PRINCIPE DE LEGALITE DE RENDEMENT
Concevons i kilogramme d'hydrogène très-dilalé et renfermé dans un corps de pompe ayant i mètre carré pour section^ et soit u le volume à la température t sous la pression p kilogrammes par mètre carré. On a, d'après les lois de Mariotte et
de Gay-Lussac,
/ ,0. pu io333
'"^^^ 274-f.r""274xi,293i8D""^'
1° L'état initial étant {u^, (,, p,), faisons passer sans chute dans cet hydrogène à <, degrés de la chaleur empruntée à un aulre kilogramme d'hydrogène à f, degrés, de manière à ce qu'ils échangent leurs températures; Tétat final est [u , t^, p^). Cela peut se faire au moyen d'une circulation extrêmement lente de l'une des masses gazeuses dans un tuyau à parois minces et bonnes conductrices, en même temps que l'autre masse gazeuse s'avance en sens contraire aussi avec lenteur entre la surface extérieure de ce tuyau et la surface intérieure d'un second tuyau concentrique et mauvais conducteur. Pendant celte opération, le volume de chaque masse gazeuse reste constant et, à cause de leur marche inverse, il existe sans cesse entre les parties contiguës une différence de température très-faible qui cause le refroidissement graduel de l'une et réchauffement simultané de l'autre. L'échange sans chute est une limite qui correspond à un temps infini; on ne peut le réaliser d'une manière absolue même en pensée; mais il suffit, pour la rigueur des raisonnements, qu'on puisse en approcher autant qu'on veut par une augmentation indéfinie du temps qui n'entre point dans le calcul. Des remarques analogues, que nous supprimerons pour abréger, servent de réponses à toutes les objections pratiques.
20 Rendons.au piston sa mobiUté et laissons-le marcher jusqu'à ce que le volume devienne w, > m, , mais très-lentement, ce qui est réglé par son mode de liaison avec le volant et en ayant soin de rendre sans cesse au gaz la chaleur qu'il perd en
38 CHAPITRE rv.
accomplissant le travail qu'on emmagasine dans le Tolant à l'état de force vive. Pour cela, on se sert d'un corps à t^ dont la masse est assez grande pour qu'on puisse supposer sa température invariable. La valeur élémentaire du travail du gaz pendant qu'il pousse le piston est pdu ou bien (43)
On en conclut que la chaleur EQ, perdue par le réservoir indéfini de chaleur à t^, ou le travail total emmagasiné à l'état de force vive dans le volant^ a pour expression
EQ,=a(274+^)log^|.
S"" Le volume demeurant constant^ opérons un nouvel échange de température entre Thydrogène de la machine et l'hydrogène accessoire^ qui^ revenant à son état primitif^ pourra servir de nouveau indéfiniment. La première et la troisième opération n'entraîneront ni perte ni gain et ne devront point entrer dans le compte final.
4* Enfin comprimons l'hydrogène du corps de pompe jusqu'à ce qu'il reprenne son volume primitif u, mais sans laisser sa température croître. Cela peut se faire au moyen d'un second corps immense à la température t^. Le travail dépensé par le volant équivaut à la chaleur reçue par ce réservoir à t^; ils ont pour valeur commune
EQ4 = a(274+(,)logîJ«.
Là se termine la période destinée à recommencer indéfiniment^ ce qui ne peut en aucune façon changer les rapports des quantités. Le travail gagné par le volant est E(Q, — QJ; il est moindre que l'équivalent EQ, de la chaleur à r, donnée à la machine par le réservoir ciiaud, et le rendement R, n'est autre
PIINCIPB DE L'iCALlTÉ DE HBNDKHENT.
àim que le rapport de ces deux quantités Q,-Q, t.-f.
La quantité de chaleur transformée en travail Q,— Q, est une dilTérence, c'est l'excès de la chaleur donnée à la machine par le réserroir à t, sur celle que la machine read au réservoir à 1,; celle-ci n'est pas transformée en travail, elle est seulement tramportée mécaniquement d'un corps à l'aulre. An point de vue absolu, rien n'est anéanti ; la somme des quantités de chaleur et de force vive n'a pas varié; mais une partie de la chaleur échappe ici au praticien qui n'en peut tirer parti pour l'industrie. Cette partie n'est pas d'ailleurs aa% importance, elle devient même très-considérable quand on emploie des températures (, et t^ très- voisines; c'est ce qu'on peut voir dans le tableau qui suit où l'on a supposé (, =o.
