faire une expérience, on versait de l'alcool dans le réservoir A, et lorsque le tube, d'abord bien desséché, se trouvait plein, on arrêtait l'écoulement par la fermeture du robinet R. On débouchait ensuite une petite ouverture située en 0 et Ton absorbait un peu d'alcool avec du papier buvard, puis on refermait. Par là, on donnait lieu à l'entrée d'un index d'air dans la partie extrême du tube située dans le réservoir A^, qui recevait alors sa charge d'eau. En donnant issue, avec beaucoup de précaution, à une nouvelle quantité d'alcool par rouverture 0, on amenait l'index en B, et, tout aussitôt après, on fermait en 0, puis on ouvrait le robinet pour voir le sens du mouvement avec les charges d'alcool et d'eau employées. La bulle d'air est indispensable pour empêcher le mélange rapide par diffusion et pour rendre visible la limite de séparation ; il est évident d'ailleurs que sa présence n'influe pas sur les travaux produits. Elle n'empêche pas la couche d'alcool adhérente au verre, de se mêler peu à peu à Teau, et voilà pourquoi l'expérience doit être effectuée rapidement. Nous avions d'abord préparé un petit cathétomètre pour mesurer h et ft^, mais les frottements ne permettent pas une approximation assez grande pour que cet instrument soit utile dans celte circonstance. Nous avons trouvé, après des expériences assez nombreuses faites à la température de 17 degrés, que l'équilibre avait lieu avec

ft=44,5 et h^ = iQ.

En augmentant et diminuant la hauteur de l'alcool de Sffiil-

ACTIONS MOLÉCULAIRES (SUITB). 385

limètres^ on obtient dans des sens contraires des mouvements décidés et des vitesses à peu près égales ; de sorte qu'en supposant Ai=i99 l'erreur sur h nous a paru moindre que i à 2. Si l'on tient compte de la température on a

A = 0,8006 et A, = 0,99879;

la valeur du premier membre de Téquation (4i4) est donc

— 16, 65, et l'on conclut

Ce résultat diffère, même par le signe, de celui qui a été trouvé à la page 38o; plusieurs causes peuvent produire cet écart considérable qui peut tenir :

1° Aux erreurs sur F, Fi et surtout F^ ;

20 Aux erreurs sur A et Aj provenant de ce que, vers la surface commune aux deux liquides, les pressions dues aux attractions au contact ne sont point les mêmes qu'en pleine matière ;

3^ Enfin à ce que la couche d'alcool adhérente au verre peut ne point rester intacte, comme il a été supposé dans le calcul,

lorsque l'eau s'avance.

On peut d'ailleurs refuser d'admettre Tassimilation du phénomène capillaire qui vient d'être étudié en détail, à ce qui se passe, pendant l'endosmose, dans l'un des pores de la membrane ; d'abord parce que le diamètre du tube qui nous a servi est beaucoup plus grand que celui des pores. On peut objecter aussi que la bulle d'air qui sépare l'eau et l'alcool empêche la diffusion et change tout à fait les circonstances. Lorsque la diffusion capillaire s'effectue, chaque partie, A par exemple, du premier liquide A A^ A'' {fig. 69), s'avance dans le second liquide

parce que, vers les parties saillantes telles que c, la pression

normale tire en dehors puisqu'on a F •+- F^ — 2 F^ < o. En même temps les parties saillantes du second liquide s'avancent dans le premier. Mais il n'est point supposable que les résistances au mouvement soient exactement les mêmes de part et d'autre^ et Ton doit admettre que Fun des liquides marchera plus vite que l'autre ; par suite, son épaisseur décroîtra plus rapidement^ ce qui rendra la courbure en C plus grande et fera croître^ par conséquent^ de plus en plus la différence des vitesses. Dans la diffusion supra- capillaire, il faut remplacer F, Fi, F' par des forces qui n'ont pas les mêmes valeurs ; mais cela ne change point les conséquences. On est conduit de la sorte à admettre^ dans chaque pore de la cloison^ des diffusions simultanées de sens contraires et s'effecluant avec des vitesses qui peuvent être fort inégales ; rien ne paraît s'opposer à ce que l'on considère l'endosmose comme un cas particulier de la diffusion, car on sait depuis longtemps que les deux liquides traversent simultanément la cloison en quantités ordinairement très-différentes.

Équilibre d'une lame dans un liquide qui ne la mouille point — Considérons une lame verticale d'épaisseur ^, de périmètre p, en comptant les deux faces et de hauteur indéfinie. On l'enfonce à une profondeur h au-dessous de la surface prinfiitive d'un liquide contenu dans un vase de périmètre intérieur P. Le liquide ne mouille ni la lame ni le vase; sa force de réunion avec lui-même est F; avec la lame et avec le vase, elle est F^ et F\. Cherchons la force q qui peut maintenir la lame en équilibre^ abstraction faite de son poids. En ajoutant des forces infiniment petites^ produisons un nouvel enfoncement dh et énunlérons les travaux effectués.

