AB — BC F — 2F

(442) cosi= — -^ — — — p — .

Cette expresssion a bien la même forme que celle qui a été trouvée par Laplace d'une manière peu satisfaisante, et que Gauss et M. Bertrand (Mémoire déjà cité, p. 280) ont justifiée depuis . Ma méthode offre l'avantage de faire connaître plus complètement la signification des constantes. On voit que Vangle de raccordement est constant et que l'on obtient son sinus verse en divisant le double de la force de réunion du liquide avec le solide, par la force de réunion du liquide avec lui-même.

394 CHAPiTu n.

Il peut se présenter plusieurs cas qu'il est utile d'éanmérer : 1" P, très-petit et négligeable par rapport à F, donne seosiblemral i=o;

29 F'<-donne9rf'>i>o»; :i" F'i=-dODnei=9o';

4» F>P> -donne i8o">i>9o*;

50 F— F'>o, mais négligeable parrapport à F, dwine sensiblement t = 180».

Au delà le liquide mouille, et il suffit d'ailleurs de lire attentivement la démonstration pour Toir qu'elle n'est plus applicable.

La relation (435) montre que , pour une lame verticale, la force résultante tend à abaisser dans le premier et le second cas, à soulever dans le quatrième et le cinquième, et qu'elle ne tend ni à soulever ni à abaisser dans le troisième.

Colonne liquide soutenue dam un tiibe isolé. -^ Considérons

Fig.7î.

maintenant un tube vertical {fig. -jd) dans lequel se trouve une

colonne liquide en équilibre^ ce qui exige évidemment qu'elle descende jusqu'au bas. Prenons^ pour plus de simplicité^ un cylindre de révolution et concevons un cylindre de même espèce et de même axe, mais de plus petit rayon; les deux bases> Fune concave A et l'autre convexe AïO, auront même périmètre 2%r, et si Ton continue à désigner par a l'angle de l'horizon avec la tangente à la méridienne, on aura la relation

(443) û = 27r r F (sin a + sin Oi),

qui exprime que le poids soutenu égale la résultante verticale des forces de contraction s'exerçaut sur les contours des deux bases; a est relatif à la base supérieure et ai à la base inférieure.

Si r croît jusqu'à la valeur R du rayon du tube, sin a devient le cosinus de Tangle de raccordement, et Ton a

(444) Û = 27rR (cos t -f- sin aj F.

Sin Oi étant moindre que l'unité, ou au plus égal à ce nombre^ on en conclut

(445) Û ^ 2'7rRF (i -f-cost)=4'^RF.

D'après ce qui précède, le poids soutenu lorsque l'une des extrémités du tube plonge dans le liquide est

(446) (y = 27rRFcosr,

une simple division conduit maintenant à l'équation donnée par H. Bertrand à lar page 2o5 de son Mémoire :

(447) Q/— V' = ^"^cost~2F/— F

(*) li peut arriver que les surfaces soient toutes deux convexes ; mais les légers changemeiits qui en résultent n'embarrasseront aucun lecteur.

Ce savant académicien arrive à l'inégalité par une méthode qui ne laisse pas bien voir si la limite peut être «itteinte; ici, au contraire, on voit qu'elle le sera dans le cas où le ménisque inférieur B touchera le cylindre, c'est-à-dire quand on aura a^=go degrés. Sur le périmètre du ménisque supérieur, a est constant et égal à i; en bas^ il n^en est point ainsi, parce qaela base du tube de verre et sa surface interne se coupent sous un angle fini et lîe présentent pas cette continuité que suppose la démonstration relative à Tangle de raccordement.

Lorsque ai = 90 degrés, le poids soutenu 4'^RF^ est maximum. Il est indépendant de F et déterminé exclusivement par la force de réunion du solide agissant sur le liquide. Pour un poids moindre donné, (444) fait connaître les valeurs de a„qui correspondent à deux figures d'équilibre différentes Ai etC; mais C est une'^flgure d'équilibre instable, car, si Ton imagine que le liquide remonte d'une très-pelite quantité, (x.^ croît, et, les forces soulevantes l'emportant sur le poids, Tascension continue jusqu'à ce quelafigure Ai aitété atteinte. Si Ton imagine^ au contraire, un léger abaissement, ai diminue et le liquide continue à descendre. Quand le poids est maximum, si Ton conçoit une légère ascension, (x,^ diminue, ce qui occasionne le retour à la fig. B ; mais une légère descente produite par une cause quelconque se continue d'elle-même, puisqu'elle occasionne aussi une diminution de ai. L'équilibre est donc stable dans un sens et instable dans l'autre, de sorte qu'il est physiquement impossible sans le secours des frottements. Toutefois, réquilibre étant stable avant qu'on atteigne le poids maximum, on peut approcher de plus en plus de cette limite, pourvu qu'on enlève tout l'air contenu entre le liquide et la paroi du tube ; avec le mercure, par exemple, il faudrait opérer un vide aussi parfait que possible, et l'on ne serait point encore certain qu'aucune quantité d'air ne serait retenue par adhérence.

Attractions et répulsions apparentes. — Les phénomènes

capillaires sont très- nombreux et très-variés, il est impossible Je les expliquer tous. Après la lecture de ce qui précède, Tétude théorique de la plupart d'entre eux est sans difficulté sérieuse, lien est ainsi, par exemple, pour les attractions et les répulsions capillaires apparentes au sujet desquelles je ne dirai que quelques mots relatifs à deux cas particuliers. Considérons ifiO' 74) deux lames métalliques amalj^amées, verticales, paral-

Fig. 74.

lèles et placées dans le vide. Elles plongent dans du mercure qui s'élève entre elles à une certaine hauteur. Pour une molécule quelconque M, il y a équilibre entre la pression p augmentée de Tattraction au contact A et la force expansiveP due à la chaleur, de sorte qu'on a

Un accroissement de pression diminue le volume et fait croître P, ce qui rétablit Téquilibre ; une diminution agit en sens contraire; A varie d'ailleurs en même temps un peu. Pour une molécule H^ située entre les deux lames, plus haut que le niveau extérieur, la force P est inférieure à A et la pression pest négative; cela tient à la pression capillaire normale de dedans en dehors produite par la force contractile de la couche superficielle qui termine le ménisque. 11 résulte de là une tendance des lames à se rapprocher ; chacune d'elle est tirée par le liquide

qui y adhère et la loi de celte action est facile à étaUir. Lorsque les angles de raccordement ne sont pas nuls comme dans le cas actuel^ il faut avoir égard aux forces contractâes; c'est pour n'ayoir pas connu leur existence que Fillustre auteur de la Mécanique céleste est arrivé à un théorème relatif aux attractions et répulsions capillaires apparentes qui n'est pas complètement exact 0* Comme exemple, je citerai une des circonstances dans lesquelles il n'est pas applicable. Une plaque métallique

Fig. 75.

amalgamée sur sa face ÂB [fig. 75) est immergée dans du mercure de manière que son bord AC se confond avec la surface NN^ La face CD^ au contraire^ n'est point mouillée par le liquide qui s'abaisse auprès d'elle jusqu'en D où seyoit un angle de raccordement i. D'après le théorème de Laplace il y a tendance au mouvement horizontal que je suppose rendu seul possible à l'aide d'organes mécaniques convenables, et la résultante des forces horizontales égale la pression hydrostatique sur AB, c'est-à-dire