o,oo36
4,ûi
o,îo
3oo
o.oga
ID,l5
io
-.se
4qd
d.Sg
a.BÎ
Soo
oM
Ho
éo
oiaS
i.Si
Pour (,—(,= 10 avec (, = 0 00 ne peut transformer entral'aJl qae -s de la chaleur disponible. Mais, en revanche, si l'on
lait fonclionoer la machine en sens contraire en prenant, pour réservoir à I, l'eau d'un étang à o degré et pour réservoir à i, l'air d'un appartement à 10 degrés, avec 433,5 djnes, on fera
40 CHAPITRE lY.
gagner à cet air 28 calories. Il n'y a rien en cela de contraire au principe de l'équivalence, car le travail employé donne par sa transformation une seule calorie; les 27 autres sont seulement transportées de Teau froide à Tair. Ainsi la machine qui précède se montre, entre o degré et 10 degrés, très-désavantageuse lorsqu'on veut obtenir du travail, étant donnée de la chaleur, et Irès-avantageuse dans le cas contraire.
Au premier moment, il est naturel de soupçonner que l'exemple est mal choisi et qu'avec une autre machine la chaleur pourra être beaucoup mieux utilisée; mais nous verrons plus loin que toutes les machines qui sortent de la classe dont il s'agit donnent dans les mêmes circonstances un résultat plus défavorable encore, et que les machines qui rentrent dans cette classe donnent toutes exactement les mêmes résultats que celle qui vient d'être étudiée ; on les nomme machines parfaites, parce que, ainsi qu'on le verra, leur rendement est maximum. Déjà, dans l'emploi du gaz, le rendement (44) se montre à peu près indépendant de la nature chimique et de la pression, puisque la constante 274 est sensiblement applicable à tous les cas pour une première approximation. Le travail interne ayant été négligé, on ne peut d'ailleurs s'attendre à une vérification plus exacte.
Plusieurs démonstrations à priori ont été données du principe de l'égalité de rendement énoncé au commencement de ce chapitre, maison le présentait sous d'autres formes ; aucune de ces démonstrations ne me parait valable. Suivant moi, la seule manière de le rendre certain, c'est d'en déduire des conséquences nombreuses et variées en l'appliquant à des machines très-diverses ; puis de s^assurer de l'exactitude de ces conséquences par leur comparaison avec les résultats des expériences déjà faites ou par des vérifications ultérieures. Cette méthode me parait seule légitime; le monde matériel tel qu'il est doit son existence à un acte libre de la volonté du Créa-
PRiNGiPB DE l'Égalité de rendement. 41
leur; aucun raisonnement n'est capable de faire découvrir les lois fondamentales qui le régissent et qui ne sont pas les seules possibles.
Dans rétude des yérifications^ il est au moins fort difficile de préciser le point où naît la certitude et au-delà duquel les rai-
sonnements donnent des conséquences qui s'imposent; il n'y a aucun inconvénient d'ailleurs à montrer^ chaque fois que cela est possible, la concordance des résultats déduits des principes avec ceux que fournissent des expériences bien faites. Sous ce rapport un excès ne peut nuire, il ne peut même être inutile. Les vérifications rassemblées dans cet ouvrage sont évidemment plus que suffisantes, et dans l'état actuel de la théorie mécanique de la chaleur, on doit considérer comme certaines les conséquences bien déduites du principe de l'égalité de rendement, même celles qui n'ont pas été ou qui ne peuvent pas être vériQées. 11 serait naturel de les rejeter à la fin ; mais il est plus commode de demander au lecteur une confiance anticipée qui est sans danger puisqu'il reconnaîtra lui-même plus loin qu'elle est parfaitement bien fondée ^
Le second principe de la théorie mécanique de la chaleur a été découvert en 1824 par Sadi Carnot, puis développé plus tard avec quelques conséquences utiles dans un mémoire remarquable de M. Clapeyron. Mais il manquait à ces deux savants la connaissance du principe de l'équivalence , et ce n'est qu'après avoir été rectifiée et complétée par MM. Clausius et Rankine que la proposition de Carnot est devenue véritablement exacte. Depuis, on l'a présentée sous diverses formes qui
I. Les propriétés des fluides élastiques montrent que le second principe s'applique très-bien aux machines dans lesquelles les corps sont employés exclusivement à Tétat gazeux; ce principe conduit en outre aux lois que suivent les attractions à (rés-petites distances^ puis à celles qui régissent les tensions maximum, les chaleurs latentes, etc. ; c'est par centaines que l*on compte aujourd'hui les vérifications obtenues.
