VII. — Sur les propriétés de la fonction S et des cycles
composés et réversibles.
Nous allons employer les propositions sur le cycle simple, sous la forme générale que nous leur avons donnée, pour étudier les propriétés de la fonction S dont nous nous somnrfes servis pour démontrer la seconde équation fondamentale. ^
Soient A et Ai (fig. 6) deux courbes adiabatiques infmiment
Fig. 6.
voisines, /? et f la pression et le volume qui déterminent l'état a d'un corps.
Supposons que les deux autres courbes ab et de soient telles, que la loi de variation de /? et de f soit représentée sur la courbe ab par Téquation
la valeur de S restant constante, et sur la courbe de, infiniment voisine 6e ab, par
S -+- rfS =fip9 ^ ) = const.
Dans ces équations et dans celles qui suivront, S sera toujours cette fonction particulière de p et de i^ qui a été déûnie plus haut (p. 4o).
Soumettons le corps à un cycle d'opérations, c'est-à-dire faisons parcourir à l'extrémité de l'ordonnée/^ le chemin abcda. L'aire déterminée par les lignes infiniment petites ab, bc, cd, da, représentera le travail dépensé pendant ces opérations. Cette aire, que nous désignerons par rf'F, peut être considérée comme celle d'un parallélogramme infiniment petit, équivalent au rectangle infiniment peiit ab'c'd\ et l'on a par suite «
d'F = âFx'âd'.
Mais aV est la dilatation dv du corps sur le chemin ab, et ad' est l'accroissement de p quand S devient S -h rfS, v restant constant; si alors dans l'équation
on fail dv = o, on a
rfS dp =
(dS\- \dp
telle est la valeur de ad'. Kemplaçons mainienani, dans l'cquation qui donne d'¥, ab' elad' par leurs valeurs, il viendra
dS . dv
(?.3) rf'F =
\dpl
CïCLES COMPOStS. 57
On peut déterminer aussi la quantité de clialeur dQ qu'il faut fournir au corps dans le trajet ab, pour que, pendant son changement d'état, la quantité S conserve sa valeur constante, comme cela a été supposé. Il sufllt pour cela de faire dS^o dans l'équation (III') donnée plus haut (p. 4^),
rfQ =
/dS\ [
XdS + Sdv
dp)
et nou6 obtiendrons alors
rfQ =
ASrff dp
Divisons membre à membre les équations (23) et {i^), il vient
équation intégrable lorsqu'on suppose que S ei rfS soieni des quantités constantes, ce qui revient à admettre qu^la dilatation sur le chemin ab [fig^']) soit finie, c'est-à-dire que
Fitj. 7.
les deux lignes adiabaliques ne soient plus infiniment vol sines.
L'intégration donne
Dans cette équation, Q est la quantité de chaleur qu'il faut fournir au corps dans le trajet ab, S restant constant.
Imaginons maintenant que le cycle d'opérations soit complètement terminé ; il faut alors enlever au corps, dans le trajet crf, pendant lequel S -h rfS reste constant , une quantité de chaleur qui, d'après les considérations précédentes, 4épasse Q d'une quantité de chaleur équivalente au travail dépensé dF (voyez l'équation 22). Désignons par Q -h rfQ la quantité de chaleur qui doit être enlevée au corps, on aura ainsi
rfQ = ArfF.
En portant dans l'équation (26) la valeur de rfF donnée par cette équation, on obtient
et en intégrant,
log. népérien Q = log. népérien S -i-.const.,
ou bien
log. népérien -^ = consl.,
ou plus simplement
( 27 ) ^ = const.
Cette équation exprime une loi très-remarquable et indique pour la fonction S des propriétés caractéristiques. En voici le résultat :
Supposons qu'un corps quelconque se trouve successivement dans les états initiaux a, a,, a^ {Jig»S), tels, que l'extrémité de l'ordonnée qui représente la pression soit sur la ligne adiabatique A: chacun de ces états correspondra à une valeur particulière de la fonction S; désignons ces valeurs respecti-
CYCLES GOMPOI^ÉS. 5g
vemenl par S, S, elS^. Si maintenant on fournit de la chaleur
Fig. 8.
à ce corps, de telle sorte que pendant sa dilatation la valeur de S qui correspond à l*état initial reste constante, ei que l'extrémité de l'ordonnée atteigne dans chacun des trois cas une seconde ligne adiabatique A„ les quantités de chaleur Q, Q,, Q, qu'il faudra fournir pour cela auront entre elles une relation simple qui s'exprime, d'après l'équation (27), comme il suit :
9 oi tSi
Cette relation, sur la signification de laquelle nous reviendrons plus tard, nous permet d'étendre considérablement les propositions données plus haut sur le cycle d'opérations simple.
Soient (^g*. 9) A et Ai deux courbes adiabaliques, puis S et Si deux courbes qui ont pour équations
S=/(j[?, i'j^rconst. et S, =/(/?, c'j^const.
Faisons parcourir au corps, dont l'état initial est donné par le volume v et la pression/?, le contour de la surface comprise entre ces quatre courbes, dans le sens de la flèche; dans le
6o PREMIÈRE SECTION. — ÉQUATIONS FONDAMENTALES.
irajel ab, il faudra fournir une quantité de chaleur Q, irndis
s lj
Fff ' "^^Z Jl J^
que dans le trajet cd il faudra enlever une quantité de chaleur Qi , et Faire F représentera le travail dépensé à la fin des opérations. Mais les équations (22) et (28) donnent
Nous en déduisons
(29) ou bien
AS
D'où résulte cette proposition importante :
Le travail dépensé dans ce cycle d'opérations simple F, ou le travail produit y si les opérations se sont effectuées dans un sens inverse, est dans un rapport simple soit avec la quantité de chaleur fournie y soit avec la quantité de chaleur soustraite ; »^ce travail est en outre proportionnel à la différence des valeurs S. et S (*).
( • ) Si nous voulions introduire dès à présent la température, et admettre
Les équaiions précéderiies peuvent se meure sous une forme plus générale. Imaginons les trois courbes adiabatiques A, A,, A2 (fig. 10), et les trois courbes S, S„ S, qui ont pour
équation générale
Sz=:f{p, (')=rCOnSt.,
la constante S ayant une valeur particulière pour chacune de» ces courbes; admettons encore que le corps soit donné dans Téta ta par la pression p et le volume v; on peut concevoir la chaleur fournie ou soustraite de telle sorte que Textrémiié de l'ordonnée p parcoure le contour de la surface ombrée F dans le sens abcdeiga. D'après ce qui précède, il faut fournir dans le trajet ac une certaine quantité de chaleur Q, tandis que dans les trajets de et ig il faut enlever respectivement les quantités de chaleur Q, et Q,. L'excès de la somme des valeurs Q, et Q2 sur la valeur Q est aussi dans ce cas égal à la quantité de chaleur AF, qui équivaut au travail F représenté
que S soit la température ou une fonction de la température, la proposition 0 ' actuelle coïnciderait avec le principe de Carnot énoncé à la p. S/j. Les éqaa> tions (.29) et(3o)du texte seraient aussi identiques, quant à la forme et h la signification, aux équations données pour la première fois par MM. Rankine et Thomson.
fÎ2 PREKibBB SECTION. — fiQtlATIOHS FOKDA MENTALES.
par la.surface ombrée; car le corps se retrouve à la fin des opéra lion s dans son étal initial. On a d'après cela