1" Le travail dû à la force q est

qdh.

20 Un volume de liquide p8.dh est soulevé jusqu'à la sur-

face nouvelle distante de

K désignant le rapport de la section de la lame à la section s du Tase^ et v le Tolume abaissé au-dessous du plan général de la surface autour de la lame. A étant la densité du liquide^ le travail dû à la pesanteur a pour expression

ApÂ. h^dh.

Z"" La surface de la lame recouverte pendant le mouvement surpasse p dA, puisque le niveau s'exhausse; elle a pour valeur

- — rr et le travail de réunion égale 2W -^ — 77. Mais la sur- I — K ° I — K

face du liquide s'accroît de la même quantité^ ce qui donne un travail de séparation F ^ ; en définitive on a

4*> Au bord intérieur du vase , une nouvelle surface

PK

=r dh est couverte, ce qui donne encore un travail de réu-

1 — fk

nion et un travail de séparation ayant pour somme algébrique

La somme totale des travaux devant être nulle, en ayant égard à leurs signes, on arrive à la' formule

(434) q =p (F— 2FO + A p . ^ . A^

Lorsque la section du vase est immense, K devient négligeable

et il reste

(435) q=p (F-2F') + Ap S. h^.

Le troisième terme de cette valeur de q est la poussée hydrostatique; le second 2pF^ est la force de réunion du solide aiec le liquide. Le premier, pY^ représente la poussée de bas en haut, exercée sur la base de la lame par la force de contraction du liquide. Oh peut prouver analytiquement que telle est sa valeur, quelle que soit la forme de la surface qui termine inférieurement la lame. Pour abréger, je considérerai seulement le cas où, entre deux plans verticaux infiniment voisins et perpendiculaires à la lame, cette surface peut être supposée cylindrique. Soit 6 la dislance de ces deux 'sections; la pression sur un rectangle compris entre elles et ayant pour seconde

1?fi/?e

dimension ds est • Si Ton prend la verticale pour axe

des y, cette pression a pour composante parallèle à cet axe

Ybdy^

Pour avoir la poussée totale exercée de bas en haut par la couche liquide contractile sur la base de la lame, il faut intégrer

depuis y^= — qo jusqu'à y' = -|-oo, puis multiplier par t»

ce qui donne bien pF, quelles que soient d'ailleurs l'épaisseur de la lame et la courbe de raccord.

En mettant à part la poussée hydrostatique, on voit que la force de réunion est, par unité de longueur, dans ces circonstances,

elle se réduit bien à F toutes les fois que Ton a F^=F, ce qui renferme le cas où la lame est mouillée d'une couche assez épaisse pour empêcher son action directe. Dans h^ le volume abaissé peut souvent; avec une approxi-

mation suffisante, êlre remplacé par

et cela donne

"~i — K^ As(i-K)"

Lorsque le liquide mouille la lame et la paroi intérieure du vase, on a F'^ F', = F, et la formule se simplifle; elle devient

(437) 9=-PF+[ap^A-|^-KF(P+p)]^.

Si, dans certaines expériences, on cherche comme on l'a vu page 247, à rendre nulle la hauteur h, il reste

-''=4p+Âi(fcnr)+T^K(ï*-^-P^]'

et, pour q, l'expression de Terreur est

h^ désignant Terreur d'affleurement.

D'après ce que je viens de dire sur l'équilibre d'une lame non mouillée, il semble tout aussi facile d'obtenir (435) la valeur de 2F^ — F au moyen des pesées, que d'obtenir celle de F quand le liquide mouille la lame; on peut, par exemple, trouver 2F/— F pour le platine plongeant dans le mercure, et même en déduire, par un calcul fort simple, la valeur de F^ Mais Tadhérence de Tair qu'il est très-difficile de chasser complètement, même dans le vide, et l'imperfection du poli qui empêche le contact complet du solide et du liquide, constituent des causes d'erreurs qui nous ont empêché de faire une série d'expériences de ce genre, malgré son importance. On peut appliquer les formules relatives au cas où le liquide ne mouille pas la lame à celui où leur action mutuelle est rendue