42 CHAPITRE lY.
laissaient à désirer, et M. Ciausius dit lui-même dans Tun de ses Mémoires : a Ce théorime reste enveloppé dans une forme abstraite sous laquelle il est difficilement accessible à Vintelligence, et l'on se sent forcé de chercher la vraie cause physique dont ce théorème est la conséquence. »
En changeant la manière de présenter ce principe et son énoncé^ j'ai eu précisément pour but d'en faire connaître le sens exacte de sorte que, dans les calculs nécessités par les applicationS; il n'y ait plus d'hésitations possibles sur le choix des quantités dont il faut tenir compte et sur le rôle qu'elles doivent jouer. C'est un avantage que ne présente point le théorème de Téquivalence des transformations de M. Ciausius ; avec le principe de l'égalité de rendement^ ce savant distingué n'eût certainement pas introduit dans les calculs les changements de désagrégation. D'ailleurs^ le seôond principe^ sous sa nouvelle forme^ s'applique aussi facilement à des questions de magnétisme ou d'électricité^ par exemple^ qu'à des questions relatives à la chaleur.
Avant de passer aux applications du principe de l'égalité de rendement^ nous allons en étudier quelques conséquences générales.
Equivalence des descentes sans chutes et des ascensions. — Quand on dispose d'une quantité de chaleur Q à la température t^ et d'un corps immense à ^<, < ^j, on peut toujours, d'après ce qui précède, obtenir, au moyen d'une machine parfaite, un travail EQ '7" ° ; mais en même temps une quan-
tité de chaleur que; nous représenterons par Q^ descend sans chute de t^ à f^, et cette quantité a pour valeur
Pour obtenir une ascension que nous appellerons équivalente, parce qu'elle la remplace sans qu'il y ait finalement du travail
PRiifciPB DR l'Égalité de rendement. 43
produit ou dépensé^ il faut concevoir une seconde machine fonctionnant entre deux températures t^o^^^\>^o choisies arbitrairement^ et en faire usage pour obtenir/à l'aide du travail
disponible Q ^7]\ * une quantité de chaleur Q'^ à l\. Le
rapport de ces deux dernières quantités est connu d'avance et détermine (y^; on a
ou bien, ea remplaçant Q par sa valeur précédente en fonction de Qi,
Ainsi^ pour que la descente sans chute de la température t^ à la température t^ d'une quantité de chaleur Q^ soit équivalente à Vascension de t\ à t\ d'une quantité de chaleur Q\y il est néce$saire et suffisant que l'on obtienne des produits égaux en multipliant ces quantités chacune par une fraction ayant pour numérateur la différence des températures et pour dénominateur le binôme de dilatation correspondant à la température la plus basse.
Il n'est pas plus difficile d'établir les conditions d'équivalence entre plusieurs descentes sans chutes et plusieurs ascendons ; on peut même les écrire de suite par analogie.
Rendement maximum. — Lorsqu'il existe une chute dans une machine fonctionnant entre les températures t^ et t^ > t^^ on peut toujours àl'aide de machines accessoires parfaites opérer la descente sans chute et élever en même temps une quantité de chaleur positive donnée par Féquation {4y), du réservoir à t^ au réservoir à t^. La machine principale utilisant ensuite cette chaleur^ le rendement se trouve accru et Ton sait de combien. On en conclut de suite que dans les machines périodiques^ seules utiles dans l'industrie^ pour avoir un rende-
ment maximum, il est nécessaire d'éviter les chutes. Le priii' cipe de Tégalité de rendement fait voir d'ailleurs que cette condition est suffisante puisque le choix de la machine devient indifférent. Ce même principe prouve que le rendement d'une machine parfaite fonctionnant entre f,et <j < t^ est le même que celui d'un assemblage de deux machines parfaites fonctionnant la première entre tieit^<ti, et la seconde entre /, et t, < li. Cela résulte de ce que cet assemblage de deux machines peut être considéré comme tine machine parfaite plus compliquée mais satisfaisant encore à la définition. On aperçoit facilement d'ailleurs Tidentité de l'équation
^^ ^ 2744-^3 274 4- ^ 274 + ^3 274 -Vf,
qui exprime que, pour chaque calorie^ le travail fourni par une machine fonctionnant entre t^ et t^ égale le travail fourni par une machine fonctionnant entre t, et t^, plus le travail que l'on obtientd'une machine fonctionnant entre t^ et t^^ à laquelle on donne le reste de la calorie non utilisé par la première machine. L'extension de cette remarque à plus de deux machines n'offre aucune difficulté.
Mouvement perpétuel. —On a beaucoup cherché des combinaisons d'organes mécaniques capables de fournir un travail continuelsans en recevoir aucun ou en recevant moins qu'elles ne rendent. Cette recherche est condamnée par le principe de l'équivalence; mais pour ceux qui n'étudient que ce principe^ sans y joindre celui de l'égalité de rendement, le mouvement perpétuel apparaît comme possible à Paide de la chaleur qu'une machine peut puiser en quantité indéfinie dans les corps qui l'environnent, tels que l'air atmosphérique, l'eau, etc. Toutefois, si l'on ne dispose que d'une quantité indéfinie de chaleur. d une ^eule température sans avoir la possibilité de faire descendre cette chaleur dans un corps plus froid, le principe de l'égalité de rendement montre encore le mouvement
PRINCIPE DE l'Égalité de rendement. 45
perpétuel compris de cette manière comme impossible. En effet, dans ce cas^ les températures U 6t t^^ entre lesquelles la machine est obligée de fonctionner^ deviennent égales^ et le
rendement maximum —S — V est nul : le résultat cherché ne
peut donc être atteint. La réciproque est vraie : si le mouvement perpétuel est impossible, le principe de l'égalité de rendement a lieu; car, dansTliypothèse de rendements inégaux pour deux machines thermiques sans chute, périodiques et réversibles fonctionnant entre les températures ti et t^. Tune serait plus avantageuse pour fournir de la chaleur, étant donné du travail; on pourrait l'employer dans ce sens, et la chaleur à /g, fournie par elle, rendrait au moyen de l'autre machine un travail supérieur à celui qui aurait été dépensé d'abord, c'est-àdire que, contrairement à l'hypothèse, on arriverait au mouvement perpétuel avec de la chaleur à une seule température.
46 CHAPITRB T.
Équations géBérales.
Lorsqu'on prend i kilogramme d'un corps quelconque homogène, ayant pour volume u à la température t et sous la pression p kilogrammes par mètre carré , il arrive généralement que son état est déterminé par deux de ces trois quantités^ de sorte qu'il existe entre elles une relation
(49) P=r(Wi,0.
et toutes les fois que les variables u^yt reviennent aux mêmes valeurs^ il en est de même pour p. Nous allons considérer exclusivement les cas où il en est ainsi^ écartant ceux où une altération chimique survient, ou bien une altération physique permanente^ telle qu'une cristallisation par exemple. Les formules obtenues seront presque toujours applicables aux liquides et aux gaz ; on devra souvent au contraire les appliquer avec défiance aux solides^ qui^ après avoir subi des actions mécaniqueS; ne reviennent pas toujours identiquement à leur état primitif lorsque les forces cessent d'agir^ et dans lesquels d'ailleurs la pression n'est pas toujours la même partout et dans tous les sens.
u et t étant donnés^ cela suffit pour caractériser l'état du corps, et tout ce qui s'y rapporte est déterminé ; nous pouvons donc représenter par <p(w,f)-^(p(Ui,<j) le travail interne accompli pendant le passage de l'état {Ui,t^) à Tétat (ti,<).
Cela posé, considérons un assemblage de machines thermiques parfaites, liées par un communicateur convenable avec un volant animé d'une grande force vive et disposées de manière à pouvoir, les unes donner de la chaleur quand on leur
ÉQUATIONS GÉNÉRALES. i7
fournit du travail, et les autres du travail quand on leur fournit de la chaleur ; supposons que la plus basse des deux températures entre lesquelles elles fonctionnent soit la même pour toutes et désignons-la par t^. Le corps de pompe de Tune d'entre elles contient i kilogramme du corps qu'on veut étudier^ il est d'abord à l'état {u^,t^), et la pression p^ est la même dans tous les sens. La chaleur à t^ est fournie ou absorbée par un réservoir supposé immense.
10 Chauffons à volume constant jusqu'à la température (, au moyen de quantités de chaleur élémentaires capables d'élever la température et d'équivaloir au travail interne , elles ont pour expression
et leur production par les machines accessoires fait perdre au volant une force vive ayant pour valeur élémentaire
Dans l'étude d'une première machine ^ nous avons trouvé
R = T * /» cette valeur est au moins approchée. Ici nous 274 -h r
considérerons d'abord R comme une fonction inconnue de ( et tj qu'on sait être la même pour toutes les machines parfaites.
Le réservoir à t^ fournit la chaleur transportée mécaniquement
2» Comprimons à température constante t^ pour atteindre l'état (Uj,(j), w, < 11, étant arbitraire et indépendant de t^ ; dé-
en tout
signons par R, ce que devient R quand on y change t en (,• A chaque instant la machine principale fait perdre au volant, un travail —f(u,Qdu qui se transforme en chaleur^ et cette chaleur équivalente est utilisée par les machines accessoires
ainsi que celle ]}' * du qui provient du travail interne-
Le volant reçoit
et sa perte finale est
(52) -fl\n^>h) (I - R.) du -+- J[* ^^^R,du.