négligeable par Tinterposition d'une couche d'air d*épaisseur suffisante; il suffit pour cela de faire dans ces formules F^=o. Ascension d'un liquide dans un tube non mouillé. — Soit que Ton considère les forces de réunion et de séparation^ ou bien qu'on envisage les travaux élémentaires en partant de l'état d'équilibre, les questions de capillarité les plus diverses se résolvent presque toujours très-facilement au moyen des méthodes déjà souvent appliquées ; nous ajouterons cependant quelques mots encore sur l'ascension dans un tube capillaire ou entre deux lames, dans le cas où le liquide ne mouille point. Pour abréger^ je supposerai le diamètre du tube très-petit^ quoique la recherche du poids soulevé dans le cas général n'offre aucune difficulté. L'équilibre existant, soit h la hauteur au-dessus du niveau dans le vase de très-grand diamètre où plonge le tube vertical; soient F et F' les forces de réunion du liquide avec lui-même et avec la paroi. Si l'on conçoit une ascension nouvelle infiniment petite dh, la somme des travaux élémentaires sera nulle; or celui qui est dû à la pesanteur a pour expression TuAr^/idft, A désignant la densité du liquide. La surface du liquide s'accroît de 2'7rrdft, ce qui correspond à un travail 2'Kr¥dh, et la surface de contact du liquide et du tube s'accroît de la même quantité^ ce qui entraîne la production d'un travail ^izrY^dh. En tenant compte des signes et opérant les réductions^ on a donc

(439) \rhz=2(2p—¥).

Si une couche d'air d'épaisseur plus grande que le rayon de la sphère d'attraction sensible adhère à la surface du tube , on peut faire F^ = o^ car cette quantité est négligeable^ et il reste

(440) Ar^=—2F.

La hauteur est négative; à cela près sa valeur est la même que dans le cas d'un tube mouillé.

AaiOKS HOLÈCDLAIMS (SUITE). 391

Ascension tfun liquide entre deux lames non momUêes. — Le cas général se résoat sans peine par la considération des travaux élémentaires ; supposons cependant, pour abr^er, que le vase a de très-grandes dimensions, et dans le but de présenter des exemples de l'emploi de chaque méthode, considérons ici les forces de réunion. Désignons par r la dislaace des deux lames et conservons d'ailleurs les notations qui précèdent. 11 suffit évidemment d'envisager, pouroblenirlacondition d'équilibre, ce qui existe entre deux plans perpendiculaires aux lames et distants l'un de l'autre de i millimètre. Les forces qui tendent (fig. 70) à soulever auprès de la première lame sont F' en A,

et encore F' provenant de l'acOon de B sur D; mais l'action do E sur G tend à abaisser et sa valeur est F. Des forces égales existent pour la seconde lame, et le poids du liquide soulevé et tenu en équilibre par ces diverses forces, a conséquemment pour expression

quelle que soit la distance des deux lames, et sans qu'il y ait lieu à exiger que le ménisque soit négligeable. Si les lames étaient habillées d'air, il faudrait feireF'=o, et l'on aurait la valeur du poids abaissé. Le liqiùde est soulevé ou abaissé suivant que 2F' surpasse F ou lui est inférieur. Les lames lussent le liquide partout horizontal et au même niveau si l'on a 2F'=F.

392 CBAPITRE m.

Dans le cas où les lames sont assez rapprochées pour que le poids du ménisque soit négligeable^ on peut égaler FexpressioD précédente du poids soulcTé au produit du Tolnme rA parla densité, et Ton obtient la formule connue

(44i) ArA=2(2F^— F).

Le liquide s^élèye à la même hauteur entre deux lames et dans un tube dont le rayon égale la distance de ces deux lames. Cette proposition résulte immédiatement de la^comparaison des formules (439) et (440-

On passe au cas où les lames sont mouillées en faisant F^=: F et au cas où elles sont habillées d'air en faisant F^=o.

Angle de raccordement. — Lorsqu'un liquide ne mouille point un solide en contact avec lequel il se trouve, Tangle de raccordement peut prendre toutes sortes de valeurs déterminées dans chaque cas particulier par F' et F. Soit AA^ {fig, 71), un

élément de l'intersection de la surface AA^CC^ du sohde et de celle AA^BB^ du liquide. Menons en A et en A^ deux plans ABC, A^B^C' perpendiculaires à AA^ ; puis ajoutons aux forces existantes des forces inliniment petites par rapport à elles, et qui feront marcher le liquide de telle sorte que Télément AA^BB' de la surface libre deviendra CC^BB^. L'élément AA^ du périmètre sera remplacé par la ligne CC^ distante d'une quantité arbitraire que nous pouvons supposer du troisième ordre, afin que les rayons de courbure ne varient que de quantités négligeables. Opérons de même pour une portion finie du périmètre ou pour le périmètre entier, mais de manière à ce que nulle

part les faces ABC, A^B/C ne soient mises à nu, et de manière aussi à ne faire varier partout les rayons de courbures que de quantités infiniment petites, ce qui est évidemment possible. L'accroissement de surface du liquide est