Le réservoir à t^ reçoit la chaleur déplacée mécaniquement
3*" Refroidissons à volume constant u,. La chaleur utilisée aU moyen des machines accessoires a pour expression
le volant reçoit
,54, ^ f-'ic+'^y,,
et le réservoir à ^j
4» Dilatons pour revenir à Tétat u^t^ en maintenant la température constante au moyen du réservoir de chaleur à ^^ ; le volant reçoit
(56) r'f{u,Qdu,
et le réservoir à (j donne
Conclusion. — La période étant complète , la somme algébrique des gains du volant (5o), (52), (54), (56) doit être nulle d'après le principe de l'égalité de rendement et^ d'après le principe de Téquivalence^ on en conclut ensuite qu'il doit en être de même pour la somme algébrique des gains (51), (53)^ (55), (07) du réservoir de chaleur à t^. Cela fournît deux équaiioDs dont la somme est une identité^ ce qu^on pouvait prévoir puisque dans tous les détails de calcul on a fait usage du principe de Téquivalence. Voici la formule seule distincte à laquelle on arrive
J ui du
^etUg étant arbitraires et indépendants, on peut les remplacer par t et u, puis diflférentier par rapport à (, onjrouve en remplaçant (49) /'(M,Oparp
(59) ^(u,t}^<f{u,,t)=^^ p^^^du -fljdu.
Si maintenant on différence par rapport à u, il vient
(60) d(p(ti,0 i~RJp
^ du — W dt P'
^tte dernière équation prouve que la fraction 71 ne consent pas t^; on peut donc poser en nommant ^(t) une fonction inconnue de t,
I — R~y(0 el l'intégration donne
^1 et ^j^ ne sont d'ailleurs pas deux fonctions différentes ; il est facile de le faire voir en concevant qu'on utilise une calorie
provenant d'une source à la température f^ d'abord au mojen d'une machine fonctionnant entre (, et ^i < ^ ; puis au moyen d'ime machine composée formée i» d'une partie qui reçoit la calorie et fonctionne entre l, et une température (, intertnédiaire entre f^ et l|; â« d'une seconde partie qui reçoit et utilise la chaleur non convertie en travail et seulement transportée du réservoir a l, au réservoir à f ,. D*après le principe de Tégalité de rendement» le travail obtenu dans les deux cas est Le même et il en résulte Féquation
qui donne après réduction Mii$i I — R est de U fanne
^ vil I
Ia fonction i qai reste :$^mle ici ne peut évidemment être déleno^i^v^ ^)^jq[MK^ li définiliiMi des tempentaies ; comme il s^ eto <l)t p]u$ Kâut. pCHir o^ler «Mite difSaillê, doik ne nous serxiivitts pôixit des lieni}<iénitai>es ik^ohies ocMmue on la souvent fjùa 4m<^ là tii;>me nx^cjœi^ue de la -duAeiir sus 1^ préciser $1) Cfegiixmdea^ X<M2$ <x^^ ic«» ^»nérale'
!mtQOt «n ^i<;]|^ <<^ l)^^eannp}ùia>ozts |)C«Br it détamiititiQn des 4i^Qtn$ Vonijidniitfiir^ k^ foi^Ms^ tdbeâfiies ifoe firawl nn gai ^ xvàimir ^^^vKKMAwr tdt dut$ Icfndt k travjol imenne dépend du
à t donne, en tenant compte de la valeur trouvée pour
On en conclut
et, en désignant les constantes par A et BA,
La forme de la fonction ^{t) étant connue, l'équation (60) devient, en lui conservant toute sa généralité et en nommant T le , Unôme de dilatation B -f- f ,
(64) dspt)^^dp
du dt ^
Si on la différentie par rapport à t, on trouve pour tous les corps dans lesquels le travail interne dépend du volume seul^
la relation
^ dt^ '
d'où Ton conclut que Jj est fonction du volume seul, ce qui
conduit à la loi suivante :
Dans toutes les substances de cette classe^ considérées à volume constant, les variations de force élastique sont proportionnelles aux variations de température et réciproquement imnd cette loi se manifeste pour une substance, le travail in- ^^rne dépend du volume seul.
On peut donc les employer indifféremment pour la construction du thermomètre ; mais en pratique il serait au moins très-difficile d'utiliser les liquides en les empêchant de se dilater comme l'exige la définition.
Maintenant qne la forme de la fonction R est connue^ il
Wffsk, MPC i^ ran-^sim: TiapaûDt !38 |HHriB.snpiiiBr.Sifli iiUc^tt*: itiT fiafllitt ît fnoiier ilerDK éel aeciHd iBeudiid iMtt|iM«ftt:»uto: k ttsmic lennt. te qoudiÉsSBiBiiîqa»- »»&: (iL|p»n«Q»uiif:flnFMC'tDii:fBrT auS — t, «t^nNiper otffi^ «$: vvsmissi rnsnàÊtt ket tennâF qui oHiiieflBBnt 1g, i
ÂAM t, 11 tdiifaiil ifttini daiK iir fiecand mendiR. oniai coodot <iu'ii n «als^ i|u'tai apiisiFBiice daiK ]£ ifremier qui, aa fond, ^juuiksai yauh&ta^aai k -tsl «,■ L «si ^Trident d'ailkans qat ces tju«rfilti«K «iiif«iii ffe ia niéiiieiiiuiièReîiiesonlpiûntiDâé^ ih: MTlç que le firtsuûer loeiiilire est 1& différence d'âne foociifW ik u$ et if une ittDdHUi de «. ; on i donc, en inqitopBt
V4i l^it^^ tm <>uo^>dérafit ks deux denûez^ lenDes canne oodi^'tiu^ Âtfi}Ai(eikwieiil dans odni qm les }irêobie,
Si 4« fimmtm ensuite |ar lapport à v, et vi oomme par raV
IXlk féiUàiicm pluf simple et plus élégante équivaut à la f^^ $nuUi i%H). Différentiée par rapport à /, elle donne
Si on la différentie de nouveau^ mais par rapport à u, on rctrouYe (64). Si on la différentie au contraire une seconde fois par rapport à t, il vient
Il est facile d'obtenir une autre expression de la dérivée du travail interne par rapport à la température en faisant usage de la chaleur spécifique à pression constante c^ qui se compose de trois parties énumérées au commencement du chapitre Iroisième. On trouve
(69) ECdt = Ecdt + pdu + ^J^du + ^^dl;
mais, la pression devant demeurer constante, cette relation n'est acceptable qu'autant qu'on y introduit celte restriction en faisant
6t éliminant du, ce qui donne
/dp
[du] Mors la relation cherchée s'obtient en substituant (64) la va-
leur de ^^ du
/dp\i
\du) Si on élimine %^ entre (68}*et (71), on trouve
\du)
^ CHAPITRE y.
La capacité à pression constante serait indépendante du vo' lume si Fon avait
Afin de rendre plus faciles certaines applications numériques, il est bon d'introduire, au lieu des dérivées partielles de la pression^ les coefGcients de dilatation et de compressibiliié. Si on appelle a' la limite du rap))ort de Taccroissement de l'unité de volume sous pression constante à Taccroissement de température et ^ la limite à température constante du rapport de la diminution de Tunité de volume à Taccroissement de pression exprimé en atmosphères^ on a .
, -w, dp , io333
<75) 5£ + -pir=«'
et par suite
dp io333a^
dt" ~p •
En substituant ces valeurs dans les formules (64) et (71), elle^ deviennent
(78) ^) = E(c/-c)-io333tÇ. '
Changement de température^ dû à une compression. — Lesp formules précédentes permettent de calculer les changements de température produits par des compressions. Quand on augmente la pression exercée également en tous sens sur un corps^ son volume diminue et la chaleur dans laquelle se
trc^nsformeat le travail mécanique inteirne e\ le travail externe
produit rélévation de température; on a donc, d'après le principe de l'équivalence,
Ecdt = -pdu-^-^dù-^-^dl.
^ du dt
En substituant les valeurs (75) et (76) des dérivées du travail inlerne, il vient
io333Ta/dw
Ëc'p— io33;rra/*M
11 est plus commode pour la plupart des vérifications expérimentales d'introduire la différentielle de la pression au lieu de celle du volume ; on trouve alors
dt^-^dp.
Cette formule remarquable est due à M. William Thomson qui l'a obtenue d'une autre manière. On peut sans grande erreur y remplacer les différentielles par les différences finies, car les quantités c^, a' et u varient très-lentement; c'est ainsi que H. Hirn a calculé pour l'eau les résultats contenus dans le tableau suivant où ils sont mis en regard de ceux que l'expérience a donnés directement à M. Joule.
Ap
calculé .
par expérience.
— p,oo83 + 0,0044
lorsqu'on fait subir au mercure un accroissement de pres'
sion de 9 atmosphères en partant de la pression ordinaire^ là formule indique pour variations
o^o243 o^O20è o^o284 o^o3o6 0^0828 quand on a
pour températures initiales.
Les formules (79) et (80) s'appliquent encore à une expansion avec travail complet; mais si Ton met- brusquement ea communication l'espace rempli par le corps considéré et un autre espace exactement vide, de manière à produire une expansion délimitée, sans qu'aucun travail externe soit accompli, il faut simplement exprimer l'équivalence entre le travail interne et la chaleur due à rabaissement de température. Ou a entre les différentielles dt et du la relation
(8.) Ecd<=^^d«-H^-îMd«,
^ ' du dt
qui devient, par l'emploi de (77) et (78), OU bien, par l'emploi de (64) et (71),
^ du"*" io333'\rf«y Valeur du rendemmt R. -^ Nous avons trouvé (63) pour R
Texpression g^ contenant encore une constante inconnue B
qu'il importe de déterminer complètement. Pour 7 parvenir remplaçons dans (64) appliqué à un gaz dans lequel le travail
interne dépend du volume seul, P et ^ par leurs valeurs (62).
^%ï' Nous appuyant sur un théorème qui sera démontré dans le chapitre VIII, remplaçons aussi ^ ,' ' par le produit d'une con-
stante a et du carré À* de la densité relative à l'eau ; cela donne après réductions
■ (84) Ba~i=a.-.4.
' - est à peu près constant d'après la loi de Mariotle, et si à lend vers o, on trouve
(85) B=limi,
oc
et il suffit, pour obtenir B, de chercher cette limite au moyen des expériences de M. Regnault. A la page iio du tome I" de la relation de ses expériences, cet éminent physicien donne pour Tair pris à volume constant un tableau des valeurs de a à Taide duquel j'ai calculé une formule empirique
(86) a = g+A/Ao-+-B/AJ,
donnant a en fonction de la pression h^ exprimée en millimètres de mercure. B, A' et B^ ont été obtenus en faisant accorder la formule avec les expériences dans lesquelles h^ avait pour valeurs 109,72; 760; 3655,56; cela donne
g=:o,oo3645n6; logA'=8,45387io; logB/=l2,475784i.
Les résultats des autres expériences s'accordent bien avec ceux que donne le calciil, ainsi qu'on le voit dans le tableau suivant,
ho
DIFFÉRE11CES
par expérience.
calculé.
o,oo365i3
o,oo36542
o,oo365247
o,oo36587
o,oo365535
+o,ooooo33
o,oo36572
o,oo365536
OjOo3665o
o,oo3 66 5o
o,oo368oo
o,oo368468
o,oo3i5894
La limite cherchée est donc
^=o,oo3645; B=± 274,34.
Pour racide carbonique la même valeur de B employée a^ec
logA/=8,7664542; logB' =73, 5943804
donne aussi un accord satisfaisant entre les valeurs expérimentales de a et les valeurs calculées; on a ainsi une vériQcation qui ressort du tableau suivant.
ho
par expérience.
calculé.
DIFFÉRENCES
o,oo36856 0,0036943 0,0037523 0,0038598
Le rendement R= — r-r-: = ~^ se trouve de la sorte
entièrement déterminé, et nous ferons usage de cette valea^ désormais daps toutes les application?. Pour certaipe? d'^n^T^
elles il est commode de donner à Tune des équations générales laforme élégante sous laquelle on la donne souvent. Si un corps considéré perd dQ calories à la température t, le volant gagne
une force vive équivalente à (t— ^i)t^» t, étant la température
du réservoir immense de chaleur qui accompagne la machine.
dO Ce réservoir lui-même gagne, comme on Ta vu, T, -=r' et cette
expression convient encore pour le cas d'un gain en supposant rfQ négatif. Après une période complète, le réservoir à ti doit se retrouver dans son état primitif; on a donc
puisque le facteur constant T^ peut être supprimé.
Si, pendant la période, une chute s'opère, le volant ne reçoit nen par suite de ce mouvement de la chaleur et le réservoir à 4 reçoit davantage; on peut donc affirmer qu'alors on a
et aussi que le volant a perdu de sa force vive initiale. Marque. — Le principe de Tégalité de rendement et les équations générales contenues dans ce chapitre peuvent être appliqués à des machines périodiques où il existe des chutes, pourvu qu'on en tienne compte dans les calculs en supposant que les machines accessoires parfaites produisent le déplacement de chaleur, ce qui ramène les machines à chutes au cas des machines sans chutes.
Théorie des gaz.
Les principes de l'équivalence et de régalité de ren ne peuvent évidemment point suffire pour fonder la des gaz puisqu'ils s'appliquent à tous les élats et il ai impossible de rendre celte théorie satisfaisante sans l riences de M. Regnault sur cette classe de corps; je v poser ici et en confirmer les détails par la comparais les résultats dus à cet habile observateur. Il semble; férable d'aborder de suite les vérifications les plus si du second de ces principes^ celles par exemple qui ( port aux changements d'état; mais les vapeurs ne pas assez exactement les lois de Mariotte et de Gai pour qu'on puisse^ dans l'état actuel de la science^ les 1 dier sans l'emploi, dans certains cas, de lois plus appr
Pour les obtenir^ reprenons la formule générale (ft néglige son premier membre qui est très-petit, elle i sans difficulté et donne
U| désigne une fonction arbitraire de u que Ton pe placer par une fraction ayant un numérateur A coi pour dénominateur le binôme u -f- U dans lequel U une fonction arbitraire de u. On voit déjà que Ton a c à tort la loi de Mariotte comme une conséquence théo
l'hypothèse que le travail interne est négligeable ; car elle rentre dans (88) seulement à titre de cas particulier. De cette équation on tire .
dp A dî u-t-U
et la valeur de -^ étant très-faible, en comparaison dep, la
méthode des approximations successives s'applique ici avec
succès : il suffit de mettre — —77 à la place de ^? dans (64)
pour atteindre une seconde approximation à laquelle nous nous bornerons dans ce chapitre, il vient
AT dy(a,() M-hU du
Dans les circonstances ordinaires ^j ' est très-petit, et il
du ^ '
en est de même de U, puisque la loi de Hariotte est presque exacte. Enlre des limites assignées et non trop étendues de température et de pression, on aura donc une formule plus approchée et plus satisfaisante que celle qui résulte des lois de Hariotte et de Gay-Lussac eu prenant u constant et égal à sa valeur moyenne; puis faisant subir à cette quantité ainsi qu'à B une légère correction pour tenir compte de la valeur
moyenne de ^y' - On a alors
du
(qo) « A(BrM ^ io333(?^4-Cotio) B,-ht
Loi des covolumes. — A température constante, les tensions d'une masse gazeuse sont en raison inverse des volumes tous ^ugmentéis d'une petite quantité constante c^Mq qui les complète ^t porte le nom de covolume lorsque le volume u^, dans les circonstances normales^ est l'unité.
62 , CHAPITRE YI.
Fonction de M. RegnauU.— Dans la discussion de ses nom breuses expériences sur les lois de compressibilité des gaz M. Regnault calcule les valeurs que ptend à température constante la fonction 4-i— i> Qui serait nulle, si la loi de Mariolle
était exacte. 11 exprime, à la page 410 du tome I*' de la relation de ses expériences, le désir de voir appliquer l'analyse à la recherche de la valeur générale de cette fonction qu'il juge trop compliquée pour que l'expérience seule la fasse découvrir. On l'obtient facilement au moyen de l'équation (90). Appliquons-la successivement aux états p, i et p^, t^, puis isolons les termes pie, pV et divisons; il vient
^^^^ p/u/"~^"~ I03331V* ^^' Ti •
Pour calculer le covolume au moyen de deux expériences quelconques, il faut résoudre par rapport à Cq, ce qui donne
L'emploi de ces deux équations n'offre aucune difficulté; d'ailleurs, M. Regnault ayant considéré exclusivement le cas où L- = t, il y a lieu à les simplifier en y introduisant cette hypothèse, on trouve
(q3) ~— I = AjTj^B, Co-
^^ ^ ji^u' iooJ3Ti *
, „ /pu \ io333Ti
(94) '^»=i^-VH;(F=P)*
Cq étant une quantité constante, on tire de (93) les conséquences suivantes :
V La fonction de M, Regnault est proportionnelle à la diffé rence des deux pressions;
20 Elle est inversement proportionnelle au binôme de dilata tion et, par conséquent 5 pour deux mêmes pressions > elh
THÉORIK DES' GAZ. 63
décroît^ ainsi que le remarque H. Regnault^ à mesure que la température s'élève, et elle tend à se confondre avec les erreurs d'expérience^ surtout si la différence des pressions est faible.
Etant données trois des quatre quantités p, u, p', u' et la température, Téquation (gS) donne facilement la quatrième, i
Vérifications expérimentales. — M. Regnault donne pour Tair, Tazote, l'acide carbonique et l'hydrogène des tableaux conteuant les résultats de ses observations et les valeurs numériques de sa [onction ; je m'en suis servi pour calculer, au moyen de réquation (94) , les co volumes que j'ai mis en regard des données.
ntlMÉROS des expériences.
io333
9—10 II — 12 i3-i5
13 — 14 iS-16
pu
pu
COVOLCHES.
TABLEAU No I. — • Air atmosphérique.
2OJ0
o,ooi4i4 0,001448 0,001224 0^001421
o 002765 0,002759 o,oo25o3
0,003539 0,003452 o,oo33o9
Mû). 0,00144
Moy.0,00099
o,ooo63
Moy.o,ooo63
0,00102 0,00102 0,00102 0,00095 0,00109 0,00104 Moy.o,ooio3
^UMéROs
dei eipériencei.
io3iJ
760 fp' — p) io333
